一道數(shù)學高考題解法的“探究”及教學啟示

□周如俊

（灌南中等專業(yè)學校，江蘇灌南 222500）

【2018年江蘇（文理）第19題】試題如下：記f′(x)，g′(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù) .若 存 在 x0∈R，滿足 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”.

（1）（略）；

（2）（略）；

（3）已知函數(shù)f(x)=-x2+a，g(x)=任意a＞0，判斷是否存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內存在“S點”，并說明理由.

江蘇省教育考試院給出“參考答案”摘錄如下：

（3）對任意a＞ 0，設h(x)=x3-3x2-ax+a.

因為h(0)=a＞0，h(1)=-2＜0，且h(x)的圖解是不間斷的，

所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0，

由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x)，得

此時，x0滿足方程組（**），即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內的一個“S點”.

因此，對于任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內存在“S點”.

2016級高三學生研讀“參考答案”時感到懵懂與迷茫，提出四個方面疑問：一是為何一開始就構建函數(shù)h(x)=x3-3x3-ax+a，而不是構建其他函數(shù)？二是“參考答案”中“此時，x0滿足方程組（**）”的結論理由是什么？是否省略了一些解題過程？三是對于“對于任意a＞ 0，存在b＞ 0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內存在一個‘S點’”結論，是否存在兩個或3個“S點”？四是滿足“f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)”條件下兩個函數(shù)之間是怎樣的關系？能否用數(shù)學公式表征出來？為此，筆者基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)視域，在教學中做了一些探究，引導學生對試題解法與命題本源試做一些探討.

一、解題的“塑源”——培養(yǎng)學生“數(shù)據(jù)分析”素養(yǎng)

參考答案解法是逆向思維綜合解法，學生識讀時感到晦澀難懂.為此，采用正向思維法，對原解法做了改進.其解題關鍵是：確立b＞0時x0的范圍.然后構造函數(shù)h(x)，驗證x0存在的區(qū)間上h(x)有解（即有零點），結論成立.

假設對任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內存在“S點”，則

由f′(x0)=g′(x0)知：即b=

對任意a＞0，b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內存在“S點”.

由 f(x0)=g(x0)且 f′(x0)=g′(x0)，得出

以下解法同參考答案.

以上詮釋了學生前兩個疑問.

【教學啟示】高考解題教學過程也是師生數(shù)據(jù)（信息）分析過程，而不是僅靠“參考答案”的“復制”式講述過程.為什么參考答案中一開始就要構建相關三次函數(shù)，教學中需要引導學生學會數(shù)據(jù)分析，提升數(shù)據(jù)處理（包括數(shù)據(jù)抽象化、邏輯推理、最優(yōu)分析、符號運算）技巧.即針對高考試題內容與參考答案的研究對象，調取相關求解信息與關聯(lián)數(shù)據(jù)，進行邏輯分析和縝密推斷，注重學生發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)問題、體驗解決問題的形成過程：從試題中學會收集數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)歸類中提煉關鍵數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)挖掘中提取關聯(lián)信息，構建學生熟悉的函數(shù)、數(shù)列、不等式、三角、排列組合、線性規(guī)劃等數(shù)學模型，進行數(shù)據(jù)分析、邏輯推斷與類比整合，獲得解題的相關結論、方法、思想和智慧.這種數(shù)據(jù)“分析”過程主要包括：“信息識別（體驗數(shù)據(jù)中蘊涵著信息）—數(shù)據(jù)收集—挖掘（分析）數(shù)據(jù)—模型選定—數(shù)據(jù)改進（提煉）.”最終促進學生數(shù)學問題求解的思維深度，增強學生基于數(shù)據(jù)表達與提煉的問題求解意識，積累依托數(shù)據(jù)探索解題的關聯(lián)、本質、模型、思想和規(guī)律的活動經(jīng)驗，內化為學生自己的結構化知識網(wǎng)絡，養(yǎng)成通過數(shù)據(jù)分析與邏輯推理認識試題命題本質的思維品質.

二、解題的“化歸”——培養(yǎng)學生“數(shù)學建?！彼仞B(yǎng)

以上“對于任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,1)內存在一個‘S點’”論證，應用了函數(shù)零點存在性定理：一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，即存在x0∈(a,b)，使得 f(x0)=0，這個 x0也就是f(x)=0的根.函數(shù)零點存在性定理，能確定函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內有零點，但零點不一定唯一；另外，并不是所有的零點都可以用該定理來確定.也可以說不滿足該定理的條件，并不能說明函數(shù)在(a,b)上沒有零點.例如，函數(shù)f(x)=x2-5x+6，有f(0)f(4)＞ 0，但函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（0，4)上有兩個零點；只有y=f(x)在[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調函數(shù)，f(a)f(b)＜0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內有唯一的零點.

對于考生的第三個疑問，其實涉及了“三次函數(shù)零點問題”.依據(jù)函數(shù)零點存在性定理及相關結論，結合文獻[1-2]內容，對表1三次函數(shù)圖象情況進行拓展，做一般性推廣，得到如下推論.

表1

【推論 11】三次函數(shù)（fx）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的導函數(shù)

f（′x）=3ax2+2bx+c，記 Δ=4b2-12ac，設f（′x）=0的兩根為x1，x（2x1＜x2），

則：

（1）若三次函數(shù)圖象與x軸有三個交點（即存在三個零點），則Δ＞0且（fx1）·（fx2）＜0；

（2）若三次函數(shù)圖象與x軸有兩個交點（即存在二個零點），則Δ＞0且（fx1）·（fx2）=0；

（3）若三次函數(shù)圖象與x軸有一個交點（即存在一個零點），則Δ＞0且（fx1）·（fx2）＞0或Δ≤0.

利用推論1詮釋考生的第三個疑問：

函數(shù) h(x)=x3-3x2-ax+a，則 h′(x)=3x2-6x-a.

因 a＞0，Δ=(-6)2-4×3×(-a)=36+12a＞0，故由推論1可知，三次函數(shù)h(x)=x3-3x2-ax+a圖象與x軸至少有一個交點.

令h′(x)=3x2-6x-a=0，則因a＞0，則

故h(x)=x3-3x2-ax+a圖象如表1類型Ⅰ情況：

（1）若x∈(-∞,+∞)時有三個零點x0.三個零 點 取 值 范 圍 分 別 是 ：x01∈(-∞,x1)，x02∈(x1,x2)，x03∈(x2,+∞).

因為h(0)=a＞0，h(1)=-2＜0，且h(x)的圖象是不間斷的，所以存在x0∈(0,1)，使得h(x0)=0.

（2）若x∈(-∞,+∞)時有兩個零點x0.兩個零點取值范圍分別是：x01=x1，x02∈(x2,+∞)或x01∈(-∞,x1)，x02=x2.

故此種情況不存在.

（3）若x∈(-∞,+∞)時有一個零點x0.一個零點取值范圍是：x0∈(-∞,x1).

故此種情況也不存在.

由于考題只需要證明存在零點即可.但作為數(shù)學學習與研究時，上述探討三次函數(shù)零點個數(shù)問題的模型對于學生數(shù)學學習更具有普適性的意義.

綜上所述，2018年江蘇（文理）第19題解題本質是“三次函數(shù)零點問題”.這與2015年江蘇（文理）第19題命題本質是一樣的.

【2015年江蘇（文理）第19題】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

（1）試討論f(x)的單調性；

（2）若b=c-a（實數(shù)c是與a無關的常數(shù)），當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是求c的值.

【解析】（略）

【教學啟示】高考解題教學過程也是培養(yǎng)學生將錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的、熟習的數(shù)學結構的“建?！边^程.即對高考試題解題教學中遇到三次函數(shù)的零點問題的求解難點，師生要勇于合作探究，學會用數(shù)學語言、符號、式子、圖形、程序等方式進行數(shù)學抽象與表征問題（如將三次函數(shù)的導函數(shù)f（′x）=3ax2+2bx+c的判別式記為Δ=4b2-12ac，導函數(shù)f（′x）=0的兩根記為x1，x2），善于用函數(shù)（fx）、導函數(shù)f′(x)的圖象、函數(shù)單調性等知識和Δ＞0（Δ≤0）、（fx1）·（fx2）＞0（（fx1）·（fx2）＜0或f(x1)?f(x2)=0）不等式（組）聯(lián)合求解方法，構建推論1數(shù)學解決問題的模型.這種數(shù)學“建?！边^程主要包括：“問題復述—問題分析—問題的假設—符號抽象—構建模型—求解結論—模型（結果）驗證—模型改進.”最終促進學生解決數(shù)學問題的思維廣度，積累用數(shù)學語言、數(shù)學符號表述來建立數(shù)學模型解決高考試題問題的方法或經(jīng)驗，體現(xiàn)多題一解、多解歸一的抽象思維品質，提高學生分析與解決問題的應用能力，增強學生學習數(shù)學的興趣與應用數(shù)學的創(chuàng)新意識.

三、解題的“拓展”——培養(yǎng)學生“數(shù)學抽象”素養(yǎng)

學生的第四個疑問，其實提出了2018年江蘇（文理）第19題命題的本源問題.由高等數(shù)學知識一元函數(shù)的泰勒公式推出以下結論.

【推論2】[3]假設一元函數(shù)f(x)，g(x)在x0的某一鄰域均有定義，則f(x)，g(x)兩個函數(shù)：

（1）若f(x0)=g(x0)，則兩函數(shù)在y坐標的高度相同；

（2）若f′(x0)=g′(x0)，則兩函數(shù)的圖象在x0點斜率相同；

（3）若 f′′(x0)=g′′(x0)，則兩函數(shù)在 x0某一鄰域的凹凸性相同；

（4）若f(x0)=g(x0)，且兩函數(shù)在x0處各階導數(shù)均相同，則兩函數(shù)的圖象在x0的某一個領域內是相同（重合）的（即兩個函數(shù)是一個函數(shù)）.

第（1）～（3）個結論簡單.以下通過泰勒公式來說明推論2中第（4）個結論的正確性.

【一元函數(shù)的泰勒公式】[4]若函數(shù)f(x)包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導數(shù)，且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x，成立下式：

其中，f(n)(x)表示f(x)的n階導數(shù)，等號后的多項式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項，是(xx0)n的高階無窮小.

一元函數(shù)的泰勒公式，表示函數(shù)在一個點的鄰域內的值可以用函數(shù)在該點的值及各階導數(shù)值組成的無窮級數(shù)表示出來.若f(x0)=g(x0)，且兩個函數(shù)在x0處各階導數(shù)都相同，則f(x)，g(x)兩個函數(shù)可以展開成同一個多項式，并且多項式是無窮項.因此f(x)，g(x)根據(jù)等量代換，即為同一個函數(shù).這正是泰勒公式的真正含義.

由一元函數(shù)泰勒公式可聯(lián)想到2018年江蘇（文理）第19題命題的本質，形成如下結論.

【推論3】若函數(shù)f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)，則函數(shù) g(x)最簡單的形式可表示

推論3詮釋了考生的第四個疑問，據(jù)此可構建或編擬，或驗證：滿足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0)的兩個函數(shù)：f(x)，g(x).

以下利用推論3解答2018年江蘇（文理）第19題.

由推論3可知g(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0).

由 f′(x0)=g′(x0)知：-

假設對任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0,+∞)內存在“S點”，則b=0,即1-x0＞ 0，0＜ x0＜ 1.

由f(x0)=g(x0)得：-

以下解法同參考答案，故略.

【教學啟示】高考解題教學過程也是培養(yǎng)學生“數(shù)學抽象”思維過程.即從高考題內容與解題背景中分析問題的“三對關系”（數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系、概念與概念關系），依據(jù)數(shù)學抽象的“四項基本原則”（弱抽象：“特征分離概括化原則”；強抽象：“關系定性特征化原則”；構象化抽象：“新元添加完備化原則”；公理化抽象：“公理抽象系統(tǒng)化原則”），從問題的具體背景中抽象出數(shù)學問題解答的結構化式子或一般性的規(guī)律（或結論），嘗試用抽象符號或簡潔術語予以表征出來.這種數(shù)學表征“抽象”過程主要包括：“信息采集—關系分析—特征抽取—符號抽象—數(shù)學表征—結構提煉—應用評價—抽象改進”，“貫穿在問題求解的產(chǎn)生、發(fā)展、應用與拓展的抽象思維過程中”，最終促進學生解決數(shù)學問題的思維高度，堅持通過抽象、建模、運算、推理、概括去認識、理解、把握試題命題的數(shù)學本質，使得數(shù)學或命題成為高度概括、表達準確、結論一般、有序多級的系統(tǒng).學生也只有在積累從具體（數(shù)量、圖形、經(jīng)驗）到抽象（概念、特征、公理）的解題活動體驗基礎上，才能更好地透徹理解數(shù)學概念、符號、公式、命題、方法、定理（公理）和體系 .