淺析恒成立問題常用的方法

張勝勇

(四川省巴中棠湖外語實驗學校 四川 巴中棠 636600)

1 變量轉化法

恒成立問題與一次函數(shù)聯(lián)系:構造一次函數(shù) 利用一次函數(shù)的圖象或單調性來解決,對于一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0),x∈[m,n]有:

例1若不等式2x－1＞mx2－m對滿足－2≤m≤2的所有m都成立,求x的范 圍。

解析:將不等式化為:m(x2－1)－(2x－1)＜0,構造一次型函數(shù):g(m)＝(x2－1)m－(2x－1)原命題等價于對滿足－2≤m≤2的m,使g(m)＜0恒成立。

小結:解題的關鍵是將看來是解關于x的不等式問題轉化為以m為變量,x為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立問題,再利用一次函數(shù)的圖象或單調性解題。

構造二次函數(shù)

利用二次函數(shù)的圖像與性質及二次方程根的分布來解決。

(1)當a＞0時,若f(x)＞0在[α,β]上恒成立?

例2:若不等式x2－2mx＋2m＋1＞0對滿足0≤x≤1的所有實數(shù)x都成立,求m的取值范圍。

解:設f(x)＝x2－2mx＋2m＋1

本題等價于函數(shù)f(x)在0≤x≤1上的最小值大于0,求m的取值范圍。

(1)當m＜0時,f(x)在[0,1]上是增函數(shù),因此f(0)是最小值,

(2)當0≤m≤1時,f(x)在x＝m時取得最小值

(3)當m＞1時,f(x)在[0,1]上是減函數(shù),因此f(1)是最小值

小結:當化歸為二次函數(shù)后,自變量是實數(shù)集的子集時,應用二次函數(shù)知識解決有時較繁瑣。此型題目有時也可轉化為后面的法3求解。

3 分離參數(shù)法

在題目中分離出參數(shù),化成a＞f(x)(a＜f(x))型恒成立問題,再利用a＞fmax(x)(a＜fmin(x))求出參數(shù)范圍。

解:如果x∈(－∞.1)時,f(x)恒有意義?不等式1＋2x＋a4x＞0對x∈(－∞,1)恒

令t＝2－x,g(t)＝－(t＋t2),又x∈(－∞.1),則)∴a＞g(t)對恒成立,又∵g(t)在上為減函數(shù),

小結:對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)問題,可以求函數(shù)最值的方法,只要利用f(x)＞m恒成立?f(x)min＞m;f(x)＜m恒成立?f(x)max＜m.本題也可以用零點分布策略求解.

4 數(shù)型結合法

小結:f(x)≤g(x)等價于在公共定義域區(qū)間內(nèi),函數(shù)y＝f(x)的圖像落在y＝g(x)的下方,這樣在平面直角坐標系中畫出相應函數(shù)的圖像,根據(jù)圖像上下關系,確定參數(shù)取值范圍。

本題通過對已知不等式變形處理后,挖掘不等式兩邊式子的幾何意義,通過構造函數(shù),運用數(shù)形結合的思想來求參數(shù)的取值范圍,不僅能使問題變得直觀,同時也起到了化繁為簡的效果.

以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略,只是分別從某個側面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實上,這些策略不是孤立的,在具體的解題實踐中,往往需要綜合考慮,靈活運用,才能使問題得以順利解決。