認知結(jié)構(gòu)視域下的三角函數(shù)內(nèi)容學習探究

張藝凡

（西華師范大學 四川 南充 637009）

認知結(jié)構(gòu)是個人將自己所認識的信息組織起來的心理系統(tǒng)。在實踐中可以明顯體會到，認識了的知識需要加以組織整理、存儲在記憶中，才能有效地加以利用。因此，對于數(shù)學知識的學習也應當建立相應的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。有效的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)可以促進記憶、減少記憶容量、推動知識的正向遷移。所以了解數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的作用影響，以及學生產(chǎn)生建立數(shù)學認知結(jié)構(gòu)障礙的原因，可以幫助學生學會如何在數(shù)學學習中構(gòu)建認知結(jié)構(gòu)。

一、“原有”數(shù)學認知結(jié)構(gòu)影響分析

數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是數(shù)學的概念、性質(zhì)、公式、法則和定理等知識在學習者頭腦當中的反映，是學習者在學習知識的過程中結(jié)合自己的感覺、知覺、記憶、想象、思維等認知活動，逐漸積累起來的關(guān)于數(shù)學方面的觀念系統(tǒng)。但數(shù)學認知結(jié)構(gòu)又不等同于數(shù)學知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是指一個邏輯嚴密結(jié)構(gòu)完善、語言嚴謹?shù)臄?shù)學知識體系，是人們長期探索出來的客觀真理，不以人的意志所轉(zhuǎn)移改變，而數(shù)學認知結(jié)構(gòu)則是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)在學生頭腦中的反映，通過學習者的感知、想象、思維等認知活動內(nèi)化為學習者自己的結(jié)構(gòu)。由此可見數(shù)學認知結(jié)構(gòu)具有一定的互異性、主觀性。

1.原有認知結(jié)構(gòu)的可利用性

如果原有認知結(jié)構(gòu)中具有新知識的固著點，就可以快速高效地同化新知識，找到新知識學習的關(guān)鍵因素，從而更好的順應新知識，形成更加完整和高層次的認知結(jié)構(gòu)。

比如，在我們高中學習任意角的三角函數(shù)定義時，最開始是由初中的銳角三角函數(shù)定義作為新知識的固著點的，再由銳角擴充到任意角，由比值表示函數(shù)到由坐標表示函數(shù)，從而自然引出任意角的三角函數(shù)定義。

2.原有認知結(jié)構(gòu)的可辨性

新舊知識之間一定要有可以分辨的點，要明白新知識與舊知識之間的相同點和不同點。這樣可以更加快速準確的找到同化新知識的固著點，形成良好的認知結(jié)構(gòu)。

比如，在任意三角函數(shù)的定義當中，任意角的三角函數(shù)定義與銳角三角函數(shù)的定義，一個是用線段比定義，而另一個是用點坐標來定義，所以在任意角三角函數(shù)的定義當中就不能再混有銳角三角函數(shù)，這也是很多學生在理解任意角三角函數(shù)的一個易混點。

3.原有認知結(jié)構(gòu)的清晰性和穩(wěn)定性

學習者原有認知結(jié)構(gòu)的清晰性和穩(wěn)定性直接影響著學習者新知識認知結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。如果原有認知結(jié)構(gòu)當中的相關(guān)觀念不清晰穩(wěn)定，那么新知識的同化順應一定會存在困難。比如，判定的最小正周期，很多學生會把它化簡成，從而得出它的最小正周期為π，但是正解是2π。這是因為學生對于函數(shù)的舊知識理解不夠深刻，關(guān)于函數(shù)的相關(guān)認知結(jié)構(gòu)不夠穩(wěn)定清晰，導致了三角函數(shù)與函數(shù)知識聯(lián)系薄弱，讓學生把三角函數(shù)更多的是和簡單計算問題聯(lián)系在一起，而不是作為函數(shù)來研究，該問題主要考察的就是函數(shù)定義域?qū)θ呛瘮?shù)性質(zhì)的影響。

二、“將有”數(shù)學認知結(jié)構(gòu)建立分析

1.知識緯度

知識是客觀存在的，不以人的意志為轉(zhuǎn)移。而知識存在的意義就是供人學習，然后人又再不斷地去發(fā)展知識，而認知結(jié)構(gòu)就是個人將所認識的信息組織起來的心理系統(tǒng)。實踐表明，對于認識了的知識必須進行再加工才能真正地被人所利用。而知識的再加工就包括知識的組織整理儲存以及提取，所以認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)對于知識的組織和理解以及發(fā)展有深遠的意義。例如對于三角函數(shù)來說，知識點多而雜，知識相似性大，容易導致學生在學習過后對于知識產(chǎn)生模糊性，同時初中知識會對高中學習產(chǎn)生負遷移。這時候數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的建立顯得尤為重要。

2.教師緯度

對于教師來說，幫助學生建立完整的認知結(jié)構(gòu)才是比單純傳授學生知識更重要的事情。面對當前的應試教育，還有很多教師都還是對學生采用“填鴨式”和“灌輸式”教學以及“題海戰(zhàn)術(shù)”，這些方式都是將知識看成是簡單地堆砌，不利于教學目標的真正實現(xiàn)。教師應當挖掘知識之間的聯(lián)系，注重學生心理上的活動而行為上的，幫助學生從一開始就建立良好的認知結(jié)構(gòu)，這樣才能使學生在從低階段升入高階段的學習后也可以游刃有余。良好的認知結(jié)構(gòu)不僅可以提高教師的教學效率，也讓學生可以真正地學好數(shù)學。

3.學生緯度

現(xiàn)今普遍認為數(shù)學的學習應當注重理解。理解數(shù)學不僅可以幫助學生記憶相關(guān)數(shù)學知識，還可以降低記憶的容量，除此之外還能促進知識的正遷移。而知識的理解需要有一定的心理圖示，也還需要認知結(jié)構(gòu)地再組織。由此可見，學生建立完整良好的認知結(jié)構(gòu)是學好數(shù)學的關(guān)鍵。高中之前，學生學習的數(shù)學知識簡單，學習的內(nèi)容相對高中較少，這時認知結(jié)構(gòu)的好壞對于學生的影響相對于高中沒有那么明顯，認知結(jié)構(gòu)的重要性也就沒有得到體現(xiàn)。但之前的認知結(jié)構(gòu)建立不完善就導致一些學生在面對高中繁重的學習任務(wù)時感覺力不從心，這也是為什么很多初中學習成績好的，到了高中卻不一定能夠保持學習水平的原因。

三、解決學生三角函數(shù)認知結(jié)構(gòu)構(gòu)建障礙的策略

廣義上的知識可以分為陳述性知識和程序性知識兩種。數(shù)學的陳述性知識包括數(shù)學事實（名稱、符號、圖形）、數(shù)學概念、數(shù)學原則（公式、定理、法則等），以及數(shù)學思想方法。而數(shù)學的程序性知識則是如何利用概念、規(guī)則、定理去解決問題。因此解決學生三角函數(shù)認知結(jié)構(gòu)構(gòu)建障礙也可以從陳述性知識和程序性知識兩方面入手。

1.陳述性知識方面的策略

策略1：精細分析

三角函數(shù)的知識點多且大多以公式形式呈現(xiàn)，這時候應當講清楚公式是如何推導來的，公式中的每一個符號代表什么。比如在三角形的誘導公式之中，把公式一到四概括為的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把 看成銳角時原函數(shù)值的符號。在講解誘導公式時，應先講解角的變化，再到誘導公式。同時教師應當重點強調(diào)公式里面把這一個部分看作是一象限的角而不是單純指一個角。

策略2：有效組織

有效組織是指構(gòu)建新知識的內(nèi)在聯(lián)系，運用已有的認知結(jié)構(gòu)對新知識進行各自的組織與整理。在三角函數(shù)教學中，教師應當充分利用學生已有的認知結(jié)構(gòu)，順應學生的認知發(fā)展規(guī)律，這樣可以讓學生更好地理解三角函數(shù)，增強公式圖形地記憶，讓學生更容易接受。

策略3：及時復習

在實際教學中，許多老師都發(fā)現(xiàn)當學完一整章之后，大部分學生遺忘的很多。因此，我們應當及時復習鞏固，能夠?qū)σ徽碌闹R形成一個知識系統(tǒng)。

2.程序性知識方面的策略

策略1：練習策略

程序性知識主要是表述“怎么做”的知識，程序性知識的學習目標就是運用概念、定理解決問題。因此對于程序性知識應當給予一定強度的有針對性的練習，以達到熟練運用知識的技能。同時在練習中也可以增強對陳述性知識的理解。

策略2：舉一反三策略

舉一反三策略即要在教學中注重變式訓練的作用。變式是促進概括化最有效的方式，有效的變式訓練不僅可以增強學生對于程序性知識的靈活運用能力，還可以引發(fā)學生思考，加強認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。

策略3：反饋評價策略

學生在練習之后最需要的就是反饋評價自己。一味的練習并不能持續(xù)的作用于程序性知識的熟練程度，應該在每一個練習中發(fā)現(xiàn)自己的錯誤的原因，認真分析，這樣才能增強程序性知識的學習。