基于代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)積累的目標(biāo)達(dá)成策略

鄭海燕

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱課標(biāo)）確定了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累在課程目標(biāo)中的重要地位：“教師教學(xué)……應(yīng)使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)是重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，即學(xué)生從具體的問題出發(fā)，從特例入手，嘗試進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，摸索出規(guī)律法則，進(jìn)行結(jié)果猜想，并嘗試加以驗(yàn)證，歸納出一般原理，在這一過程中所獲得的體驗(yàn)和感悟就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。讓學(xué)生經(jīng)歷從具體的數(shù)字計(jì)算到符號(hào)再到數(shù)學(xué)語言表達(dá)的過程，即由特殊到一般的過程，由此逐漸積累相應(yīng)的代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)，能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在此，將在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上探索代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)達(dá)成策略。

一、理清梯度，讓目標(biāo)達(dá)成層次化

在課標(biāo)中，關(guān)于數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能，在分學(xué)段目標(biāo)中都有具體闡述，而對(duì)于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的闡述卻并不清晰。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有主體性、實(shí)踐性、發(fā)展性等特點(diǎn)，很難對(duì)其制訂出統(tǒng)一的目標(biāo)。但是，如果僅憑一線教師的摸索，也不利于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的達(dá)成。因而，可依據(jù)數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能、基本思想和方法的水平，依據(jù)具體學(xué)段學(xué)生的思維特征，以及課標(biāo)對(duì)每個(gè)領(lǐng)域內(nèi)容提出的具體要求，擬定每一類型的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的學(xué)段目標(biāo)，使目標(biāo)清晰并層次化，使一線數(shù)學(xué)教師能夠參考或借鑒。

正是基于上述思考，筆者所在的“基本數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的小學(xué)教學(xué)策略研究”課題組，提出了代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)的學(xué)段目標(biāo)。

第一學(xué)段目標(biāo)。其一，從日常生活經(jīng)驗(yàn)、實(shí)際情境中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，觀察數(shù)量與數(shù)量間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)共性經(jīng)驗(yàn)。其二，提高數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，通過觀察、操作等活動(dòng)，能提出一些簡單的猜想經(jīng)驗(yàn)。其三，經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，能夠進(jìn)行分析、比較，進(jìn)行簡單枚舉，找到事物的共性和差異，體驗(yàn)由具體數(shù)字到符號(hào)的表達(dá)過程，積累歸納推理經(jīng)驗(yàn)。其四，積累表達(dá)思考過程與結(jié)果的經(jīng)驗(yàn)，并利用結(jié)論解決簡單問題。

第二學(xué)段目標(biāo)。其一，經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與建模等過程，觀察共性與特性，發(fā)現(xiàn)隱含的規(guī)律或變化趨勢(shì)。其二，建立數(shù)感、符號(hào)意識(shí)，回顧猜想經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行獨(dú)立思考、分析，有根據(jù)地提出猜想。其三，利用已有的代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)，通過自主探究、小組討論、探討分析和科學(xué)枚舉，積累合情推理和演繹推理能力的經(jīng)驗(yàn)。其四，培養(yǎng)驗(yàn)證和說理的意識(shí)，清晰地表達(dá)自己的想法，并利用結(jié)論解決生活中簡單的問題。

二、找準(zhǔn)載體，讓目標(biāo)達(dá)成具體化

課標(biāo)在總體目標(biāo)的“數(shù)學(xué)思考”中明確指出：要讓學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)”。其中，合情推理即歸納。數(shù)與代數(shù)是整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，它在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所占比例最大。從理論上看，小學(xué)數(shù)學(xué)教材將為學(xué)生代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)的積累提供廣闊的空間和載體。而筆者在實(shí)際研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)從代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)的目標(biāo)出發(fā)時(shí)，就可以找到幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的良好載體，并在教學(xué)中讓目標(biāo)達(dá)成落到每個(gè)具體的教學(xué)內(nèi)容之中。好的載體能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中完整地經(jīng)歷提出問題、形成猜想、驗(yàn)證猜想等過程。筆者和研究團(tuán)隊(duì)將一些特別適合培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)的教材內(nèi)容進(jìn)行了梳理（見表1）。

三、重視過程，讓目標(biāo)達(dá)成顯性化

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)遵循這樣的規(guī)律：從觀察入手培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺；從數(shù)學(xué)直覺背后挖掘歸納經(jīng)驗(yàn)；從歸納經(jīng)驗(yàn)提升演繹經(jīng)驗(yàn)。代數(shù)歸納經(jīng)驗(yàn)的積累需要經(jīng)過以下過程：一是觀察引入，即通過觀察研究對(duì)象，提出要研究的問題；二是形成猜想，即根據(jù)觀察到的結(jié)果，提出合理的猜想；三是枚舉驗(yàn)證，即運(yùn)用舉例的方法驗(yàn)證猜想；四是歸納結(jié)論，即用文字或符號(hào)概括結(jié)論。教無定法，但有依據(jù)可循。教師要找準(zhǔn)教材載體，可依據(jù)上述四個(gè)步驟，讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本技能、基本思想和方法的同時(shí)，也積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

以二年級(jí)下冊(cè)第6單元“有余數(shù)的除法”為例，可制訂如下教學(xué)目標(biāo)。一是經(jīng)歷把平均分后有剩余的現(xiàn)象抽象為有余數(shù)除法的過程，初步理解有余數(shù)除法及余數(shù)的含義，完善對(duì)除法的理解；能根據(jù)平均分后有剩余的現(xiàn)象寫出相應(yīng)的算式，能正確讀、寫出有余數(shù)除法的算式。二是在了解有余數(shù)除法的活動(dòng)中，理解“余數(shù)要比除數(shù)小”的道理。三是通過具體操作、獨(dú)立思考等形式經(jīng)歷知識(shí)生成的過程，感悟“變與不變”的數(shù)學(xué)思想，歸納出經(jīng)驗(yàn)。

在上述第二個(gè)目標(biāo)達(dá)成的教學(xué)過程中，筆者設(shè)計(jì)了“圈一圈，發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的教學(xué)活動(dòng)：用一些小棒“擺”四邊形，寫出除法算式，看看余數(shù)有什么規(guī)律。教師溫馨提示：請(qǐng)先在頭腦里“擺”四方形，然后在學(xué)習(xí)單上圈畫驗(yàn)證自己的想法，最后寫出算式，當(dāng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，就可以把你的發(fā)現(xiàn)說給同桌聽一聽。這樣，學(xué)生在先想象、后操作的活動(dòng)中，進(jìn)一步加深了對(duì)有余數(shù)除法的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行實(shí)際操作，經(jīng)歷了余數(shù)和除數(shù)關(guān)系的探究過程。

總之，代數(shù)歸納能幫助學(xué)生獲得新知，其經(jīng)驗(yàn)積累更是與學(xué)生的創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)密切相關(guān)。作為數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要組成部分，教師更應(yīng)對(duì)其進(jìn)行深入研究，在目標(biāo)定位及基于目標(biāo)達(dá)成的教學(xué)策略上做更深入的探索。

（責(zé)任編輯 郭向和）