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      “另眼”待題

      2018-11-23 01:39:34常文武
      新高考·高二數(shù)學(xué) 2018年4期
      關(guān)鍵詞:多位數(shù)縱坐標(biāo)橫坐標(biāo)

      常文武

      我的侄女在加拿大念高中,最近告訴我她在參加一個數(shù)學(xué)競賽,六道題目中最難的就是這樣一道:問1~9這9個數(shù)字構(gòu)成的多位數(shù)(2位以上)中,從左念到右,數(shù)字遞增的多位數(shù)有多少個?

      對這道題,命題者提供的解法很新穎,只要考慮集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9)的所有非空子集的個數(shù)即可.因?yàn)槿魏卧摷系姆强兆蛹械脑乇乜砂瓷蚺判?,這樣就可以排出一個多位數(shù),其數(shù)字是遞增的.注意到這樣的數(shù)在取定子集后是唯一的,扣除空集和{1},{2),{3),{4},{5),{6},{7},{8),{9}這九個單點(diǎn)集本身,答案就是29 -1 -9=502.

      解答中用29來計(jì)數(shù)9元集合的所有子集,用了高中知識冪集的概念.但也可以繞過冪集的概念去理解它:對于從{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中抽取出的任何集合而言,它的產(chǎn)生等同于回答了九個“Yes-or-No”問題.就是說,依次問第i個元素是否要出現(xiàn)在子集中?那么這九個“Yes-or- No”問題就構(gòu)成了產(chǎn)生一個子集合的9個步驟.用乘法原理就可以算得答案應(yīng)該是29.

      我們還可以用加法原理來計(jì)算.

      可見數(shù)學(xué)問題的求解方法往往是條條大路通羅馬的.

      再來看看同場考卷中另一題.經(jīng)改編略去一些噦嗦的話,該題相當(dāng)于問:

      如果不定方程3χ+4y=N在正整數(shù)范圍內(nèi)求解只有唯一一組解,那么N的最大可能值是多少?

      答案是24,相應(yīng)的χ,y的值是4,3.

      為何N不能大于24了呢?答案的提供者這么說:現(xiàn)在N=24是4個3和3個4的和,要是再大些的N,必定需要使得3的個數(shù)或4的個數(shù)增加.當(dāng)3的個數(shù)上升到5個或更多,就可以勻出4個3來當(dāng)它是3個4,充實(shí)到4的個數(shù)中,導(dǎo)致此解有了二義性.同理,當(dāng)4的個數(shù)超過3,也可以勻出3個4來當(dāng)它是4個3,充實(shí)到3的個數(shù)中,也導(dǎo)致了解的不唯一.所以24是能夠滿足題設(shè)的最大值.

      這個解法通俗易懂,可是想到這么來解還不太容易.

      最直接的想法是把N當(dāng)成是直線方程3χ+4y=N的參數(shù).所問即當(dāng)這條直線在第一象限內(nèi)只經(jīng)過唯一一次整格點(diǎn),求N的最大值.

      我們用幾何面板來探究一下這個問題.

      “觸礁”提示我們,橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)都不能大過某個值!細(xì)研究還發(fā)現(xiàn),直線經(jīng)過的兩個點(diǎn)的坐標(biāo)此消彼長.橫坐標(biāo)加4,縱坐標(biāo)減3;或者反之,橫坐標(biāo)減4,縱坐標(biāo)加3.

      至此,我們也探究出答案來了.比(3,4)還遠(yuǎn)離原點(diǎn)的其他點(diǎn)一定不是孤立的!

      當(dāng)然,更專業(yè)的辦法是解不定方程.根據(jù)數(shù)論的一個定理,這個方程在整數(shù)范圍內(nèi)的全部解就是:χ=-N+4k,y=N-3k,k∈Z.由于χ,y都要是正整數(shù)且k唯一,故

      我們分析了兩道題,先把一個復(fù)雜問題簡單化,再把一個簡單問題“復(fù)雜”化.為的是闡述一個道理:條條道路通羅馬,其中必有最短路.若我們能常以“另眼”看待手邊經(jīng)討的顥目,你的解顥枝能必有大的突破.

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