基于模態(tài)數(shù)據(jù)的不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別

祁武超，侯凌豐，田素梅

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué) 飛行器復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析與仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110136)

工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)是在確保其安全性能的基礎(chǔ)上，盡量提高產(chǎn)品的其他各項(xiàng)性能指標(biāo)，而這一要求需要工程師明確知道結(jié)構(gòu)本身的各項(xiàng)參數(shù)。然而，由于所使用的材料性能具有分散性以及既有結(jié)構(gòu)材料存在老化的問(wèn)題，使得人們?cè)诤芏嗲闆r下難以做出準(zhǔn)確的測(cè)量或推斷。通常，人們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)力學(xué)的手段較為精確地獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，因此可以根據(jù)所測(cè)得的模態(tài)數(shù)據(jù)反演結(jié)構(gòu)參數(shù)。這種識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法，是目前結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別有了深入的研究。試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)的頻域識(shí)別法是指在頻率域內(nèi)識(shí)別試驗(yàn)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的方法，最早頻域識(shí)別方法是圖解法，隨之，又陸續(xù)發(fā)展了以頻響函數(shù)模態(tài)參數(shù)方程為基本數(shù)學(xué)模型，利用線性參數(shù)或非線性參數(shù)最小二乘法進(jìn)行曲線擬合的多種模態(tài)參數(shù)的頻域識(shí)別法，例如導(dǎo)納圓擬合法[1]、頻域最小二乘法[2]、頻域加權(quán)最小二乘法[3]、有理分式多項(xiàng)式法[4]和正交多項(xiàng)式法[5]等。結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的時(shí)域識(shí)別方法是可以利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)間響應(yīng)信號(hào)作為輸入信號(hào)，或由已知頻響函數(shù)進(jìn)行傅里葉逆變換得到脈沖響應(yīng)函數(shù)作為輸入數(shù)據(jù)進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。目前模態(tài)參數(shù)時(shí)域識(shí)別常用方法主要有最小二乘復(fù)指數(shù)法[6]、ITD法[7]、STD法[8]、ARMA模型時(shí)序分析法[9]、隨機(jī)子空間法[10]等。

上述研究是針對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，并且在確定性的環(huán)境下進(jìn)行的。然而，在工程結(jié)構(gòu)反演問(wèn)題中，由于技術(shù)水平和試驗(yàn)手段的限制，在結(jié)構(gòu)材料屬性數(shù)據(jù)、尺寸測(cè)量、邊界條件和認(rèn)知判斷中存在有各種不確定性因素，這些因素使得結(jié)構(gòu)實(shí)際的動(dòng)力學(xué)特性與名義設(shè)計(jì)值之間存在較大的偏差，從而嚴(yán)重影響到反演問(wèn)題識(shí)別的精度。此時(shí)，要保障產(chǎn)品的安全性能則要求人們必須認(rèn)真對(duì)待并合理處置反演模型中存在的不確定性。在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中，工程師往往通過(guò)使用安全因子的方法處理不確定性帶來(lái)的影響。這種作法可看作是對(duì)不確定性的一種預(yù)測(cè)模型，盡管在多數(shù)情形下很大程度上減輕了不確定性帶來(lái)的負(fù)面效果，但這并不是量化和管理不確定性的真正合理途徑。因?yàn)檫@將導(dǎo)致兩種不同的設(shè)計(jì)類型：或者是充分保守的設(shè)計(jì)，對(duì)不確定性過(guò)度評(píng)估；或者由于對(duì)不確定性的估計(jì)不足而使得設(shè)計(jì)方案存在潛在的威脅。

在不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)反演方面，王曉軍等[11]將不確定參數(shù)用區(qū)間向量進(jìn)行定量化，基于區(qū)間數(shù)學(xué)理論提出一種可以預(yù)測(cè)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的彈簧系數(shù)和質(zhì)量所在范圍的非概率區(qū)間分析方法；同年，劉世君等[12]考慮測(cè)量信息的不確定性，將巖石力學(xué)參數(shù)視為未知但有界的區(qū)間變量，建立了非線性巖石力學(xué)參數(shù)的區(qū)間反分析模型。運(yùn)用帶約束的優(yōu)化技術(shù)可變?nèi)莶罘ㄇ蠼夥囱菽Ｐ停贸隽瞬淮_定性力學(xué)參數(shù)的區(qū)間范圍；王登剛等[13]提出了一種結(jié)構(gòu)計(jì)算模型修正的區(qū)間反演方法。該方法將計(jì)算模型修正問(wèn)題歸結(jié)為非線性全局優(yōu)化問(wèn)題，并采用一種遺傳算法進(jìn)行求解?？紤]了作為修正參考值的試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)具有一定誤差，計(jì)算結(jié)果除可以給出修正后模型的估計(jì)值外還可以同時(shí)給出其不確定度，有利于對(duì)修正后計(jì)算模型的質(zhì)量做出直觀評(píng)價(jià)；Jiang等[14]提出基于區(qū)間分析的不確定性反求方法用于處理帶有模型參數(shù)不確定性的工程不確定性反問(wèn)題，并將該方法應(yīng)用在復(fù)合材料層合板材料參數(shù)識(shí)別中；郭紅玲等[15]建立了彈性本構(gòu)參數(shù)區(qū)間反問(wèn)題的數(shù)值模型，利用區(qū)間參數(shù)攝動(dòng)有限元方法和基于網(wǎng)格劃分策略的連續(xù)域蟻群算法進(jìn)行求解，探討了非均質(zhì)、不確定區(qū)間半徑、初值選擇及數(shù)據(jù)噪音對(duì)反演結(jié)果的影響；杜秀云等[16]基于區(qū)間有限元和矩陣攝動(dòng)理論，引入同倫技術(shù)，建立了瞬態(tài)熱傳導(dǎo)不確定性區(qū)間參數(shù)反演識(shí)別的數(shù)值求解模式。利用測(cè)量信息和計(jì)算信息的區(qū)間殘差構(gòu)造同倫函數(shù)，將反演識(shí)別問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。

最近，Naijia等[17]提出了結(jié)構(gòu)靜力參數(shù)反演問(wèn)題的區(qū)間方法，將區(qū)間有限元與伴隨優(yōu)化相結(jié)合，反問(wèn)題包含兩個(gè)步驟，先由確定性迭代求解器獲得參數(shù)評(píng)估，之后將其作為初始猜測(cè)進(jìn)行區(qū)間擴(kuò)展；Zhang等[18]基于貝葉斯方法和區(qū)間分析提出了一種混合反演方法以在不確定性環(huán)境下進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，這種方法可處理測(cè)量噪聲和模型不確定性，算例表明其可獲得良好的數(shù)值結(jié)果。

工程結(jié)構(gòu)中，所使用材料的分散性和既有結(jié)構(gòu)材料的老化問(wèn)題對(duì)結(jié)構(gòu)的安全性有重要的影響。本文希望能夠通過(guò)模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)快速評(píng)估材料屬性的分散性或老化程度，所使用的模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)由ITD法獲得，對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)反演的不確定性使用了區(qū)間分析的處理方法。

1 問(wèn)題描述

一個(gè)n自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程通常描述為依賴結(jié)構(gòu)參數(shù)的線性方程

(1)

另一方面，對(duì)于結(jié)構(gòu)特征值問(wèn)題，記f為特征值函數(shù)，則有

ωi(h)=fi(M(h),K(h))

(2)

這里ωi為結(jié)構(gòu)第i階特征值，而fi記為求取第i階特征值的特征函數(shù)。由于結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，則得到的各階特征值也將具有不確定性。

對(duì)于工程中的大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其工作時(shí)的響應(yīng)信號(hào)容易測(cè)得，可直接利用響應(yīng)的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別，得到結(jié)構(gòu)各階模態(tài)參數(shù)ωi，一般來(lái)說(shuō)結(jié)構(gòu)的基頻或前幾階頻率體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的主要振動(dòng)特性，具有重要的工程意義。若通過(guò)試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的手段，得到了式(2)中的ωi(h)，則目標(biāo)轉(zhuǎn)化為如何通過(guò)式(2)反演材料參數(shù)h。通常情況下，通過(guò)式(2)直接反演h的解集非常困難。解集合Γ將是一個(gè)復(fù)雜的區(qū)域，可表示為

Γ={h:h∈Rm,ωi(h)=fi(M(h),K(h)),h∈hI}

(3)

基于試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析數(shù)據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)反演的目的就是找到一個(gè)最小包含h的區(qū)間hI。

2 ITD法

ITD法是S.R.Ibrahim于20世紀(jì)70年代提出的一種用結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)響應(yīng)的位移、速度和加速度時(shí)域信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的方法。其思想的基礎(chǔ)是以粘性阻尼線性系統(tǒng)的自由衰減響應(yīng)可以表示為其各階模態(tài)組合的理論，根據(jù)測(cè)得的自由衰減響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行3次不同延時(shí)采樣，構(gòu)造自由響應(yīng)采樣數(shù)據(jù)的增廣矩陣，即自由衰減響應(yīng)數(shù)據(jù)矩陣，并由響應(yīng)和特征值之間的復(fù)指數(shù)關(guān)系，建立特征矩陣的數(shù)學(xué)模型，求解特征值問(wèn)題，得到數(shù)據(jù)模型的特征值和特征向量，再根據(jù)模型特征值與振動(dòng)系統(tǒng)特征值的關(guān)系，求解出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

在獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)之后，可通過(guò)ITD法識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。對(duì)于使用具有分散性材料形成的工程結(jié)構(gòu)可進(jìn)行多次抽樣，而對(duì)既有結(jié)構(gòu)可在生命周期內(nèi)多次監(jiān)測(cè)，最終得到式(2)中的ωi(h)。

3 不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法

(4)

反解式(4)，可得h1的1階估計(jì)為

(5)

(6)

則

(7)

從式(7)可以看出，相比h1的1階估計(jì)，其2階估計(jì)需要考慮特征值函數(shù)的2階導(dǎo)數(shù)計(jì)算，并需要從實(shí)際計(jì)算結(jié)果判斷根的情況。所以，從工程計(jì)算精度和復(fù)雜性出發(fā)，優(yōu)先考慮使用不確定性變量的1階估計(jì)式。

(8)

(9)

由式(8)和式(9)可以看到，h1的區(qū)間界值在ω1的界值頂點(diǎn)獲得。

(10)

式(10)為線性代數(shù)方程組，記fj(h1,…,hm),j=1,…,p關(guān)于h1,…,hm的Jacobian矩陣為

(11)

并記常數(shù)向量

(12)

則式(10)可改寫(xiě)為矩陣形式

b=J(h-hc)

(13)

對(duì)式(13)兩端同乘J的Moore-Penrose偽逆，記為Jpinv=(JTJ)-1JT，這里上標(biāo)T代表轉(zhuǎn)置運(yùn)算。則不確定性變量h有估計(jì)式

h=Jpinvb+hc=Jpinvω-Jpinvf+hc

(14)

式(14)實(shí)際上為一個(gè)h關(guān)于ω的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，引入權(quán)重因子wi,i=1,…,m，將式(14)轉(zhuǎn)化為如下兩個(gè)單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題

(15)

(16)

根據(jù)線性規(guī)劃理論，不確定性變量h的上界值h+和下界值h-必然在區(qū)間變量ωi(i=1,…,m)端點(diǎn)處獲得。

基于Taylor展開(kāi)的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法需要計(jì)算特征值函數(shù)在各不確定參數(shù)處的靈敏度值，而各階特征值函數(shù)并不具有顯示表達(dá)形式，工程上常以差商代替微商計(jì)算其各階靈敏度函數(shù)值。除此，若各不確定性量hi和hj之間不存在依存關(guān)系，在式(15)和式(16)中可取各權(quán)重因子相同，即有wi=1/m。另外，根據(jù)工程意義，區(qū)間變量ωi>0,i=1,…,m。

4 數(shù)值算例

4.1 72桿空間桁架

考慮一個(gè)空間72桿桁架，約束桁架的4個(gè)底部角點(diǎn)的位移，如圖1所示。所用材料質(zhì)量密度為ρ=7.8×103kg/m3，初始彈性模型Ec=2.1×1011Pa。桁架結(jié)構(gòu)在外界使用環(huán)境和內(nèi)部裂紋萌生共同作用下，導(dǎo)致其剛度表現(xiàn)隨年份遞減?，F(xiàn)基于試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的時(shí)域方法每年對(duì)該桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行多次基頻測(cè)定，得到的數(shù)據(jù)如表1所示，需判斷8年來(lái)材料的老化程度。

圖1 空間72桿桁架

由表1可知，由于桁架所用材料的剛度屬性隨著使用年份發(fā)生變化，導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)基頻發(fā)生變化。在每個(gè)使用年份中，由于測(cè)量時(shí)間和測(cè)量手段誤差，所得到的基頻在一個(gè)區(qū)間范圍內(nèi)變化。而隨著使用年份的增長(zhǎng)，其基頻的整體趨勢(shì)減小。根據(jù)本文所提出的不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法，通過(guò)基頻數(shù)據(jù)所在的區(qū)間識(shí)別結(jié)構(gòu)參數(shù)，即彈性模量E，觀察其隨使用年份發(fā)生的變化，如表2和圖2所示。

表1 空間桁架基頻數(shù)據(jù)

表2 材料老化系數(shù)

圖2 材料老化程度隨年份變化圖

由圖2可知，隨著使用年份的增長(zhǎng)，所使用材料在不斷老化，其結(jié)構(gòu)性能在不斷減弱。在考慮其承載時(shí)，應(yīng)計(jì)及材料的強(qiáng)度和剛度損失。若仍然按照初始設(shè)計(jì)時(shí)的材料參數(shù)計(jì)算其承載能力，將難以保證結(jié)構(gòu)的安全性。

4.2 復(fù)合材料壁板

考慮一個(gè)航空用碳纖維增強(qiáng)的復(fù)合材料單向壁板，如圖3所示，一端夾持，另一端受到拉伸載荷作用。主方向彈性模量名義值為E1=230×109Pa，密度名義值為3 000 kg/m3。在出廠的6個(gè)批次產(chǎn)品中，分別隨機(jī)抽取部分產(chǎn)品，并基于試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)的時(shí)域識(shí)別方法進(jìn)行了前兩階固有頻率的標(biāo)定，其取值范圍如表3所示?，F(xiàn)需考察所使用材料屬性的分散性。

定義分散系數(shù)為材料屬性真實(shí)值與名義值的比值，則其為無(wú)量綱量。系數(shù)小于1代表材料屬性真實(shí)值小于名義值，大于1則代表材料屬性真實(shí)值大于名義值。按照本文方法得到各批次主方向彈性模量分散系數(shù)如圖4所示，得到各批次材料密度分散系數(shù)如圖5所示。

圖3 碳纖維增強(qiáng)的復(fù)合材料單向壁板

圖4 彈性模量分散系數(shù)

由圖4可知，各批次材料的彈性模量均在一定范圍內(nèi)變化。相比較而言，第3批次的材料分散性最大，而第4批次的材料分散性最小。并且，第5批次的材料彈性模量分散系數(shù)幾乎都小于1，故該批材料可能不合格。從材料密度方面來(lái)講，第3批和第5批材料的密度分散性較大，而第4批材料的密度分散性較小。

表3 復(fù)合材料壁板基頻數(shù)據(jù)

圖5 密度分散系數(shù)

5 結(jié)論

利用不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別方法能夠在不確定性環(huán)境下對(duì)結(jié)構(gòu)物理參數(shù)進(jìn)行反演。所使用到的數(shù)據(jù)是基于模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的，所以結(jié)構(gòu)物理參數(shù)的識(shí)別精度將受限于模態(tài)參數(shù)識(shí)別的結(jié)果。求解多個(gè)不確定性量的界值問(wèn)題屬于多目標(biāo)優(yōu)化，引入權(quán)重因子將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。所提出的方法是基于1階Taylor展開(kāi)的，所以優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題，其最優(yōu)解在所評(píng)估的模態(tài)參數(shù)邊界值達(dá)到。算例表明，基于Taylor展開(kāi)的區(qū)間方法適用于響應(yīng)函數(shù)關(guān)于變量的靈敏度較小時(shí)的相關(guān)計(jì)算，與傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的物理參數(shù)相比較，其基于模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)反演不確定性物理參數(shù)所在的區(qū)間界值是可行的。