復(fù)習(xí)課，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的沃土
——以“一元二次方程”章復(fù)習(xí)課為例

☉湖北省老河口市第三中學(xué)朱小斐

章復(fù)習(xí)課作為一種基本課型，其主要功能是梳理全章內(nèi)容、構(gòu)建知識(shí)體系、提煉思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土.近日，在老河口市舉行的“基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)基本課型教學(xué)實(shí)踐研究——章節(jié)復(fù)習(xí)課”研討活動(dòng)中，筆者展示了人教版九年級(jí)上冊第21章“一元二次方程”復(fù)習(xí)課，取得了較好的教學(xué)效果，受到聽課教師的一致好評，同時(shí)引發(fā)了筆者對章復(fù)習(xí)課的一些教學(xué)思考.本文梳理該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，闡釋教學(xué)立意，探討如何在復(fù)習(xí)課中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

一、“一元二次方程”章復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：情境引入，建立模型

問題1：在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感.這個(gè)高度比應(yīng)是多少？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生探究：將上面的問題一般化，如圖1，在線段AB上找一點(diǎn)C，使AC∶BC=BC∶AB，即BC2=AC·AB.為簡單起見，設(shè)AB=1，BC=x，則AC=1-x.可列方程x2=1-x，整理得x2+x-1=0.

追問1：這是一個(gè)什么方程？怎樣判斷一個(gè)方程是一元二次方程？

圖1

【師生活動(dòng)】引導(dǎo)學(xué)生回顧一元二次方程的定義、一般形式、根等有關(guān)概念.之后學(xué)生獨(dú)立解這個(gè)方程，并根據(jù)問題的實(shí)際意義，取x=

追問2：你知道0.618這個(gè)數(shù)嗎？

【師生活動(dòng)】教師介紹黃金分割，并用課件展示黃金矩形（如圖2）、黃金三角形（如圖3）、五角星（如圖4）等圖案，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中存在的黃金分割數(shù).

黃金矩形

圖2

黃金三角形

圖3

五角星

圖4

設(shè)計(jì)意圖：以黃金分割作為問題情境引入，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，同時(shí)與章引言首尾呼應(yīng).讓學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).在得到方程x2+x-1=0后，教師通過追問，引導(dǎo)學(xué)生在具體問題情境中復(fù)習(xí)一元二次方程的定義、一般形式、根等有關(guān)概念.通過介紹黃金矩形、黃金三角形、五角星中存在的黃金分割數(shù)，感受幾何上的“美學(xué)”；讓學(xué)生課后上網(wǎng)查尋、搜集與黃金分割有關(guān)的資料，進(jìn)一步了解黃金分割數(shù)的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)文化的魅力.

環(huán)節(jié)2：梳理解法，溝通聯(lián)系

問題2：上面解方程x2+x-1=0，同學(xué)們采用的是什么方法？

思考：將方程變?yōu)棰賦2-1=0，②x2+x=0，③x2+2x-1=0，④x2+x-2=0，⑤5x2-3x+1=0，分別用什么方法解比較合適？選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖唤?

【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立完成，選代表板演、交流解法.

追問：一元二次方程有哪些解法？它們在什么情況下最適用？這幾種解法之間有何聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)主要復(fù)習(xí)一元二次方程的解法，通過比較不同解法，體會(huì)如何根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已進(jìn)行了一定數(shù)量的解方程訓(xùn)練，能夠熟練地解一元二次方程，所以這里的重點(diǎn)是梳理、比較、選擇解法.通過改變方程x2+x-1=0中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的值，得到新的方程，讓學(xué)生先實(shí)踐后比較.給出的5個(gè)方程均比較簡單，便于學(xué)生快速求解，從而把重點(diǎn)放在比較解法、溝通聯(lián)系上.通過追問，讓學(xué)生深入思考這幾種解法之間的聯(lián)系，體會(huì)“降次”“化歸”的基本思想，提升解一元二次方程的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

環(huán)節(jié)3：開放設(shè)問，發(fā)展思維

問題3：已知關(guān)于x的方程（2m-1）x2+x-1=0.

（1）m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？

（2）m為何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？

（3）m為何值時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根？

（4）m為何值時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根？

（5）對于問題（3）和問題（4），將“方程”改為“一元二次方程”呢？

（6）m為何值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的和為-1？

（7）m為何值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為-1？

【師生活動(dòng)】出示題干后，引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題，教師加以甄別，歸納整理為上述7個(gè)問題，學(xué)生獨(dú)立思考后交流、展示，教師在學(xué)生思維困惑處給予適時(shí)點(diǎn)撥.

設(shè)計(jì)意圖：將方程x2+x-1=0進(jìn)行改造，變?yōu)楹凶帜赶禂?shù)的方程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，使不同的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)之間自然過渡，平滑轉(zhuǎn)場.開放性的問題設(shè)計(jì)，讓學(xué)生變被動(dòng)為主動(dòng)，可以自己提出問題，可以解答自己的問題，增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.根的判別式的應(yīng)用是學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn)、難點(diǎn)，這里通過題組的形式集中呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生理解一元二次方程根的情況與Δ的值之間的對應(yīng)關(guān)系，辨別方程與一元二次方程的區(qū)別與聯(lián)系，有效地突破了難點(diǎn)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分類討論的意識(shí)，形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維.后兩個(gè)問題是根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，學(xué)生解答后發(fā)現(xiàn)方程又回到了x2+x-1=0，再次感受黃金分割，體會(huì)數(shù)學(xué)之美.

環(huán)節(jié)4：問題解決，提煉方法

問題4：用一條長40cm的繩子圍成一個(gè)矩形.

（1）怎樣圍成一個(gè)面積為75cm2的矩形？

（2）能圍成一個(gè)面積為101cm2的矩形嗎？如能，說明圍法；如不能，說明理由.

（3）能夠圍成的矩形的最大面積是多少？此時(shí)矩形的長和寬分別是多少？

（4）通過解答以上三道小題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【師生活動(dòng)】課件逐次出示4個(gè)問題.對于前兩個(gè)問題，學(xué)生獨(dú)立解答后展示交流，對于后兩個(gè)問題，教師給予點(diǎn)撥引導(dǎo)，與學(xué)生一起探究.

設(shè)計(jì)意圖：問題4來源于課本復(fù)習(xí)題21第11題.前兩問是原題，主要考查學(xué)生用一元二次方程解決實(shí)際問題的能力.在學(xué)生完成了原題的解答后，心中不免會(huì)產(chǎn)生疑問：面積多大才能保證矩形能夠圍成呢？可見，問題的研究還不徹底，探究還要繼續(xù).基于此，增加了第（3）問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，可設(shè)面積為S并列出方程（其實(shí)是二次函數(shù)的解析式），運(yùn)用配方法求出面積的范圍（S≤100），從而獲得問題的解，而且學(xué)生很容易看出，此時(shí)矩形的長和寬都是10cm，矩形“特殊化”為正方形.第（4）問引導(dǎo)學(xué)生回顧梳理研究結(jié)果及方法，并進(jìn)行“一般化”推廣，得出結(jié)論：當(dāng)矩形周長一定時(shí)，正方形的面積最大.這4個(gè)問題由淺入深，層層遞進(jìn)，將一個(gè)功能單一的練習(xí)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)綜合性的問題，可培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

環(huán)節(jié)5：歸納小結(jié)，構(gòu)建體系

問題5：回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)，思考以下問題：

（1）本節(jié)課復(fù)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？按照什么線索進(jìn)行復(fù)習(xí)的？

（2）在問題解決的過程中，你學(xué)到了哪些方法？還有什么問題或困惑？

【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、交流，完善本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖（如圖5）.

圖5

設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，讓學(xué)生梳理本節(jié)課所復(fù)習(xí)的內(nèi)容，回顧利用一元二次方程建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的基本過程，構(gòu)建本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，感悟模型、化歸、分類等數(shù)學(xué)思想方法.

環(huán)節(jié)6：當(dāng)堂檢測，反饋矯正

題1：已知x1=3是關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一個(gè)根，則c=______，方程的另一個(gè)根x2是______.

題2：某種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每盒藥品的售價(jià)降低到原來售價(jià)的81%，若平均每次降低的百分率為x，則可列方程為______.

題3：已知關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1）求k的取值范圍；

（2）當(dāng)k取最大整數(shù)值時(shí)，求該方程的解；

（3）求方程的兩根的和與積（用k表示）.

設(shè)計(jì)意圖：課堂的最后階段，安排3道當(dāng)堂檢測題，限時(shí)5分鐘完成，題目涵蓋本節(jié)課復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容，可以有效地檢測學(xué)生的復(fù)習(xí)效果.

二、基于核心素養(yǎng)的章復(fù)習(xí)課教學(xué)思考

1.聚焦主線，構(gòu)建全章知識(shí)體系

基于核心素養(yǎng)的章復(fù)習(xí)課，教師不應(yīng)將視野囿于對知識(shí)點(diǎn)的簡單梳理和對習(xí)題的訓(xùn)練講解，更重要的是要體現(xiàn)知識(shí)線索的有效串聯(lián)、知識(shí)體系的全面構(gòu)建和數(shù)學(xué)思想方法的有效滲透.所以，章復(fù)習(xí)課的首要目標(biāo)是構(gòu)建知識(shí)體系.一元二次方程的定義、解法、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)成了一條知識(shí)鏈，環(huán)環(huán)相扣，層層推進(jìn).從實(shí)際問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程，求出它的根，進(jìn)而解決實(shí)際問題，是本章學(xué)習(xí)的一條主線.本節(jié)復(fù)習(xí)課，就是借助這條學(xué)習(xí)主線，將零散的知識(shí)點(diǎn)串起來，逐步完善學(xué)生的知識(shí)鏈條，形成完整的單元知識(shí)結(jié)構(gòu).為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，需要教師結(jié)合學(xué)情，精心組織復(fù)習(xí)內(nèi)容，讓學(xué)生在具體的問題情境中梳理知識(shí)，查漏補(bǔ)缺，夯實(shí)“四基”.值得注意的是，本課的問題情境都來源于教材，并進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木幫卣?，這是復(fù)習(xí)課重視教材、回歸教材的直接體現(xiàn).

2.讓學(xué)引思，促進(jìn)思維自然生長

章復(fù)習(xí)課教學(xué)，除了要對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行梳理，查漏補(bǔ)缺，構(gòu)建體系，復(fù)習(xí)的著眼點(diǎn)也應(yīng)放在學(xué)生思維的發(fā)展、學(xué)習(xí)能力的提升上，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷一次再生長.這就要求教師在復(fù)習(xí)課上做到以生為本，落實(shí)“讓學(xué)引思”理念.“讓”出時(shí)間，“引”學(xué)生自主探究；“讓”出空間，“引”學(xué)生討論交流；“讓”出機(jī)會(huì)，“引”學(xué)生思維生長.本節(jié)課，教師以問題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)而有深度地學(xué)習(xí)；重視啟發(fā)、參與、探究、交流，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維向“廣度”“深度”生長.如在環(huán)節(jié)3中，借助一個(gè)開放的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自己提出問題、創(chuàng)編問題、分析問題、解答問題，將要復(fù)習(xí)的知識(shí)融入一個(gè)題組中，有效地整合了復(fù)習(xí)內(nèi)容，溝通了知識(shí)的聯(lián)系，拓寬了學(xué)生思維的廣度.在環(huán)節(jié)4中，通過對課本中一道復(fù)習(xí)題進(jìn)行深度探究，淺入深出，層層遞進(jìn)，追本溯源，提升了思維的深度，也讓復(fù)習(xí)課有了濃濃的“探究味”.

3.滲透思想，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

復(fù)習(xí)課是一章的尾聲，其根本目的是深化學(xué)生對本章核心內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的理解，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).“一元二次方程”一章涉及的數(shù)學(xué)思想方法主要有：由實(shí)際問題抽象為一元二次方程這個(gè)過程中蘊(yùn)含的符號(hào)化、模型化思想；解一元二次方程的過程中蘊(yùn)含的降次、化歸思想.本節(jié)課，從實(shí)際問題引入復(fù)習(xí)內(nèi)容，并最終回到建立一元二次方程模型解決實(shí)際問題，讓學(xué)生完整地經(jīng)歷“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).環(huán)節(jié)2梳理、總結(jié)幾種解法的基本思路、各自特點(diǎn)和適用范圍，溝通了不同解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)如何根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性、靈活性、深刻性，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過問題4第（3）、（4）問的探究，體會(huì)配方法是一種重要的、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)方法，為后面研究二次函數(shù)提供方法引領(lǐng).這些“潤物細(xì)無聲”的思想滲透、方法引領(lǐng)，讓復(fù)習(xí)課成為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一片沃土.