基于邏輯推理數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)模式的嘗試*
——以“對棱相等四面體的由來”為例

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(鎮(zhèn)海中學,浙江 寧波 315200)

1 教學內容與核心素養(yǎng)分析

1.1 地位和作用

對棱相等四面體是一類特殊的四面體，它可以通過截取長方體得到，也可以將對棱相等的四面體補形成長方體.那么為什么對棱相等的四面體能補形成長方體？對如何補形、為何補形的思考可以促進學生邏輯推理能力的提升.

1.2 核心素養(yǎng)分析

邏輯推理是從一些事實和命題出發(fā)，依據邏輯規(guī)則推出其他命題的思維過程[1]，從折紙游戲中直觀感知對棱相等四面體的4個面都是銳角三角形，進而思考：為什么不能是直角三角形和鈍角三角形，是不是任何一個對棱相等的四面體都可以補形成長方體，有沒有可能存在一個四面體滿足對棱相等的條件但不能補形成長方體，為什么可以借助最小角定理幫助理解對棱相等四面體補形成長方體？

2 教學目標和目標解析

教學目標折紙游戲中直觀感知對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，在對對棱相等四面體補形原因的思考過程和證明過程中培養(yǎng)了邏輯推理這一數學核心素養(yǎng).

目標解析在長方體中可以截得對棱相等的四面體，相反對棱相等的四面體可以補形成長方體，從正反兩方面對對棱相等四面體進行思考，在思考過程中形成對其全面深入的認識.結合動手操作從折紙游戲中獲得直觀認識，認識到對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，并在借助最小角定理證明對棱相等四面體能補形成長方體的過程中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，即在教學中有意識地培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，拓展數學思維，提升數學品質.

3 教學問題診斷分析

長方體可以截得對棱相等的四面體，而對棱相等的四面體為什么能補形成長方體，學生可能只是被動地接受而沒有主動地思考過這一問題.讓學生對問題進行多角度的認識，進而對對棱相等四面體有更深入的認識，在對對棱相等四面體補形成長方體這一熟悉問題的重新提出、思考、解決的過程中，培養(yǎng)了學生的邏輯推理這一核心素養(yǎng).

4 教學過程設計

角度1折紙剪紙游戲，直觀感知對棱相等四面體的形成過程和圖形特征.

游戲1如圖1，請分別沿銳角、鈍角、直角△ABC的3條中位線DE，EF，DF進行翻折，翻折過程中點A，B，C能重合嗎？

圖1

生1：只有翻折銳角△ABC時，點A，B，C才有可能重合.

師：為什么只有在銳角三角形時，才有可能重合呢？請大家思考沿DE翻折△ADE時，點A在底面DEF的投影的運動軌跡是什么？

圖2

生2：如圖2，過點A作DE的垂線，交BC于點P，點A在底面上的投影的運動軌跡為垂線段AP.

師：同理沿DF翻折△BDF時，點B在底面DEF上的投影的運動軌跡為垂線段BR,沿EF翻折△EFC時，點C在底面DEF上的投影的運動軌跡為垂線段CQ.銳角三角形的3條垂線段交于同一點，而鈍角三角形的3條垂線段交于三角形外一點，直角三角形的3條垂線段的交點為直角頂點B，因此只有沿銳角三角形的3條中位線進行翻折時，點A，B，C才有可能交于同一點.

師：當點A，B，C重合時，不妨記為點S，如圖3，此時四面體S-DEF的對棱長度之間有關系嗎？

師：銳角三角形沿3條中位線翻折的過程中可以得到一個對棱相等的四面體.

圖3 圖4

游戲2如圖4，將對棱相等的四面體S-DEF分別沿SD,SE,SF剪開展平，使△S1DF，△S2EF，△S3DE與△DEF共面.

師：四面體S-DEF的對棱相等，則

△S1DF≌△S2EF≌△S3DE≌△DEF，

從而

∠EDF=∠S3ED, ∠S1DF=∠DS3E,

于是 ∠S3DE+ ∠EDF+∠S1DF=

∠S3DE+∠S3ED+∠DS3E=π,

即點S3,D,S1共線，同理點S2,E,S3共線，點S1,F,S2共線.也就是說對棱相等的四面體展開后是一個三角形，將這個三角形沿3條中位線進行翻折就還原回了原來對棱相等的四面體，即說明△S1S2S3是銳角三角形.

生4：原來對棱相等四面體的每個面都是銳角三角形.

設計意圖學生從折紙游戲中直觀感知對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，為對棱相等四面體能補形成長方體這一問題的提出和解決作好鋪墊.

角度2最小角定理助推解釋補形.

生：對棱相等的四面體能不能補形成長方體的關鍵是看這個長方體能不能找到.假設能找到，設對棱相等四面體S-DEF的對棱長分別為u，v，w，補形后的長方體的棱長分別為a，b，c，則長方體的棱長分別為

只需說明

u2+v2>w2,u2+w2>v2,w2+v2>u2，

進而說明a,b,c是可以取到的.

圖5

如圖5，作SH⊥平面DEF于點H，由cos∠SDE=cos∠SDH·cos∠EDH，得

∠SDE>∠EDH,

同理可得∠SDF>∠FDH，從而

∠SDE+∠SDF>∠EDH+∠FDH=∠EDF,

于是

∠SDE+∠DSE>∠SED，

同理可得

∠SDE+∠SED>∠DSE,

∠DSE+∠SED>∠SDE，

即△SDE中任意兩角之和大于第三個角，亦即△SDE為銳角三角形，也就說明u2+v2>w2，u2+w2>v2，w2+v2>u2是成立的，可以將對棱相等的四面體補形成長方體，進而在長方體中研究解決問題.

設計意圖借助最小角定理解釋對棱相等四面體的4個面是全等的銳角三角形，說明了補形的原因，同時有助于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng).

角度3[2]對棱相等四面體可以補形成長方體，體會在長方體中研究四面體性質的優(yōu)越性.

師：接下來我們就來研究對棱相等四面體的性質.

圖6

性質1對棱相等四面體的對棱中點連線互相垂直.

如圖6，設M,N，G,H分別為SD,EF,SE,DF的中點，可得四邊形MHNG為菱形，從而NM⊥GH.

性質2[2]對棱相等四面體的外接球球心與內切球球心重合.

因為對棱相等的四面體可以補形成為長方體，所以它的外接球球心即為補形后的長方體的中心.不妨設為點O，由|OS|=|OD|=|OF|=|OE|,知4個小四面體O-SDE，O-SDF，O-SEF，O-DEF全等，從而點O到平面SDE、平面SDF、平面DEF、平面SEF的距離相等，于是點O也為這個四面體內切球的球心.

圖7

性質3對棱相等四面體的任意3個面與第4個面所成角的余弦值之和為1.

由于對棱相等四面體可以補形成長方體.如圖7，作BK⊥SF于點K,B1J⊥SF于點J，聯結DK，EJ，則平面DSF與平面SFE所成角α的大小為π-∠BKD-∠B1JE，從而

cosα= cos(π-∠BKD-∠B1JE)=

-cos 2∠BKD=-(2cos2∠BKD-1)=

cosα+cosβ+cosγ=1.

波利亞曾說：“一個有責任心的教師與其應付繁瑣的教學內容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不復雜的題目去幫助學生深入挖掘題目的各個側面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智和推理能力.”以學生的疑惑為出發(fā)點，對對棱相等四面體的由來有一個更深入的認識，在“為什么補形、怎么補形、如何在補形后的圖形中研究性質”等一系列問題的研究中，培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng).