數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的靈活應(yīng)用

江西省贛州市贛縣第三中學(xué) 溫桂花

縱觀每年的高考數(shù)學(xué)試題，不管是選擇題、填空題，還是解答題，很多試題的解答都需要利用數(shù)形結(jié)合的思想。數(shù)學(xué)結(jié)合思想可以說是解答數(shù)學(xué)問題的一種基本思想方法，對(duì)此思想方法的熟悉與掌握，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)解題水平的提高具有舉足輕重的關(guān)鍵作用。下面就數(shù)形結(jié)合思想在方程與不等式、函數(shù)最值、立體幾何中的應(yīng)用進(jìn)行例舉分析。

一、與方程、不等式相關(guān)的問題

1.方程的根與參數(shù)間的關(guān)系

（1）當(dāng)1-m=0，即m=1時(shí)，直線與曲線有唯一交點(diǎn)，則此時(shí)原方程有唯一解；

（2）當(dāng)1≤1-m＜4，即-3＜m≤0時(shí)，直線與曲線也是只有一個(gè)交點(diǎn)，即原方程有唯一解。

綜上分析，實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3＜m≤0或m=1。

【評(píng)析】注意對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的限制。

2.不等式問題

【評(píng)析】注意根式函數(shù)定義域的限制。

二、與函數(shù)相關(guān)的問題

1.函數(shù)的最值（值域）問題

解析：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，可以將原函數(shù)看作定點(diǎn)(2,3)與單位圓上的動(dòng)點(diǎn)(cosx,sinx)的連線的斜率，從而可以將問題就轉(zhuǎn)化為求直線斜率的取值范圍問題。在坐標(biāo)系中畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法分析可知，當(dāng)直線與單位圓相切時(shí)，斜率取得最值，且易求得最小值、最大值分別為故原函數(shù)的值域?yàn)?/p>

【評(píng)析】數(shù)形結(jié)合分析函數(shù)問題時(shí)需要注意分母可能為0的情況，以及最值情況能否取到等問題。

2.函數(shù)的單調(diào)性問題

【評(píng)析】對(duì)于這類具有統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式的式子，多是考慮結(jié)合函數(shù)圖像，借助圖像的直觀性分析其幾何意義。

三、與立體幾何相關(guān)的問題

例5 假設(shè)三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，它到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，那么，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡與△ABC組成的圖形可能是（ ）

解析：此題是一道典型的幾何題目，是立體幾何與平面幾何的綜合問題，這類通過空間與平面相結(jié)合考查幾何知識(shí)的形式是一種常見、熱門的考查方式。下面進(jìn)行分類討論分析：

（1）若AC⊥平面BCD時(shí)，那么如圖（1），可以將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P到棱AB的距離和到棱BC的距離相等的點(diǎn)的軌跡，容易判斷此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡顯然是∠ABC的平分線。

（2）如果AC不垂直平面BCD，那么如圖（2），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到平面BCD和的距離為h，到邊BC的距離為dBC，二面角A-BC-D的大小為θ，那么有所以選D。

【評(píng)析】解決這類空間幾何問題，一定要利用空間幾何的相關(guān)性質(zhì)，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，然后利用平面幾何的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單，且不容易出錯(cuò)。

總之，利用數(shù)形結(jié)合思想，借助于圖像來討論方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)、立體幾何模型等內(nèi)容，問題變得簡(jiǎn)單明了，能讓抽象的問題更加直觀化，這樣有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，強(qiáng)化自身對(duì)抽象思維與形象思維之間的轉(zhuǎn)化能力，提升分析數(shù)學(xué)問題、解決數(shù)學(xué)問題的能力。