帶阻尼的非等熵歐拉方程組的爆破*

董建偉，楊永

(鄭州航空工業(yè)管理學院理學院，河南 鄭州 450015)

本文考慮帶阻尼的非等熵歐拉方程組的初邊值問題：

ρt+div(ρu)=0

(1)

ρut+ρu·▽u+▽ρ=-αρu

(2)

St+u·▽S=00

(3)

(4)

u·n||x|=1=0

(5)

本文的主要目的是將文獻[11]中的一個結果推廣到非等熵情形，并在沒有γ≤3的限制條件下討論η(0)<0情形的爆破，這也是對文獻[15]中結果的一個改進。

1 非負初始熵情形

(6)

我們還需要如下記號：

B(t)={x∈R3:1≤|x|≤R+σt}，

(7)

(8)

(9)

則由文獻[14]中的(2.1a)，(2.1b)式知

m(t)=m(0)，η(t)=η(0)，

0

(10)

F(0)>

(11)

則T是有限的。

證明由文獻[11]中的(6)式知

F′(t)+αF(t)≥

(12)

由Jensen不等式，(8)式，(10)式及η(0)≥0得

(13)

所以

(14)

從而由(12)式，(14)式，得

(15)

另一方面，由文獻[11]中的(8)式知

(16)

所以由(15)式，(16)式得

(17)

定義G(t)=eαtF(t)，在(17)式兩邊同乘以eαt，得

(18)

因此G(t)是一個遞增函數，由條件G(0)=F(0)>0知只要G(t)存在，則G(t)>0。(18)式兩邊同除以G2(t)并在[0,t]上積分，得

(19)

所以(19)式中的時間t必須是有限的，從而T是有限的。

2 負初始熵情形

F(0)>

(20)

證明由文獻[15]中定理2的證明知

(21)

其中

(22)

且

(23)

由g(t)在[0,+∞)上連續(xù)及(23)式知g(t)在[0,+∞)上有界，再由確界原理知g(t)在[0,+∞)上有下確界，設

(24)

(25)

由(12)式，(25)式，得

(26)

再由(16)式，(26)式，得

F′(t)+αF(t)≥

(27)

定義G(t)=eαtF(t)，在(27)式兩邊同乘以eαt，得

(28)

所以對任何固定的k∈(0,1)，0≤t≤τ，有

(29)

由條件(20)式知

(30)

所以由(29)式知G(t)>0遞增，且

(31)

(31)式兩邊同除以G2(t)并在[0,τ]上積分，得

(32)

所以再由條件(20)式知T<τ。