巧妙構(gòu)造，解決三角類(lèi)問(wèn)題

江蘇省射陽(yáng)縣第四中學(xué) 王 芹

隨著新課改的不斷深入，出題者對(duì)于學(xué)生的考查不再局限于簡(jiǎn)單的解題，而是更多在解題方法上考查。三角類(lèi)題型作為初中數(shù)學(xué)中的典型題型，出題者定然下足了功夫，因此，對(duì)于學(xué)生們來(lái)說(shuō)，就要挖掘其中的解題技巧與解題方法，深入地理解三角形的含義。教師在教學(xué)的過(guò)程中，要不斷地灌輸學(xué)生正確的思維方法，使得學(xué)生在解題的過(guò)程中能夠養(yǎng)成良好的思路，發(fā)散自己的思維，提高解題的效率。

一、中線倍長(zhǎng)法

學(xué)生們?cè)诮忸}的過(guò)程中應(yīng)該都遇到過(guò)中點(diǎn)類(lèi)的三角形題，這類(lèi)題有的學(xué)生在解題的時(shí)候，想著去利用中位線，用其定理，化解難題，但是今天我想告訴學(xué)生們的就是在條件或者結(jié)論中遇到中點(diǎn)的時(shí)候，或者一條線段是另一條線段的二倍時(shí)，此時(shí)要想到去延長(zhǎng)中線的一倍，然后構(gòu)造出全等三角形，結(jié)合條件與結(jié)論巧妙地解題。

圖1

例1 如圖1所示，在△ABC中，AB=3，AC=5，試求BC邊上的中線AD的取值范圍。

解析：根據(jù)題意，既然要求BC邊上的中線AD的取值范圍，學(xué)生們可以打開(kāi)思路，充分利用中點(diǎn)的性質(zhì)。延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得AD=DE，連接BE，由題意學(xué)生們易證明，于是有EB=AC，由三角形的三邊關(guān)系可知，BEAB＜AE＜BE+AB，即 5-3＜AE＜5+3，所以有 2＜2AD＜8，可知中線AD的取值范圍是AD∈（1,4）。

點(diǎn)撥：本道題中，通過(guò)構(gòu)造了輔助線，將中線AD化解成了ED，然后通過(guò)證明三角形的全等，得出AE的范圍，利用中點(diǎn)的性質(zhì)，最后求出中線AD的取值范圍。短短的一個(gè)三角形類(lèi)題型，通過(guò)巧妙的構(gòu)造，巧添輔助線，化解了難題，大大節(jié)省了學(xué)生們的解題時(shí)間，提高了正確率，可見(jiàn)，這種解題方法將有利于學(xué)生們思維的延伸，因此，學(xué)生要牢記中線倍長(zhǎng)法，合理地化解三角類(lèi)題型。

二、截長(zhǎng)補(bǔ)短法

截長(zhǎng)補(bǔ)短法相信學(xué)生們一定耳熟能詳，但是學(xué)生們要明確用法以及在什么題型下用。當(dāng)學(xué)生們?cè)诮忸}的過(guò)程中，遇到題目或者結(jié)論中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的二倍，或者一條線段是另外兩條線段的和的時(shí)候，這時(shí)候就需要巧添輔助線，截長(zhǎng)補(bǔ)短，構(gòu)造全等三角形來(lái)解決問(wèn)題。

圖2

圖3

例2 如圖所示，已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線，試證明：AC=AB+BD。

解析：此處既然談到截長(zhǎng)補(bǔ)短法，那么我就分開(kāi)為學(xué)生們講解。首先，運(yùn)用截長(zhǎng)法，如圖2所示，在AC上截取AE，使得AE=AB，連接DE。根據(jù)題意易知，∠BAD=∠CAD，易證明△ABD≌△AED，于是有BD=DE，∠B=∠AED，又因?yàn)椤螧=2∠C，所以就有∠AED=∠EDC=∠C，那么有ED=EC，即EC=BD，所以AC=AB+BD?，F(xiàn)在給學(xué)生們講解補(bǔ)短法的思路，如圖3所示，只需要延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使得AF=AC，連接ED。根據(jù)前面的截長(zhǎng)法，證法相同，可以證明出AC=AB+BD。

點(diǎn)撥：本道題運(yùn)用了截長(zhǎng)補(bǔ)短的方法，給學(xué)生們分別演示了截長(zhǎng)與補(bǔ)短的做法，相信學(xué)生們肯定深有體會(huì)，巧妙地添加輔助線，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題放到三角形中去解決，提高了解題的效率，長(zhǎng)期積累，也可以鍛煉學(xué)生們的思維能力。

三、巧添平行線

說(shuō)到幾何圖形，那么平行線不得不說(shuō)。平行線可謂是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，對(duì)于解三角形類(lèi)的題型應(yīng)用的也比較多。學(xué)生們?cè)谧鲱}的過(guò)程中，遇到題目或者結(jié)論中出現(xiàn)線段相等或者遇到角平分線時(shí)，這時(shí)候發(fā)現(xiàn)利用三角形全等貌似很難求解，那么就可以通過(guò)添加平行線，構(gòu)造出一個(gè)新的三角形，結(jié)合條件與結(jié)論求解。

圖4

例3 如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=BD，連接DE交BC于點(diǎn)P，求證：PE=PD。

點(diǎn)撥：在幾何圖形證明題中，巧添平行線是常用的手法之一，學(xué)生們?cè)谟龅筋}目或者結(jié)論中出現(xiàn)線段相等或者遇到角平分線時(shí)，一定要想到添加平行線的方法，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，明確自己的思路，方能又快又好地解題。

總之，在千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)題中，掌握住方法，掌握住解題技巧，就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的規(guī)律所在，巧解難題。在全等三角形這一塊，學(xué)生們要充分利用所學(xué)，加強(qiáng)對(duì)解題方法的研究，巧妙構(gòu)造，理清自己的思路，三角問(wèn)題也就迎刃而解了。