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    逆冪律模型下Frechet分布序進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析

    2018-12-04 06:19:28徐曉嶺
    兵器裝備工程學(xué)報(bào) 2018年11期
    關(guān)鍵詞:真值壽命距離

    何 亮,徐曉嶺

    (上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院,上海 201620)

    隨著科技的不斷發(fā)展,產(chǎn)品更新?lián)Q代速度加快,電子設(shè)備及元器件的可靠性在不斷提高,一般的產(chǎn)品壽命試驗(yàn)方法已經(jīng)不再適用。所以通常設(shè)計(jì)加速壽命試驗(yàn)對高可靠性、長壽命的產(chǎn)品的壽命進(jìn)行快速評定。序進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)(簡稱序加試驗(yàn))是加速壽命試驗(yàn)中的一種重要方法,試驗(yàn)中受試產(chǎn)品的應(yīng)力水平隨時間連續(xù)上升,是時間的連續(xù)非降函數(shù),相比于恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)?zāi)芸s短試驗(yàn)時間。

    由Frechet在1927年提出的Frechet分布[1]在各種工程應(yīng)用的統(tǒng)計(jì)建模中非常重要,在極端氣候事件中也有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。Mann在文獻(xiàn)[2]中討論了Frechet分布及Gumbel分布間關(guān)系與其參數(shù)估計(jì)。Longin在文獻(xiàn)[3]中將Frechet分布運(yùn)用到擬合股市的極端價格變動下的走勢。Nadarajah在文獻(xiàn)[4]將Frechet分布用于社會學(xué)模型。Zaharim等在文獻(xiàn)[5]中將對數(shù)正態(tài)分布以及Frechet分布用于風(fēng)速數(shù)據(jù)的預(yù)測分析中。Abd-Elfattah在不同的標(biāo)準(zhǔn)下對廣義Frechet分布進(jìn)行了擬合優(yōu)度檢驗(yàn)[6]。Mubarak在文獻(xiàn)[7]中給出了逐步增加定數(shù)截尾場合下(移除數(shù)量服從二項(xiàng)分布)的參數(shù)極大似然估計(jì)以及區(qū)間估計(jì)。Abbas和湯銀才在文獻(xiàn)[8]中對已知形狀參數(shù)的Frechet分布進(jìn)行Bayes估計(jì),在[9]中研究了在定數(shù)截尾數(shù)據(jù)場合下參數(shù)的極大似然估計(jì)以及最小二乘估計(jì)。國外的很多學(xué)者對一般化的Frechet分布有較多的研究,Nadarajah與Kotz在文獻(xiàn)[10]中提出指數(shù)化的Frechet分布,與Gupta提出Beta-Frechet分布[11]。Krishna在文獻(xiàn)[12]介紹了Marshall-Olkin Frechet分布。Afify提出Weibull-Frechet 四參數(shù)壽命分布模型[13],并通過極大似然估計(jì)其模型參數(shù)。Mansoor等引入擴(kuò)展的四參數(shù)Frechet分布,亦稱指數(shù)化的指數(shù)Frechet分布,并與Marshall-Olkin Frechet分布、指數(shù)Frechet分布、Frechet分布基于實(shí)際數(shù)據(jù)作比較,說明了新分布更加貼合這些數(shù)據(jù)[14]。在加速壽命試驗(yàn)方面,Shahab在文獻(xiàn)[15]中基于指數(shù)過程在常應(yīng)力下給出分布的參數(shù)估計(jì)以及區(qū)間估計(jì),在[16]中通過圖像研究Frechet 分布簡單步加試驗(yàn)的最優(yōu)時間。Ghaly在文獻(xiàn)[17]中在常應(yīng)力下對指數(shù)分布族加速壽命試驗(yàn)的不同方法進(jìn)行了對比,并基于實(shí)際數(shù)據(jù)給出模型選用的建議。

    本文基于逆冪律模型對Frechet分布在與時間為一般線性關(guān)系的序進(jìn)應(yīng)力下的加速壽命試驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,分別運(yùn)用極大似然估計(jì)、MPS估計(jì)以及最小距離估計(jì)分別給出參數(shù)的點(diǎn)估計(jì),并通過大量的Monte-Carlo模擬對比3種估計(jì)方法的精度。

    1 基本假設(shè)

    統(tǒng)計(jì)分析基于以下幾個假設(shè):

    假設(shè)1 在恒定應(yīng)力V>0下,產(chǎn)品壽命X服從Frechet分布,記為X~Fr(α,β(V)),其分布函數(shù)為:FV(t)=exp{-(β(V)/t)α},其中α>0為形狀參數(shù),β(V)>0為尺度參數(shù)。

    假設(shè)2 不同應(yīng)力水平下,產(chǎn)品的失效機(jī)制相同,即形狀參數(shù)α保持不變。

    假設(shè)3 特征壽命β(V)與應(yīng)力V滿足逆冪律模型:β(V)=1/(dVc),其中d>0,c>0為待估參數(shù),且獨(dú)立于應(yīng)力V,φ(V)為已知函數(shù)。對模型兩邊取對數(shù),可得到β(V)滿足對數(shù)線性關(guān)系:lnβ(V)=a+bφ(V),其中a=-lnd,b=-c,φ(V)=lnV

    假設(shè)4 產(chǎn)品的剩余壽命僅依賴于當(dāng)時已累積失效部分及當(dāng)時的應(yīng)力水平,與累積方式無關(guān),此即Nelson假定。數(shù)學(xué)表達(dá)為:在應(yīng)力水平Vi下產(chǎn)品連續(xù)工作ti時間的累積失效概率Fi(ti)相當(dāng)于該產(chǎn)品在應(yīng)力水平Vj下工作tj時間的累積失效概率,即Fi(ti)=Fj(tj)。

    在序加試驗(yàn)中,將n個產(chǎn)品置于序進(jìn)應(yīng)力V(t)=Kt+V0(V0≥0)下進(jìn)行加速壽命試驗(yàn),直至所有受測樣本失效為止。關(guān)于在此應(yīng)力下的產(chǎn)品壽命分布,有如下定理。

    定理1 若產(chǎn)品壽命滿足上述基本假設(shè),當(dāng)應(yīng)力為關(guān)于時間的函數(shù),即產(chǎn)品壽命在應(yīng)力V=V(t)下的分布函數(shù)為:

    (1)

    當(dāng)ξ→0時,由Riemann積分的定義并由假設(shè)3有β[V(t)]=exp{a+bφ[V(t)]},則在應(yīng)力V(t)下產(chǎn)品壽命的分布函數(shù)為:

    2 逆冪律模型下序進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析

    2.1 極大似然估計(jì)(方法1)

    根據(jù)定理1,產(chǎn)品在應(yīng)力V(t)=Kt+V0(V0>0)下壽命的分布函數(shù)和密度函數(shù)為

    (2)

    (3)

    試驗(yàn)得到的產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)為t(1)≤t(2)≤…≤t(n)。

    其似然函數(shù)為

    對數(shù)似然函數(shù)為

    lnL=nlnα-nαlnd+n(α+1)lnK+

    分別令對數(shù)似然函數(shù)對α,d,c求導(dǎo):

    2.2 MPS估計(jì)(方法2)

    在極值分布的參數(shù)估計(jì)中,小樣本場合下的極大似然估計(jì)穩(wěn)定性較差,而相比之下由Cheng和Amin提出的MPS估計(jì)具有更穩(wěn)定的估計(jì)結(jié)果[20-21],甚至能在某些極大似然估計(jì)失效的情況下仍能作出良好的評估[22]。

    在序進(jìn)應(yīng)力V(t)=Kt+V0下,產(chǎn)品壽命次序統(tǒng)計(jì)量T(i)的分布函數(shù)記為FT(i)(t),取值為t(i),則有

    FT(i)(t)=IF*(t)(i,n-i+1),i=1,2,…,n

    (4)

    其中當(dāng)i=1,2,…,n時,

    [1-(1+c)ln(Kt(i)+V0)]}·

    2.3 最小距離估計(jì)(方法3)

    Wolfowitz提出了最小距離估計(jì)(或稱擬合優(yōu)度估計(jì))[24-25],并證明了估計(jì)的一致性。其思想是通過使經(jīng)驗(yàn)分布與某些參數(shù)族分布的距離達(dá)到最小。常用的距離準(zhǔn)則有卡方距離、Kolmogorov-Smirnov (K-S) 距離、Anderson-Darling (A-D) 距離以及Cramer-Von Mises (CVM) 距離。本文選取Anderson-Darling (A-D) 距離作為擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量。

    經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(t)與分布函數(shù)F(t)的距離記為EDF統(tǒng)計(jì)量,即:

    (5)

    其中ψ(t)為權(quán)重函數(shù)。令ψ(t)={F(t)[1-F(t)]}-1,為方便計(jì)算,A-D統(tǒng)計(jì)量的代數(shù)形式如下:

    (6)

    其中z(i)=F(t(i)),i=1,2,…,n,t(i)為第i個次序統(tǒng)計(jì)量的值,令

    3 數(shù)值模擬

    針對真值為α=0.5,1,1.5,d=1,c=1,樣本容量為n=20,30,50,在序進(jìn)應(yīng)力V(t)=t+1下分別進(jìn)行 50 000次的Monte-Carlo模擬試驗(yàn),試驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

    表1 序進(jìn)應(yīng)力為V(t)=t+1下Monte-Carlo模擬試驗(yàn)結(jié)果

    從表1中的結(jié)果,可以得到如下結(jié)論:

    1) 關(guān)于參數(shù)α,就均方誤差意義上而言方法2的效果最好。當(dāng)α較小(<1)時,方法3誤差大于方法1,但估計(jì)均值更加接近參數(shù)真值;當(dāng)α≥1時,方法3的誤差介于方法1和方法2之間,且估計(jì)均值較方法1、方法2更接近真實(shí)情況。

    2) 關(guān)于參數(shù)d,方法2的估計(jì)效果最好。方法1的誤差在3種估計(jì)方法中最大,而當(dāng)α=0.5時其估計(jì)均值離真值最遠(yuǎn),當(dāng)α=1,1.5時較方法3而言更接近真值。

    3) 關(guān)于參數(shù)c,方法1的估計(jì)均值離真值較遠(yuǎn),也最不穩(wěn)定;方法2效果次之,方法3效果最佳,甚至在小樣本情況下仍能得到較好的估計(jì)結(jié)果。

    在實(shí)際應(yīng)用中,應(yīng)通過方法2(MPS估計(jì))得到參數(shù)α,d的估計(jì)值,通過方法3(最小距離估計(jì))得到參數(shù)c的估計(jì)值,以達(dá)到最佳的估計(jì)效果。下面給出模擬算例。

    模擬算例:取真值為α=1,d=1,c=1,在序進(jìn)應(yīng)力V(t)=t+1下進(jìn)行序加試驗(yàn),利用Monte-Carlo模擬生成30個產(chǎn)品失效數(shù)據(jù)如下:

    0.238 50.293 40.325 40.361 70.385 00.445 70.470 40.486 30.546 70.610 30.668 70.772 20.803 70.917 50.941 80.970 50.993 51.009 61.048 31.074 61.143 91.514 11.519 91.659 52.27162.892 02.958 73.098 73.90 749.294 2

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