高中數(shù)學(xué)課堂引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)的幾點嘗試

黃清鈿

（大田縣第五中學(xué)，福建 大田 366100）

數(shù)學(xué)是一門抽象性、邏輯性、科學(xué)性、嚴(yán)密性很強的學(xué)科。一些學(xué)生由于不能很好地理解數(shù)學(xué)而沒能學(xué)好數(shù)學(xué)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)教育承載著落實立德樹人根本任務(wù)、發(fā)展素質(zhì)教育的功能”“高中數(shù)學(xué)課程面向全體學(xué)生，實現(xiàn)：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！痹鯓幼寣W(xué)生在數(shù)學(xué)課堂里均能獲得適合的數(shù)學(xué)教育呢？這是數(shù)學(xué)教師應(yīng)研究的課題。筆者就此進行探索，認為引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)是學(xué)生獲得高中數(shù)學(xué)教育的有效途徑。

一、在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和起點，概念沒有理解清楚就不能很好地理解后續(xù)的數(shù)學(xué)原理。但許多數(shù)學(xué)概念都很抽象，學(xué)生理解時常出現(xiàn)一知半解或者理解錯誤。課堂教學(xué)要讓學(xué)生理解好一個數(shù)學(xué)概念，教師一般都會將概念講得詳細通俗，并舉了相應(yīng)的例子，學(xué)生聽得明白，也可接受，但難以獲得“刻骨銘心”的記憶，因為接受式的學(xué)習(xí)是被動的，沒有經(jīng)過學(xué)生自己大腦的思維加工，這種學(xué)習(xí)的記憶是暫時的，對知識的應(yīng)用也缺乏靈活性。因此，要讓學(xué)生較徹底地理解概念和靈活地應(yīng)用概念，就必須讓學(xué)生對所學(xué)概念經(jīng)過自己大腦的思維加工，并經(jīng)過出錯、糾錯、用對的循環(huán)過程。課堂上可以先安排學(xué)生看課本，然后提問學(xué)生閱讀后對概念的見解，再根據(jù)學(xué)生的回答提出辨析式的問題讓學(xué)生說，教師點評。例如，在教《函數(shù)的奇偶性》一節(jié)，可讓學(xué)生先看課本中的內(nèi)容，然后安排以下兩個環(huán)節(jié)讓學(xué)生說數(shù)學(xué)：

環(huán)節(jié)1（說閱讀見解）：

師：本節(jié)內(nèi)容主要講什么？你通過閱讀課文收獲了什么？

生1：本節(jié)內(nèi)容主要講偶函數(shù)、奇函數(shù)的概念及其圖象性質(zhì)。我的收獲是知道了偶函數(shù)的特點是f(-x)=f(x)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的特點是f(-x)=-f(x)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱。

生2：判斷一個函數(shù)的奇偶性關(guān)鍵看f（-x）與f（x）的關(guān)系，若f(-x)=f(x)，則此函數(shù)為偶函數(shù)；若f(-x)=-f(x)，則此函數(shù)為奇函數(shù)。

環(huán)節(jié)2（說辨析式問題）：

師：多數(shù)同學(xué)都贊同前面兩位同學(xué)的見解，他們的見解是不是都對呢？結(jié)合你的見解回答以下問題。

（1）y=x2，x∈［-2，3］，是偶函數(shù)還是奇函數(shù)？為什么？

生3：是偶函數(shù)，因為f(-x)=f(x)。

（2）如果函數(shù)f（x）=ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域為［a-1，2a］，求a，b.

生4：因為 ，所以ax2－bx＋3a＋b=ax2＋bx＋3a＋b，得b=0，a≠0。

（3）如果函數(shù) f（x）是定義在R 上的奇函，當(dāng) x≥0時，f（x）=x2+x，那么當(dāng)x＜0時，求f（x）解析式。

生5：因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函，所以，得f（x）=-x2-x。

學(xué)生在回答這幾題時往往出錯，主要原因是對偶函數(shù)、奇函數(shù)的定義中“對于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)任意一個x”并沒有真正理解。學(xué)生判斷一個函數(shù)的奇偶性往往只關(guān)注函數(shù)式是否具備f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)而忽略了定義域的對稱性。對于學(xué)生的錯誤，教師進行講評糾錯，再讓學(xué)生練習(xí)鞏固。這樣，學(xué)生真正理解了函數(shù)奇偶生的定義。

二、在公式定理教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)絕大多數(shù)的公式和定理是高考重點考查的內(nèi)容，學(xué)生必須掌握。學(xué)生在學(xué)習(xí)公式定理時要弄清知識的來龍去脈，領(lǐng)會公式定理的本質(zhì)，從本質(zhì)上把握定理公式的內(nèi)容以及其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。在公式定理的教學(xué)過程中，一些教師容易產(chǎn)生“一背二套、公式加例題”的形式，認為學(xué)生會套用公式定理，增加解題訓(xùn)練就可以掌握所學(xué)的公式定理。這種學(xué)習(xí)公式定理的方法是被動機械的，學(xué)生表面上通過訓(xùn)練也能解答一些相關(guān)的題型，但題型變化，題目中的條件或結(jié)論改變了，一些學(xué)生就束手無策。究其原因是學(xué)生沒有弄清公式定理的來源，沒有經(jīng)過自己的思維推導(dǎo)論證，忽略了其本質(zhì)所在。要讓學(xué)生掌握公式定理的本質(zhì)，教師在教學(xué)過程要不斷設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生弄清公式定理的形成過程和蘊含的思想方法。學(xué)生在回答教師的提問中或?qū)蝈e或產(chǎn)生新的問題，通過課堂師生互動加深了對公式定理的理解。例如，在教《等比數(shù)列的前n項和》一節(jié)，可先組織學(xué)生閱讀課文10分鐘，然后叫學(xué)生回答以下問題，并說出自己的想法：

（1）在國際象棋的棋盤上第1個格子里放1顆麥粒，第2個格子里放2顆麥粒，第3個格子里放4顆麥粒，第4個格子里放8顆麥粒，以此類推，那么從第1個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總和用式子怎么表示？如果一個等比數(shù)列的首項是a1，公比為q，那么這個數(shù)列的前n項和用式子怎么表示？

（2）寫出等比數(shù)列的前n項和公式，這個公式是怎么推導(dǎo)出來的？給這種方法起一個名字。

（3）從等比數(shù)列前n項求和公式的推導(dǎo)過程你得到什么樣的方法啟示？根據(jù)這種啟示你能否求出式子1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1之和？

學(xué)生因為已閱讀了課文，對前兩個問題的回答是比較順利的，但對第（3）問的回答就沒那么順了，這要從公式的推導(dǎo)過程提煉出方法，有的學(xué)生不能馬上悟到其中的規(guī)律。教師根據(jù)學(xué)生回答中存在的問題引導(dǎo)學(xué)生觀察課本中等比數(shù)列求前n項和公式的推導(dǎo)過程，進行師生對話、啟發(fā)，提煉出錯位相減法，然后讓學(xué)生模仿課本用錯位相減法糾正解答第（3）小題中的錯誤。學(xué)生這樣學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項和公式不僅能記住這個公式，還能記住錯位相減法。即使以后等比數(shù)列求和公式忘記了，但錯位相減法能記住，很快就可以推導(dǎo)出這個公式。

三、在典型例題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)

例題是教材的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)概念、公式、定理、原理的解釋和應(yīng)用，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解答數(shù)學(xué)題目的范例。例題教學(xué)的效果直接關(guān)系著學(xué)生課內(nèi)外數(shù)學(xué)作業(yè)完成的好壞，所以講好例題、用好例題是數(shù)學(xué)課教學(xué)的關(guān)鍵。一些教師對課本例題的處理是以講為主，講完之后進行變式或讓學(xué)生直接進行相關(guān)的練習(xí)，這也是一種接受式的教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)例題是被動的，學(xué)生的主體地位凸顯不夠。對于一些典型例題如果讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，即讓學(xué)生說例題，則會收到更好的效果。做法是給出一個典型例題先讓學(xué)生說出這個例題所蘊含的知識點、數(shù)學(xué)原理；說出題目的結(jié)構(gòu)和解題思路；說出解題的格式、步驟；說出多種解法和題目的變式。例如，人教版必修5第一章解三角形的1.2《應(yīng)用舉例》的例9：在△ABC中，求證

這個例題蘊含著解三角形中的“邊化角”或“角化邊”的解題思想，是一個較典型的解三角形例題。在教學(xué)中可先讓學(xué)生試解，然后請學(xué)生說出以下內(nèi)容：

（1）說數(shù)學(xué)知識點：本例題需要用到哪些知識點？

（2）說題型解法：這是一個什么題型？要用什么方法下手？說出你的解題思路。

（3）說解題步驟：說出本例題的解題步驟，在書寫格式上要注意什么？

（4）說一題多解與變式：本例題你有幾種解法？請從課本或教輔書中找出3題與本例題解法相似的題目。

（5）說解題收獲：對于含有三角形邊角關(guān)系的題目，你的解題經(jīng)驗是什么？

學(xué)生在說的過程可能會說錯或說得不全面，教師要進行恰當(dāng)引導(dǎo)或提示，讓學(xué)生自主總結(jié)出含有三角形邊角關(guān)系式題型的解題方法——邊化角或角化邊。這樣，學(xué)生通過做題、說題實現(xiàn)做一題會一類的目標(biāo)。

四、在單元復(fù)習(xí)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)

復(fù)習(xí)是學(xué)生鞏固所學(xué)數(shù)學(xué)知識的必不可少的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。單元復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)、高考復(fù)習(xí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，復(fù)習(xí)課上得好，學(xué)生不僅可以很好地鞏固所學(xué)的知識，而且還可提高復(fù)習(xí)效率和應(yīng)用所學(xué)知識的能力。在復(fù)習(xí)課里，一些教師先對要復(fù)習(xí)的內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生梳理一遍，然后講一兩個例題，最后讓學(xué)生做練習(xí)，這樣復(fù)習(xí)也能讓學(xué)生達到復(fù)習(xí)鞏固的目的，但學(xué)生的自主性不夠，學(xué)生較難進入深度學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要將知識內(nèi)化，形成一種能力，才能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決問題。復(fù)習(xí)課讓學(xué)生說數(shù)學(xué)可以促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，提高復(fù)習(xí)效率。筆者嘗試在單元復(fù)習(xí)課將學(xué)生分為每三個人一組讓其去“備課”，每組三個人分別記為A、B、C。A負責(zé)備基礎(chǔ)知識，將這節(jié)課要復(fù)習(xí)的知識點進行梳理歸納，講給他人聽；B負責(zé)備例題，選擇所復(fù)習(xí)內(nèi)容有代表性的典型題目進行講解；C負責(zé)歸納所復(fù)習(xí)內(nèi)容的主要題型及其解題規(guī)律進行分享。上課時每個小組學(xué)生坐在一起，按A、B、C順序進行講課，即每個人把自己備課的內(nèi)容講給其他兩人聽，接受另兩人的質(zhì)疑，有不同觀點三人討論解決，討論不能解決的請教師幫忙。有時也請某一小組在班級展示，接受全班學(xué)生點評、提問。例如，人教版必修2的第四章《圓與方程》的單元復(fù)習(xí)課筆者選擇了一個“備課”小組，安排2個課時讓其在班級展示本組的“備課”成果（提綱部分）：

生A（說基礎(chǔ)知識）：圓方程的兩種表示；直線與圓的三種位置關(guān)系；圓與圓的五中位置關(guān)系；空間直角坐標(biāo)系。

生B（說典型例題）：例1：課本P120例3求圓的方程；例2：課本P127例2求與圓相交直線的方程；例3：課本P133習(xí)題4.2A組第11題求與已知圓相切于已知點的圓的方程。

生C（說題型解法）：用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程求圓的方程；求與圓有關(guān)的軌跡方程（直接法、定義法、幾何法、相關(guān)點代入法）；有關(guān)弦長問題（幾何法、代數(shù)法）；過一點求圓的切線方程（已知點在圓上和在圓外兩種情況）；判斷直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系（幾何法、代數(shù)法）；空間直角坐標(biāo)系（圖示法）。

學(xué)生在展示過程教師和其他學(xué)生要進行評議、質(zhì)疑，其他組有更好的內(nèi)容補充，要鼓勵學(xué)生參與補充。

五、在試卷講評教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生說數(shù)學(xué)

考試是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的必要環(huán)節(jié)，通過考試可以了解學(xué)生階段學(xué)習(xí)的情況，以調(diào)整下階段的教學(xué)內(nèi)容和進度。有考試就要有講評，講評試卷的目的是幫助學(xué)生糾錯，鞏固階段所學(xué)的內(nèi)容，提出下階段學(xué)習(xí)要求。但一些教師在試卷講評課中從第一題講到最后一題，目的是給出試卷的各題答案及解法，未在解題能力、總結(jié)能力、反省能力等方面做一些提升工作，講評課的效率不高。高中學(xué)生接近成年，有較強的獨立思考能力和表現(xiàn)能力，如講評課讓學(xué)生來講有時會收到意想不到的效果。在上講評課之前教師要對全班試卷進行全面分析，找出學(xué)生的易錯題、多錯題和階段考查的重點題，課堂上一方面指定一些“錯誤代表”到講臺前將自己的答卷用投影儀展示后介紹自己的錯解思路和糾錯情況，如果主講學(xué)生不能說出自己的糾錯情況，可求助其他同學(xué)幫忙說或請教師幫忙說；另一方面，對一些重點題則請一些優(yōu)秀學(xué)生來講評，先將其答卷用投影儀展示，然后讓其說解題思路、解題方法、相似題型、變式情況。如果一個學(xué)生說不完整可安排多個學(xué)生補充或教師適時提示補充。

安排學(xué)生“講評”試卷要事先進行布置，一是自我糾錯，對試卷中的錯誤進行訂正，分析錯誤原因；二是歸納總結(jié)，對試卷中做對的題及糾錯過的題進行歸納總結(jié)，整理出題型類別，總結(jié)出同一題型的解題方法；三是變式延伸，對試卷中的重點題進行變式延伸，聯(lián)想相關(guān)知識、相關(guān)題型。這三項任務(wù)可讓學(xué)生課前完成，也可安排一節(jié)課指導(dǎo)學(xué)生完成，第二節(jié)課再讓學(xué)生展示研究成果。展示時應(yīng)先讓學(xué)生在前后桌的三四人小組中交流，教師巡視，然后選擇有代表性的學(xué)生上臺展示，師生點評。