以離散曲線為測地線的離散曲面構(gòu)造

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(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

曲面上測地線是曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何量, 曲面上任意兩點(diǎn)間的測地線段是該兩點(diǎn)間的局部最短連線。由于這一性質(zhì), 測地線被廣泛運(yùn)用于各領(lǐng)域中。比如, 工業(yè)產(chǎn)品或動畫人物的網(wǎng)格外形復(fù)蓋件設(shè)計(jì), 路徑剪裁, 服飾鞋帽設(shè)計(jì), 紡織材料生產(chǎn)等。

測地線在微分幾何領(lǐng)域和CAGD領(lǐng)域中有很多重要的研究成果。過去測地線的研究主要集中在測地線的特征及計(jì)算。最近幾年一部分學(xué)者開始研究以給定曲線為曲面特征線的曲面反求, Wang等[1]給出了以給定曲線為公共測地線的曲面束構(gòu)造算法, 為后面學(xué)者的研究奠定基礎(chǔ), 這一課題提出以來, 相繼有國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究; Zhao等[2-3]提出了以給定曲線為測地線的有理Bézier曲面構(gòu)造和以給定曲線為曲率線的可展曲面構(gòu)造; Paluszny[4]提出過測地線的三次多項(xiàng)式曲面的構(gòu)造; Sanchez-Reyes等[5]提出了從給定測地線反向構(gòu)造帶約束多項(xiàng)式曲面; Sprynski等[6]給出了插值測地線的曲面構(gòu)造算法; Farouki等[7-8]進(jìn)一步研究了以給定Bézier曲線為測地線的Bézier曲面構(gòu)造和給定三條首尾相連的測地線為邊界線的三角形Coon曲面片的構(gòu)造和光順; 陳杰等[9]提出了過測地線的近似極小直紋曲面設(shè)計(jì); Li等[10-11]給出了過公共曲率線的曲面束參數(shù)表達(dá)式算法以及以已知曲線為測地線的近似極小曲面設(shè)計(jì); 楊火根等[12]基于插值邊界測地線的充要條件，提出了插值非均勻B樣條曲線為等參測地線的非均勻B樣條優(yōu)化曲面設(shè)計(jì); 壽華好等[13]提出帶法向約束下B樣條曲線擬合的實(shí)編碼GA算法?？蓱?yīng)用于曲面構(gòu)造的度量函數(shù)設(shè)計(jì)。最近Sáchez-Reyes[14]又給出了過測地線的極小曲面算法。以上研究都是基于給定曲線為連續(xù)情況, 離散情況的研究寥寥無幾。2015年,張威等[15]給了以離散曲線為曲率線的擬可展離散曲面的構(gòu)造。在離散幾何模型中, 許多連續(xù)的幾何變量的計(jì)算變得復(fù)雜不精確。因?yàn)殡x散形式丟失了原幾何模型的信息。所以以離散曲線為特征線的離散曲面反求相對比較困難。高家全等[16]提出了一種基于GPU的高效并行l(wèi)1最小化算法, 可用于提升算法執(zhí)行效率。劉震等[17]利用耳切三角化技術(shù)，提出了針對三維模型孔洞的一種基曲面構(gòu)建方法。筆者提出了一種以給定離散曲線為測地線的離散曲面反求算法, 這里的離散測地線與三角網(wǎng)格中定義的測地線并不等價, 采用連續(xù)情況的定義。并將度量函數(shù)設(shè)計(jì)成B樣條曲線, 這樣設(shè)計(jì)者可以通過控制幾個點(diǎn)便能設(shè)計(jì)出滿足自身需求的曲面。

1 預(yù)備知識

令U={u0,u1,…,um}是一個單調(diào)不減的實(shí)數(shù)序列，即ui≤ui-1,i=0,1,…,m-1, 其中,ui稱為節(jié)點(diǎn), 用Ni,p(u)表示第i個p次B 樣條基函數(shù), 其定義為

(1)

p次B 樣條曲線定義為

(2)

式中：{Pi}為控制點(diǎn)；Ni,p(u)為定義在非周期且非均勻節(jié)點(diǎn)矢量, 如式(1)所示。B樣條還具有端點(diǎn)插值性, 即C(0)=P0,C(1)=Pn。

對C(u)求導(dǎo)得

(3)

2 過給定測地線曲面的參數(shù)表達(dá)式

給定空間參數(shù)曲線為

C:r=R(s),0≤s≤1

(4)

式中s為弧長參數(shù)。假設(shè)曲線滿足R′(s)×R″(s)≠0, 即曲線上每一點(diǎn)都存在單位切向量、單位法向量和單位從法向量, 分別記為T(s),N(s),B(s),構(gòu)成R(s)的Frenet標(biāo)架?？臻g中過給定曲線R(s)的曲面P(s,t), 可以定義為

P(s,t)=R(s)+(u(s,t),v(s,t),w(s,t))·
(T(s),N(s),B(s))T
0≤s≤1,0≤t≤1

(5)

式中：u(s,t),v(s,t),w(s,t)為至少C1的函數(shù), 也稱為度量函數(shù),u(s,t),v(s,t),w(s,t)反映曲面上的點(diǎn)在t時刻分別沿T(s),N(s),B(s)方向的行進(jìn)的長度。Wang等[1]得出了以R(s)為測地線的曲面束, 度量函數(shù)u(s,t),v(s,t),w(s,t)應(yīng)滿足的約束條件(曲面法向)為

φ1(s,t)T(s)+φ2(s,t)N(s)+φ3(s,t)B(s)

(6)

其中

(7)

對于曲線R(s)的法向?yàn)?/p>

假設(shè)t=t0時P(s,t)=R(s), 則有N(s)‖n(s,t0),0≤s≤1, 即

φ1(s,t0)=φ3(s,t0)≡0
φ2(s,t0)≠0,0≤s≤1,0≤t0≤1

(8)

可化簡為

(9)

曲線R(s)給定, 以其為測地線的曲面就完全由度量函數(shù)決定, 只要度量函數(shù)滿足式(9), 曲面的形狀可自行控制。Zhao等[2]研究了這類曲面的構(gòu)造, 當(dāng)給定曲線R(s)為Bézier曲線時的曲面構(gòu)造方法。

3 過給定測地線曲面的參數(shù)表達(dá)式

本節(jié)是筆者算法核心, 主要介紹如何設(shè)計(jì)滿足約束條件式(9)的度量函數(shù)，為了使得u(s,t),v(s,t),w(s,t)設(shè)計(jì)簡便, 不妨假設(shè)u(s,t),v(s,t),w(s,t)為可因數(shù)分解, 即

(10)

則式(9)可寫為

(11)

其中假設(shè)

l(s)=m(s)=n(s)=1

(12)

3.1 度量函數(shù)為B樣條函數(shù)

假設(shè){U(t),V(t),W(t)}為R的Frenet標(biāo)架下的一條B樣條C(u), 這樣便于設(shè)計(jì)者控制生成曲面的形狀, 則式(11)可寫為

(13)

由B樣條的端點(diǎn)插值性和式(3), 則式(13)可表述為C(u)的控制頂點(diǎn)應(yīng)滿足P0=(0,0,0)(端點(diǎn)插值性),P0,y=P1,y,P0,z≠P1,z。

3.2 離散曲線的幾何量計(jì)算

(14)

令r2,rn-1的密切圓作為端點(diǎn)r1,rn的密切圓, 即O1=O2,On-1=On。

(15)

3.3 離散曲面構(gòu)造算法

以上兩小節(jié)介紹度量函數(shù)和離散幾何量的設(shè)計(jì)和計(jì)算, 將式(5)離散化為

(16)

構(gòu)造曲面具體算法步驟如下:

Step2根據(jù)自身需求分別設(shè)計(jì)滿足式(13)中{U(t),V(t),W(t)}的B樣條函數(shù)。

Step3根據(jù)式(16)計(jì)算離散曲面點(diǎn)。

4 實(shí)例

為了設(shè)計(jì)出符合自身需求的離散曲面, 以給定離散曲線為測地線，通過調(diào)整度量函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量U及其控制頂點(diǎn){Pi}, 下面將展示以給定不同的離散曲線和度量函數(shù), 分別構(gòu)造不同的離散曲面。

圖1 度量函數(shù)相同F(xiàn)ig.1 Same march-function

例2在實(shí)際生產(chǎn)設(shè)計(jì)中, 可以為每個ri設(shè)計(jì)不同的度量函數(shù)來滿足不同的需求?？梢酝ㄟ^調(diào)整各個離散點(diǎn)對應(yīng)的度量函數(shù), 以修改曲面的局部形狀。效果如圖2所示。

圖2 度量函數(shù)不同F(xiàn)ig.2 Different march-function

5 結(jié) 論

以給定離散曲線為測地線的曲面構(gòu)造這一課題,很多學(xué)者是將給定的離散曲線通過插值成連續(xù)曲線處理,最后在連續(xù)情況下進(jìn)行曲面構(gòu)造。筆者采用離散情況的曲面構(gòu)造算法,讓設(shè)計(jì)者通過控制度量函數(shù)來設(shè)計(jì)滿足自身需求的曲面,如果普通的樣條不能滿足設(shè)計(jì)者需求,可以將度量函數(shù)設(shè)計(jì)為有理B樣條。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示該算法在給定任意離散曲面的情況下,能夠很好地控制和設(shè)計(jì)出滿足自身需求的曲面,并且具有很好的交互性。筆者算法通過度量函數(shù)的構(gòu)造來生成曲面,對不熟悉B樣條的設(shè)計(jì)者來說可能在曲面的構(gòu)造上需要多次調(diào)整和選擇合適的B樣條作為度量函數(shù)。今后的工作是研究如何在給定離散測地線的情況下直接生成離散曲面,或者是額外給定一些參數(shù)時，能夠直接生成離散曲面,而不是通過度量函數(shù)控制曲面形狀。