易漏解的求長(zhǎng)度問題

錢 霞

（作者單位：江蘇省淮安外國(guó)語學(xué)校）

我們?cè)趹?yīng)用勾股定理解題時(shí)，常常會(huì)因考慮不全造成漏解，現(xiàn)將幾種常見的錯(cuò)誤歸納如下，希望引起同學(xué)們的重視.

【例1】如果一直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).

【錯(cuò)解】設(shè)斜邊的長(zhǎng)度為x.

∴x2=32+42，∴x=5.

∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為3+4+5=12.

【分析】造成上面錯(cuò)解的原因是審題不清或思維定式，看到3和4就想到5.想得到正確答案須對(duì)本題進(jìn)行分類.

【正解】設(shè)這個(gè)直角三角形第三邊的長(zhǎng)度為x.則分為以下兩類情況：

①x是斜邊，則x2=32+42，∴x=5，此時(shí)周長(zhǎng)為3+4+5=12；

②4是斜邊，則42=32+x2.

【例2】在△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，求BC的長(zhǎng)度.

【錯(cuò)解】如圖1所示，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，∴BD=15，CD=6，

∴BC=BD+CD=15+6=21.

【分析】造成上面錯(cuò)解的原因是我們?cè)诋媹D的時(shí)候只考慮高AD在三角形的內(nèi)部，忽略了高AD在三角形外部的情形.

【正解】由勾股定理知：

下面分成兩種情況討論：①∠C是銳角，則高AD在三角形內(nèi)部，如圖1所示，BC=BD+CD=21；②∠C是鈍角，則高AD在三角形外部，如圖2所示，BC=BD-CD=9.∴BC的長(zhǎng)度為21或9.

圖1

圖2

【例3】有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為BC=6m，AC=8m.現(xiàn)將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以AC為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng).

【錯(cuò)解】分類不全，得一或兩個(gè)答案.

【分析】由于兩直角邊長(zhǎng)分別為6m、8m，于是，可利用勾股定理求出其斜邊的長(zhǎng).而題目只說明擴(kuò)充成等腰三角形，并沒有指明等腰三角形的底邊和腰，所以應(yīng)分情況求解.

【正解】在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理，得AB=10，擴(kuò)充部分為Rt△ACD，擴(kuò)充成等腰△ABD應(yīng)分以下三種情況：①如圖3，當(dāng)AB=AD=10時(shí)，可求CD=CB=6，△ABD的周長(zhǎng)為32m；②如圖4，當(dāng)AB=BD=10時(shí)，可求CD=4，由勾股定理得AD=45，△ABD的周長(zhǎng)為（20+45）m；③如圖5，當(dāng)BD=AD時(shí)，設(shè)AD=BD=x，則CD=x-6，在Rt△ACD中由勾股定理得x=△ABD的周長(zhǎng)為

圖3

圖4

圖5