初中數(shù)學建模教學案例嘗試

祖旭東

開展數(shù)學建模學習不僅是學習方式的改變，建模的過程可以為不同水平的學生提供體驗成功的機會。數(shù)學建模既可以培養(yǎng)學生良好的數(shù)學觀和方法論，又可以促進學生樹立面向?qū)嶋H的眼光和觀念，增強學生解決實際問題的能力。數(shù)學建模的教學對教師的成長和專業(yè)發(fā)展、更新教育觀念、主動參與并推進素質(zhì)教育有著越來越重要的作用，教師在教學中應抓好數(shù)學建模的啟蒙教育。

數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，數(shù)學課程應體現(xiàn)“問題情境—建立模型—理解—應用與拓展”，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數(shù)學理解的同時，在思維能力、情感、態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展。根據(jù)初中生的身心發(fā)展水平和已掌握的知識，初中數(shù)學建模教學適宜起點低一些、步子小一些。低起點，就是根據(jù)學生的已有水平和課程標準要求，降低教學起點，便于全體學生都能真正進入到教學活動中。小步子，就是遵循由易到難、由淺入深、由單一到綜合、由簡單到復雜的原則，安排層次分明，梯度較小的教學情境，分散難點突出重點，引領(lǐng)學生沿著數(shù)學學習活動的臺階逐級而上，最終達到課程標準的要求。現(xiàn)對幾個教學案例進行歸納總結(jié)。

一、借助數(shù)學建模降低問題難度

在數(shù)學建模教學中，教師需以教學對象的心理特點、認知基礎(chǔ)和年齡特點為依據(jù)，先從低起點的數(shù)學模型著手，讓學生易于掌握，促使他們整體參與學習。初中數(shù)學教師在具體的建模教學中，選擇和使用的素材需貼近學生的實際生活，符合他們的認知能力和學習經(jīng)驗，利用這些生活現(xiàn)象引領(lǐng)學生建立數(shù)學模型，對于他們來說較為熟悉更加易于接受與掌握，從而提升教學效果。

案例1：三個相同的正方形，求證：∠1+∠2+∠3=90°。

此問題可編擬成在平直公路上的100米、200米、300米處分別有有三輛汽車，觀察測速點，測得的視角之和為90°，那么測速點到公路有多遠？只要教師做有心人，精心設(shè)計，課本中的數(shù)學問題大都可挖掘出模型，選擇緊貼實際的問題深入分析，逐漸滲透這方面的訓練，使學生養(yǎng)成自覺地把數(shù)學作為工具來用的意識。

案例2：如下圖形，A、B是直線L同旁的兩個定點，在直線L上確定一點P，使PA+PB的值最小。

從知識上來看，本題是考查“利用軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系”求兩條線段和的最小值。從結(jié)果來看，在掌握這種模型之后就能在變形問題中應用，而這種將變式化歸為已有模型或模式的做法和能力，正是數(shù)學學習最為重要的能力。綜合這兩方面，本題有較強的可推廣性和教育性。

該模型應用非常廣泛，可以分別改編成如下三題：

（1）正方形ABCD的邊長為4，E為AB的中點，P是AC上一動點。連結(jié)BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱。連結(jié)ED交AC于P，求PB+PE的最小值。

（2）⊙O的半徑為4，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；

（3）∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值。

二、借助數(shù)學建模化繁為簡

在初中數(shù)學教學中，應從他們的已有知識出發(fā)，提升課堂教學的普適性，使其積極參與學習，才能促進學生建模能力的提高。初中數(shù)學教材中有不少普適性素材，教師可以此為依托，展開建模教學，提高學生的學習熱情，并增強他們解決問題的能力。

案例3：平行線+平分線得到等腰三角形

變1.如圖，矩形ABCD，E為BC中點，作∠AEC的平分線交AD于F點，AB=6，AD=16，求FD的長。

變2.如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。求證：EO=FO。

試想一下如果沒有“平行線+平分線得到等腰三角形”的幾何模型，學生在解決這兩個問題的時候會有多么困難。

二、借助數(shù)學建模滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學建模屬于一種思想方法，在初中數(shù)學課程教學中，教師不僅要幫助學生掌握數(shù)學知識，還應傳授他們學習數(shù)學知識的技巧。建模教學應注重思想方法的傳授，讓學生真正掌握建模技巧、形成建模能力。因此，初中數(shù)學教師在兼顧知識教學的同時，應注重對學生能力的培養(yǎng)，增強他們的建模意識和能力，使其在學習過程中善于使用建模思想，并運用建模解決實際問題，真正實現(xiàn)學以致用。

案例4：某學校計劃在總費用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學生和6名教師外出活動，每輛汽車至少有1名教師?，F(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下：

（1）共需租多少輛汽車？

（2）給出最節(jié)省費用的租車方案。

解析：某些現(xiàn)實問題中變量之間相互聯(lián)系，函數(shù)來源于這類存在變量的問題，最終又會解決這類問題。這道題是人教版數(shù)學八下103頁的問題二，該題最大價值就在于讓學生明白為什么要建立函數(shù)模型解題，而不是其它的數(shù)學模型：所需費用受租車種類數(shù)量的影響，這兩個量都是變量，變量之間就會存在函數(shù)關(guān)系，所以就建立函數(shù)模型來解決問題。當學生算出x的值為4和5后，學生分成兩個陣營：一個陣營會親自計算這兩種方案的費用，比較后選出最優(yōu)方案。另一個陣營會借助函數(shù)的增減性來判斷哪種方案最優(yōu)。兩種方法解決這道題目都是可以的。教師此時再追問一句：如果方案較多能采用計算方法嗎？一句換就能讓學生明白建立函數(shù)模型的價值。

數(shù)學建模教學使學生走出了課本，走出了傳統(tǒng)的習題演練。使他們進入到生活實際中，進入到一個更加開放的天地。使學生體驗到了一個充滿生命活力的課堂，這對于培養(yǎng)學生應用意識和創(chuàng)造精神是一個很好的途徑。教師需充分發(fā)揮建模教學的優(yōu)勢和作用，才能培養(yǎng)學生學習興趣和創(chuàng)造力，進而發(fā)展他們的思維能力、學習能力和應用能力。

【參考文獻】

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[3]付軍，朱宏，王憲昌.在數(shù)學建模教學中培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的實踐與思考[J].數(shù)學教育學報，2007（04）

（注：本文系2017年河南省基礎(chǔ)教育教學研究項目課題《基于數(shù)學建模核心素養(yǎng)的初中數(shù)學課堂教學研究》（立項編號：JCJYC17031910）研究成果。）