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    應(yīng)用化歸思想,助力解決數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題

    2018-11-30 04:49:34江蘇省姜堰中學(xué)
    數(shù)學(xué)大世界 2018年31期
    關(guān)鍵詞:常量式子零點(diǎn)

    江蘇省姜堰中學(xué) 周 鵬

    化歸思想是一種有效的解題策略,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),所有將問(wèn)題由難變易的過(guò)程都可以稱(chēng)為化歸,它在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中能夠發(fā)揮很重要的作用。函數(shù)是許多學(xué)生較為薄弱的一部分內(nèi)容,但是它在高中數(shù)學(xué)中占有很大的比重,和其他部分知識(shí)的聯(lián)系也十分緊密,可以說(shuō),只有掌握了函數(shù)知識(shí),才能真正學(xué)好數(shù)學(xué)。因此,對(duì)于函數(shù)的教學(xué),教師更要多加重視,積極引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用化歸思想,將復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化,提升解題能力。

    一、正面反面化歸,改變方向

    正面和反面是既有矛盾又有聯(lián)系的兩個(gè)方面,當(dāng)遇到一些正面求解較為困難的題目時(shí),不妨轉(zhuǎn)換思路,改變解題方向,試著求一求問(wèn)題的反面,往往能夠減少許多計(jì)算量,使得問(wèn)題變得更加容易解決。

    在函數(shù)零點(diǎn)這一部分經(jīng)常會(huì)有已知零點(diǎn)個(gè)數(shù),要求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題,比如:若函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在區(qū)間[0,4]上至少有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。在拿到這道問(wèn)題時(shí),許多學(xué)生都會(huì)下意識(shí)地根據(jù)題目中存在零點(diǎn)的條件進(jìn)行求解,但是由于至少一個(gè)零點(diǎn)就意味著可能有一個(gè)或兩個(gè),同時(shí)由于a的存在導(dǎo)致對(duì)稱(chēng)軸無(wú)法確定,還有一個(gè)區(qū)間范圍的限制,這些因素都可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在求解過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤,并且使得解題過(guò)程十分復(fù)雜。因此,不如引導(dǎo)學(xué)生試著從沒(méi)有零點(diǎn)這個(gè)反面情況考慮,函數(shù)在[0,4]上沒(méi)有零點(diǎn),即沒(méi)有實(shí)數(shù)根,轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是x2-2ax+2≠0,即觀(guān)察這個(gè)式子的結(jié)構(gòu),很容易聯(lián)想到所以說(shuō)也即當(dāng)時(shí),方程才沒(méi)有實(shí)根。而題目條件是至少有一個(gè)零點(diǎn),即要求的是方程有實(shí)根時(shí)a的范圍,所以結(jié)果應(yīng)為從這個(gè)例子中可以看出,對(duì)于含有“至少”這一類(lèi)字眼的函數(shù)問(wèn)題,要引導(dǎo)學(xué)生從反面進(jìn)行嘗試。值得注意的是,最后一定要再回到題目中去,回答真正的問(wèn)題。

    二、常量變量化歸,減少變?cè)?/h2>

    許多函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)伴隨參數(shù)的出現(xiàn),也就意味著要區(qū)分開(kāi)哪個(gè)是常量,哪個(gè)是變量。對(duì)于這一類(lèi)的問(wèn)題,可以將常量和變量進(jìn)行互換,把函數(shù)中的參數(shù)變成主元,幫助減少不定因素,使得問(wèn)題更加容易求解。

    例如有這樣一道有代表性的例題:當(dāng)|k|≤1時(shí),不等式(lgx)2-(2+`k)lgx+k-1>0恒成立,求x的取值范圍。在這道題目中,不等式是關(guān)于x的式子,k是其中的參數(shù),即x是變量,而k為常量,相比于將函數(shù)變?yōu)殛P(guān)于lgx的函數(shù),觀(guān)察式子不難看出,倘若將其變?yōu)殛P(guān)于k的式子,則是一個(gè)一次函數(shù),且題目中還給出了k的范圍,顯然一次函數(shù)更加簡(jiǎn)單。因此,題目就變成了:當(dāng)|k|≤1時(shí),不等式 f(k)=(1-lgx)k+[(lgx)2-2lgx-1]>0 恒成立,求 x 的取值范圍。這樣,k就變成了函數(shù)中的變量,而x則變?yōu)槌A?,即?shí)現(xiàn)了變量和常量的互化。問(wèn)題簡(jiǎn)單了,對(duì)于一次函數(shù)而言,只能增或減,再者不變,因此,想要在|k|≤1的范圍內(nèi)讓f(k)>0,只需要讓f(-1)>0 和f(1)>0即可,問(wèn)題就迎刃而解了。回顧這道題目,學(xué)生更容易想到的思路是生成一個(gè)新的變量來(lái)代替lgx,然后將其變成一個(gè)二次函數(shù),這種方法雖然也可行,但是增加了一個(gè)未知的量,意味著求解過(guò)程將會(huì)變得更加復(fù)雜,學(xué)生會(huì)更加容易出現(xiàn)混亂,因此,如何將變?cè)獪p少才是應(yīng)該考慮的方向,這也是教師需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)的一個(gè)重要解題思路。

    三、特殊一般化歸,捕獲規(guī)律

    特殊和一般的思想也是數(shù)學(xué)中經(jīng)常存在的一種思想,一般規(guī)律的發(fā)展往往是從特殊問(wèn)題引發(fā)而來(lái)的,而一般的結(jié)論在特殊條件下也可以成立,這個(gè)相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程應(yīng)用在解題中,也可以幫助解決一系列函數(shù)問(wèn)題。

    以函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)為例,經(jīng)常會(huì)遇到這樣的題目:函數(shù)f(x)在R上任意可導(dǎo),若(x-2)f’(x)≥0成立,則f(1)+f(3)和2f(2)之間有什么關(guān)系?觀(guān)察問(wèn)題,f(1)、f(3)和f(2)都是指具體的函數(shù)值,學(xué)生看到這種要求函數(shù)值的問(wèn)題,經(jīng)常會(huì)先想到要求出函數(shù)的表達(dá)式。這種思路是萬(wàn)萬(wàn)不可取的,一般對(duì)于這種類(lèi)型的題目,很難直接得出函數(shù)具體的式子,但是我們可以分析出函數(shù)的性質(zhì)。在這道題目中,根據(jù)(x-2)f’(x)≥0這個(gè)不等關(guān)系可以很容易地推導(dǎo)出:當(dāng)x≥2時(shí),f’(x)≥0;當(dāng)x<2時(shí),f’(x)<0,翻譯在圖像上就意味著:當(dāng)x>2時(shí),函數(shù)圖像遞增;當(dāng)x<2時(shí),函數(shù)圖像遞減;當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)能夠取得最小值。根據(jù)這個(gè)規(guī)律可得f(1)≥f(2),f(3)≥f(2),所以f(1)+f(3)≥2f(2)。這就是一個(gè)簡(jiǎn)單的利用一般規(guī)律來(lái)求解特殊值的例子,其中分析出的函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)題目信息得到的一般規(guī)律。也就是說(shuō),在面對(duì)許多無(wú)法直接求出函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題時(shí),都需要學(xué)會(huì)分析函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題,同樣的,在遇到需要求解函數(shù)一般表達(dá)式的問(wèn)題時(shí),也要學(xué)會(huì)利用特殊值代入的方法進(jìn)行解答。

    四、相等不等化歸,建立關(guān)系

    相等和不等也是數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的兩種對(duì)立關(guān)系,在函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)不等或相等關(guān)系,那么充分利用這些關(guān)系,并學(xué)會(huì)將其互相轉(zhuǎn)化,在問(wèn)題和條件中建立一定的關(guān)系,也能夠幫助找到問(wèn)題的突破口。

    例如這道題目:定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(x+3)≤ f(x)+3和f(x+2)≥ f(x)+2,且 f(1)=1,求 f(2003)的值。在拿到題目時(shí),學(xué)生往往看到2003就不知如何下手了,但是其實(shí)這一類(lèi)問(wèn)題很簡(jiǎn)單,題目讓求的是當(dāng)x=2003時(shí),f(x)的值,但是條件卻給的是兩個(gè)不等關(guān)系,所以,不如利用f(2003)所存在的不等關(guān)系進(jìn)行求解。根據(jù)第一個(gè)不等式可以列出式子:f(2003)≤f(2000)+3≤f(1997)+3+3≤…≤f(2)+2001,同樣根據(jù)第二個(gè)不等式也可以得出:f(2003)≥f(2001)+2≥f(1999)+2+2≥…≥f(1)+2002。將這兩個(gè)不等式合并之后可以得到一個(gè)最終的不等關(guān)系:f(1)+2002≤f(2003)≤f(2)+2001,因此,只需要知道 f(1)和 f(2)的值,就可以知道f(2003)的范圍,題目中已給出f(1)=1,所以?xún)H求出f(2)即可。在求解時(shí),要對(duì)題目信息進(jìn)行充分的利用,分別讓x=1,0和-1,并代入這兩個(gè)不等關(guān)系中,最終可以求出f(2)=2,所以,2003≤f(2003)≤2003,即f(2003)=2003。函數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這種求函數(shù)值的問(wèn)題,許多學(xué)生看到x的值很大,就會(huì)產(chǎn)生害怕心理,不敢繼續(xù)做下去,所以,教師要引導(dǎo)學(xué)生不要膽怯,類(lèi)似f(2003)的式子最終都會(huì)根據(jù)不等關(guān)系而轉(zhuǎn)化為求一個(gè)像f(2)一樣的式子,很輕易地就能夠得到結(jié)果。

    函數(shù)問(wèn)題千變?nèi)f化,但是萬(wàn)變不離其宗。只要能夠正確判斷出題目的類(lèi)型和解決這類(lèi)題目的化歸方法,所有問(wèn)題就都會(huì)變得簡(jiǎn)單而有趣。因此在課堂上,教師應(yīng)充分運(yùn)用化歸思想,不斷重復(fù),建立學(xué)生學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化方法解決問(wèn)題的意識(shí),再配合不斷的練習(xí),真正實(shí)現(xiàn)函數(shù)問(wèn)題上的突破。

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