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    理論的“眼睛”

    2018-11-23 04:29:38蘭傳奇
    新高考·高三數(shù)學(xué) 2018年5期
    關(guān)鍵詞:透視圖棱錐棱柱

    蘭傳奇

    費(fèi)希特說:“所有的理論法則都依賴于實(shí)踐法則,”康德也說過:“凡是在理論上正確的,在實(shí)踐上也必定有效,”今天,我想就基礎(chǔ)的立體幾何的解題方法,來和大家分享我所理解的理論和實(shí)踐的關(guān)系問題.

    一個(gè)物體,離不開點(diǎn)、線、面.點(diǎn)構(gòu)成線,線構(gòu)成面,在線組成的不同形狀中,線內(nèi)即是空間.初步學(xué)習(xí)立體幾何的時(shí)候,一些同學(xué)會(huì)遇到空間想象力不足等問題,而俗話說:“車到山前必有路,”因此,我們不必因?yàn)檫@些心急如焚,也許通過實(shí)踐,我們會(huì)有意想不到的收獲,

    一、紙上得來終覺淺

    前段時(shí)間在做作業(yè)時(shí)遇到一道題,大概是因?yàn)楣Ψ蜻€不到家吧,所以當(dāng)時(shí)想了很久,但解出這道題后,再遇到這種類型的題目就游刃有余了.

    如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),F(xiàn)為線段CD上一點(diǎn),將△ADE沿DE折疊到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如圖2.求證:A1F⊥BE.

    關(guān)于這道題,相信很多人在研究之后就可以有解題思路:由∠C =90°得出AC上BC,再加上DE∥BC這一條件,我們就可以推出AC⊥DE,即A1D⊥DE.而仔細(xì)觀察圖1,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)CD⊥DE,由面面垂直的判定定理可得DE上面A1DC.因?yàn)锳1F

    這個(gè)問題乍一看似乎很復(fù)雜,但當(dāng)我們想通后,會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)很簡(jiǎn)單.這道題其實(shí)是把一個(gè)平面圖形通過折疊變成立體圖形,如果我們把折疊后的點(diǎn)與點(diǎn)之間組成的線連結(jié),用透視圖的形式展現(xiàn)出來,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)折疊后的解題其實(shí)是圍繞一個(gè)四棱錐展開的,而這個(gè)四棱錐也有些特殊,由于A和A,是同一個(gè)點(diǎn),DE∥BC,就可以知道∠ADE=∠CDE,從而會(huì)得到A1D⊥DE和CD⊥DE.很多只看圖2沒有辦法發(fā)現(xiàn)的細(xì)節(jié),通過圖1都可以找到,

    這就是理論上的立體幾何.它所依賴的,是我們對(duì)公理、定理的熟悉程度和熟練運(yùn)用的能力,通過既成的理論在書面上通過透視圖解決幾何問題,

    二、絕知此事要躬行

    所謂實(shí)踐,就是要我們?nèi)?shí)行,也就是親自動(dòng)手,從實(shí)際出發(fā).

    還是以剛才的那道題目為例,就以我自己來說,初做這道題時(shí),我總是會(huì)忽略圖1,導(dǎo)致自己忽略題目中給我們的一些信息.而即使看了圖1,也沒有很快發(fā)現(xiàn)折疊后角與角之間的關(guān)系,在這上面浪費(fèi)了很多的時(shí)間.但如果自己剪一個(gè)直角三角形并按題目要求折疊,也許就可以更直觀地看出角與角、線與線之間的關(guān)系.

    在我們平時(shí)做題的時(shí)候,我們總會(huì)遇到以棱柱、棱錐、長(zhǎng)方體等簡(jiǎn)單幾何體為背景的幾何題,有的時(shí)候我們可能會(huì)因?yàn)橐恍┰驘o法通過書上的透視圖想象出題目所需要的幾何體,這個(gè)時(shí)候,我們就可以通過實(shí)踐來解決問題,

    如果是折疊、剪裁類的題目,我們可以用身邊的紙制作出一個(gè)小模型,直觀地感受、分析題目,更快得出結(jié)論.

    比如,當(dāng)我們想知道在一個(gè)三棱柱中切去一個(gè)小三棱柱后會(huì)得到什么幾何體時(shí),我們可以通過動(dòng)手操作的方式來直接體會(huì).通過圖3(a)和圖3(b),我們至少可以發(fā)現(xiàn)兩種答案,一種是得到一個(gè)四棱柱,一種是得到一個(gè)三棱柱,但如果從其他的角度進(jìn)行剪裁,我們還可以得到更多不同的幾何體.

    事實(shí)上,很多時(shí)候單用紙來制作簡(jiǎn)單的模型是完全不夠的,當(dāng)我們遇到包含“分別在上底面與下底面兩點(diǎn)之間有一條線段”這類條件的幾何題時(shí),簡(jiǎn)單的模型并不能幫助我們.但正所謂“功夫不負(fù)有心人”,這個(gè)時(shí)候,我們可以換一種方式建立模型,比如用火柴、棉簽等小棒搭建出最基本的幾何體,這樣我們就可以直觀地看到透視的幾何體,解題時(shí)思維就不會(huì)局限于書上的圖.其實(shí)也有數(shù)學(xué)建立模型專用的教具,有興趣的同學(xué)也可以買一些回來,在閑暇之余動(dòng)手做一做,做好之后從不同的角度觀察并動(dòng)手畫自己所建立的模型的透視圖,這樣可以幫助我們?cè)谀X海中形成一個(gè)可以轉(zhuǎn)動(dòng)的幾何體.時(shí)間久了,也許一些簡(jiǎn)單的剪裁類的題目我們通過畫圖就可以很快解答出來.

    明代詩人林鴻說:“一語不能踐,萬卷徒空虛.”當(dāng)我們熟讀熟背那些公理、定理后,要做的是學(xué)會(huì)如何運(yùn)用它們.當(dāng)我們通過做一些題目來加強(qiáng)自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用時(shí),我們其實(shí)已經(jīng)在實(shí)踐了,而在解題過程中,有時(shí)我們也會(huì)需要實(shí)踐.就如達(dá)·芬奇所說:“理論脫離實(shí)踐是最大的不幸,”通過學(xué)習(xí)立體幾何,通過比較理論和實(shí)踐上解決立體幾何問題的方式,我們知道,當(dāng)理論上有困難的時(shí)候,我們可以求助于實(shí)踐,而當(dāng)我們需要學(xué)習(xí)、鞏固某一理論時(shí),我們更需要實(shí)踐,

    請(qǐng)記住這樣一句話:“要想獲得一種見解,首先就需要?jiǎng)趧?dòng),自己的勞動(dòng),自己的首創(chuàng)精神,自己的實(shí)踐,”實(shí)踐,是理論的“眼睛”.

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