一類新型的非線性壓縮映射的不動點(diǎn)定理

李春平

(山西大學(xué) 商務(wù)學(xué)院公共基礎(chǔ)部,山西 太原 030031)

0 引言和預(yù)備知識

泛函分析作為較新的一門數(shù)學(xué)分支,以其在微分方程、動力系統(tǒng)等各個領(lǐng)域應(yīng)用的廣泛性,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有重要的地位．其中,關(guān)于壓縮映射的不動點(diǎn)理論研究尤為突出．研究內(nèi)容豐富,新的成果也不斷出現(xiàn)．不動點(diǎn)理論本質(zhì)上就是求解算子方程Ax=x的問題,是判斷方程解的存在和唯一性的主要依據(jù)．其中,Banach不動點(diǎn)定理(Banach壓縮映象原理)[1]是泛函分析中的一個最常用、最基本的不動點(diǎn)存在性定理,為線性方程組的求解提供了最優(yōu)的逼近程序[2],為微分方程中最重要的定理之一——Picard定理的證明提供了理論依據(jù)[3]．近年來,隨著非線性微積分方程及隨機(jī)算子理論等的進(jìn)一步發(fā)展,人們關(guān)于不同類型非線性壓縮映射的不動點(diǎn)討論日益增多,如文[4-7]．本文針對一類新型的、更一般的非線性壓縮映射,討論其不動點(diǎn)的存在性和唯一性,還給出了相應(yīng)的誤差估計(jì)不等式,拓寬了定理的應(yīng)用范圍．

定義1[1]若(X,ρ)是一度量空間,點(diǎn)列{xn}是空間上的基本列(Cauchy列),是指:

ρ(xn,xm)→0(n,m→∞)．

定義2[1]若度量空間(X,ρ)中所有的基本列均收斂,則稱該空間是完備的．

定義3[1]若映射A:(X,ρ)→(X,ρ),若對?x,y∈X,存在0<α<1,滿足不等式

ρ(Ax,Ay)≤αρ(x,y)成立．則稱映射A是一個壓縮映射．

Banach不動點(diǎn)定理[1]若(X,ρ)是一個完備的度量空間,映射A:(X,ρ)→(X,ρ)是一個壓縮映射,則A在空間X上存在唯一的不動點(diǎn)．即,存在唯一的x′∈X滿足x′=Ax′．

1 主要結(jié)論

證明 任取x0∈X,定義迭代序列{xn}滿足xn+1=Txn,n=0,1,2,…．則由條件知

(1)

若ρ(xn-1,xn)<ρ(xn,xn+1),則由(1)式有ρ(xn,xn+1)≤hρ(xn,xn+1),矛盾!

故有ρ(xn-1,xn)>ρ(xn,xn+1),并代入(1)式,得

ρ(xn,xn+1)≤hρ(xn-1,xn)<ρ(xn-1,xn)

(2)

知數(shù)列{ρ(xn,xn+1)}單調(diào)遞減．進(jìn)而得

ρ(xn,xn+1)≤hρ(xn-1,xn)≤…≤hnρ(x0,x1)

(3)

現(xiàn)證{xn}是X中的Cauchy列．事實(shí)上,對任意的正整數(shù)m,n,

0≤ρ(xm+n,xn)≤ρ(xm+n,xm+n-1)+ρ(xm+n-1,xm+n-2)+…+ρ(xn,xn+1)≤

即{xn}是X中的Cauchy列．由(X,d)的完備性知,設(shè)xn→x′∈X．

ρ(Tx′,x′) ≤ρ(Tx′,xn+1)+ρ(xn+1,x′)≤

事實(shí)上,假設(shè)x″是T在X中不同于x′的不動點(diǎn),則

ρ(x′,x″)=ρ(Tx′,Tx″)≤hρ(x′,x″),故由0

最后,考慮誤差估計(jì)

得證．

證明 任取x0∈X,定義迭代序列{xn}滿足xn+1=Txn,n=0,1,2,…．則由條件知

ρ(xn,xn+1)=ρ(Txn-1,Txn)≤a(xn-1,xn)ρ(xn-1,xn)+b(xn-1,xn)ρ(xn-1,xn)+

c(xn-1,xn)ρ(xn,xn+1)+s(xn-1,xn){ρ(xn-1,xn+1)+ρ(xn,xn)}

(4)

進(jìn)而有

[1-c(xn-1,xn)-s(xn-1,xn)]ρ(xn,xn+1)≤[a(xn-1,xn)+b(xn-1,xn)+s(xn-1,xn)]ρ(xn-1,xn)

(5)

則由(5)式得

(6)

現(xiàn)證數(shù)列{ρ(xn,xn+1)}單調(diào)遞減．

事實(shí)上,若ρ(xn,xn+1)>ρ(xn-1,xn),結(jié)合(6)式及條件中二元函數(shù)a,b,c,s與數(shù)λ的關(guān)系知

(7)

矛盾．即,ρ(xn,xn+1)<ρ(xn-1,xn)(n=0,1,…)．且滿足

ρ(xn,xn+1) =ρ(Txn-1,Txn)≤a(xn-1,xn)ρ(xn-1,xn)+b(xn-1,xn)ρ(xn-1,xn)

+c(xn-1,xn)ρ(xn,xn+1)+s(xn-1,xn){ρ(xn-1,xn)+ρ(xn,xn+1)}

≤[a(xn-1,xn)+b(xn-1,xn)+c(xn-1,xn)+2s(xn-1,xn)]ρ(xn-1,xn)

≤λρ(xn-1,xn)

所以由定理1的證明過程知,推論顯然成立．