彎弓射箭 考出素養(yǎng)*
——2018年浙江省金華市數(shù)學(xué)中考第16題PISA類試題的設(shè)計(jì)

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(金華市教育局教研室,浙江 金華 321017)

PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)是PISA評(píng)估的3個(gè)主要內(nèi)容之一，強(qiáng)調(diào)在真實(shí)問(wèn)題情境下數(shù)學(xué)化過(guò)程中的數(shù)學(xué)參與、數(shù)學(xué)運(yùn)用及其應(yīng)當(dāng)具有的數(shù)學(xué)意識(shí)和問(wèn)題解決中“表述”“運(yùn)用”“闡釋”的數(shù)學(xué)能力，其考查過(guò)程很好地描述和評(píng)價(jià)了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

因此,試題的設(shè)計(jì)應(yīng)著眼于對(duì)數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”的考查,需要問(wèn)題情景、思考過(guò)程和反思應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想.在問(wèn)題情景中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，聯(lián)系所學(xué)知識(shí)，嘗試探究解決，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生建模能力、探究能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力等核心素養(yǎng)的考查[1].現(xiàn)以2018年浙江省金華市數(shù)學(xué)中考試題填空題第16題的命制過(guò)程為例，來(lái)探討PISA理念下的試題編制.

1 設(shè)想計(jì)劃

根據(jù)試卷雙向細(xì)目表，填空題的最后一題設(shè)計(jì)為幾何建模問(wèn)題，其情境與生活實(shí)際相聯(lián)系，選擇學(xué)生熟悉的背景，抽象出幾何圖形，借助學(xué)生平時(shí)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，把觀察、探究、計(jì)算融合在一起，蘊(yùn)含方程函數(shù)、數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，來(lái)體現(xiàn)PISA理念[2].

2 靈感追溯

近日，筆者在清華大學(xué)藝術(shù)博物館欣賞了法國(guó)雕塑家布德?tīng)枴袄暮绽死账埂便~像，赫拉克勒斯是希臘神話中的英雄，在兩塊巨石上，赫拉克勒斯叉開(kāi)雙腳頂在上面，腳趾因?yàn)橛昧Χ鴱澢?，全身肌肉隆?他顴骨突兀，眼睛圓睜，神情嚴(yán)肅而威嚴(yán).他一手握弓一手拉弦，整個(gè)身體向后用力坐，弓被拉得彎曲，形成一道優(yōu)美的弧線，仿佛在向世人展示他無(wú)與倫比的力量,巨大的彎弓和舒展的四肢，形成激烈的動(dòng)感和獨(dú)特的構(gòu)圖.

在欣賞、感嘆布德?tīng)柕淖髌窌r(shí)，仿佛看到赫拉克勒斯彎弓射箭的整個(gè)過(guò)程，思考為什么會(huì)產(chǎn)生如此動(dòng)感中的平衡，體現(xiàn)這位英雄的力量之美.當(dāng)把虛無(wú)的弓弦補(bǔ)上的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)箭就在弓弦的中垂線上.為此，能否以此素材為情景，在拉彎弓射箭的過(guò)程中，假設(shè)弓都保持圓弧，用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的思維來(lái)欣賞作品、研究作品，達(dá)到對(duì)這一主題思考的深度呢？

3 改編歷程

方案1如圖1是小明制作的一副弓箭,點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，假設(shè)弓臂BAC是圓弧形.測(cè)得AD=10 cm,BC=60 cm，求弓臂BAC所在圓的半徑.

圖1 圖2

如圖2，作出該圓的圓心O后，在Rt△BDO中，BD2+OD2=OB2,即302+(r-10)2=r2,求得圓的半徑r=50.

圖3 圖4 圖5

圖6 圖7 圖8

圖9

弓臂BAC所在圓的圓心為O,在Rt△OBH中，

BH2+OH2=OB2,

即

求弓箭的弓臂長(zhǎng)度，有一定的實(shí)際意義，將等腰三角形的軸對(duì)稱、垂徑定理、三角函數(shù)、勾股定理等有機(jī)整合一起，很好地考查了圓的相關(guān)知識(shí)，特別是垂徑定理應(yīng)用、Rt△OBH的構(gòu)造，有一定的思維要求.但在拉弓射箭過(guò)程中,弓臂BAC的不變性沒(méi)有很好的體現(xiàn).因此，能否選擇兩種特殊的情況，適度整合，利用其中弓臂、弓弦長(zhǎng)度的不變性，結(jié)合兩種不同情況之間的聯(lián)系來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題.利用圖8，嘗試聯(lián)系圓的切線，形成方案3.

圖10 圖11

圖12 圖13

得出n=240°，這樣就可以得出∠O1B1D1=90°，說(shuō)明B1D1與弓臂B1AC1所在的圓相切.

本方案中，將有關(guān)圓這部分的核心內(nèi)容，如垂徑定理、切線的判定、弧長(zhǎng)的計(jì)算等有機(jī)地融合在一起，達(dá)到了核心內(nèi)容重點(diǎn)考察的目的.通過(guò)計(jì)算得出∠O1B1D1=90°來(lái)判定B1D1是圓的切線，改變證明切線的常用背景，即通過(guò)角的轉(zhuǎn)化來(lái)證明直線與半徑垂直，有一定的新意.聯(lián)結(jié)B1C1后得出∠B1D1A=30°，學(xué)生很容易得出∠B1O1D1=60°,有很大的迷惑性，需要學(xué)生對(duì)圖形有清晰的理解，能很好地甄別學(xué)生不同的思維水平.

但是，本題第1)和第2)小題都是有關(guān)垂徑定理的應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)造直角三角形、利用勾股定理轉(zhuǎn)化為方程求解，得出的方程基本一致，考查雷同.另外，判斷B1D1與弓臂B1AC1所在圓的位置關(guān)系，在拉弓射箭過(guò)程中，其現(xiàn)實(shí)意義不大.

方案4(定稿) 如圖14是小明制作的一副弓箭,點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC=60 cm.沿AD方向拉動(dòng)弓弦的過(guò)程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長(zhǎng).如圖15，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)D1時(shí)，有AD1=30 cm,∠B1D1C1=120°.

圖14 圖15

1)圖15中，弓臂兩端B1，C1的距離為_(kāi)_____cm.

2)如圖16，將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.

圖16 圖17

在本方案中，直接判斷點(diǎn)D1是弓形所在圓的圓心，減少了通過(guò)計(jì)算的判斷，把學(xué)生的探究重點(diǎn)放在圖16中.在圖17中，聯(lián)結(jié)B2C2，設(shè)半圓B2AC2的半徑為r,根據(jù)弧長(zhǎng)相等,有

得到r=20，在Rt△OD2B2中，

從而

這樣，在抽象出的幾何圖形中，通過(guò)聯(lián)系圓的知識(shí)，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形等活動(dòng)，將圓、直角三角形、等腰三角形以及勾股定理、圓的弧長(zhǎng)計(jì)算、三角函數(shù)等核心知識(shí)有機(jī)地整合在一起.

在閱卷中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不理解“弓弦不伸長(zhǎng)”，沒(méi)有得出BD=B1D1=B2D2=30 cm,在圖15中沒(méi)有判斷出D1是弓形所在圓的圓心，造成第1)小題的求解錯(cuò)誤；在解決第2)小題時(shí)，由于學(xué)生不理解“弓臂BAC始終保持圓弧形”，就難以利用弧長(zhǎng)相等這一等量關(guān)系得出關(guān)于r的方程.

另外，圖15中兩種拉弓狀態(tài)、圖16中3種拉弓狀態(tài)分別在同一圖中呈現(xiàn)，其好處是能夠讓學(xué)生直觀感受3種拉弓狀態(tài)之間的聯(lián)系以及變化過(guò)程，但圖形呈現(xiàn)略顯復(fù)雜，且淡化了對(duì)學(xué)生空間想象能力的考查，可以將圖16中箭拉到D1位置(即圖中弓B1AC1)去掉，讓學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中，需要想象或畫出該狀態(tài),更好地實(shí)現(xiàn)對(duì)核心素養(yǎng)的考查.

4 命題反思

該試題的編制過(guò)程采用“選擇生活情景，抽象數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行適度整合，探究考查方向”的方法，通過(guò)不斷嘗試，形成試題.這給編制含有PISA理念的數(shù)學(xué)試題帶來(lái)很多啟發(fā).

4.1 選擇問(wèn)題情境

PISA類試題都會(huì)設(shè)置一個(gè)貼近現(xiàn)實(shí)、蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)的情境，且有“個(gè)人的”“社會(huì)的”“職業(yè)的”或“科學(xué)的”背景標(biāo)簽，與生活緊密相連，目的是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的親切，增加對(duì)問(wèn)題的熟悉和理解，來(lái)考查把握有用信息的能力.本題的“彎弓射箭”，為學(xué)生所熟悉，設(shè)問(wèn)方向聯(lián)系實(shí)際需求，從初稿求弓臂BAC所在圓的半徑，方案2求弓臂BAC的長(zhǎng)度，方案3切線的判定，最后修改為拉弓弦的距離D1D2的長(zhǎng)度，更接近生活實(shí)際.試圖讓學(xué)生在閱讀的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)情境背后的數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，建模并抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，嘗試選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，關(guān)注了空間圖形與生活的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是有用的.

4.2 表達(dá)圖形變化

4.3 體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維