圓柱與其展開圖

劉善娜（特級教師）

【教學(xué)時機】

人教版六年級下冊《圓柱的認(rèn)識》學(xué)習(xí)之后，圓柱的表面積、體積學(xué)習(xí)之前。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過畫圓柱與其展開圖的草圖，使學(xué)生進一步掌握圓柱的特征。

2.通過圖形的“動態(tài)展開”，讓學(xué)生感受面與體的關(guān)聯(lián)，幫助其理解抽象的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。

【教學(xué)過程】

一、回顧特征

師：這兩天，我們認(rèn)識了圓柱，誰來說說它們有什么特征？

（板書：兩個底面，一個側(cè)面，無數(shù)條高，直柱體）

【設(shè)計意圖：通過對圓柱外部特征的回顧，為學(xué)生畫草圖做好知識準(zhǔn)備。】

二、嘗試畫圓柱

1.明了“草圖”。

師：同學(xué)們能試著在紙上畫一個圓柱的草圖嗎？

要求：數(shù)據(jù)不必準(zhǔn)確，也不必用作圖工具，但是要讓大家能看出這是一個圓柱，要具備圓柱的基本特征。（板書：不必精確，但需具備基本特征）

【設(shè)計意圖：學(xué)生通過對作圖“要求”的解讀，加深對草圖的認(rèn)識?！?/p>

2.學(xué)生嘗試作圖。

3.展示交流。

投影呈現(xiàn)圓柱草圖，指認(rèn)底面、側(cè)面、底面周長、高、直徑，并標(biāo)上字母d和h。

三、從“立體”到“平面”

1.嘗試畫展開圖。

師：這個圓柱（如上圖），如果沿著h將它的側(cè)面展開，會是什么形狀？（長方形）既然側(cè)面展開是長方形，決定它的大小的就是——長和寬。長和寬分別怎么畫？請你試一試，要求展開圖的大小盡可能符合要求。

【設(shè)計意圖：在實際學(xué)習(xí)過程中，我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生能口答“側(cè)面的長就是底面周長，側(cè)面的寬就是圓柱的高”，但是在具體轉(zhuǎn)化應(yīng)用時卻又一籌莫展。學(xué)生對立體與平面之間的轉(zhuǎn)化僅僅停留在動態(tài)展示的理解中，而沒有深入地去感受過轉(zhuǎn)化中的數(shù)據(jù)關(guān)系。讓學(xué)生畫大小盡可能符合數(shù)據(jù)要求的側(cè)面展開圖，是需要學(xué)生從關(guān)系的角度展開深度地思考，而不僅僅是簡單地畫一個長方形?！?/p>

2.展示匯報。

●展示一：大概估計，心里沒有估的標(biāo)準(zhǔn)。

師：看著他畫的圓柱與側(cè)面展開圖，你從展開圖的長和寬兩個維度去觀察，有什么想說的嗎？

追問1：他畫的寬度超過了圓柱的高，那我們在草圖上應(yīng)該如何確定展開圖的寬呢？

追問2：長方形的長，自然比圓柱底面的直徑要長，但到底是多長？與圓柱底面的直徑之間有什么關(guān)系？為什么是π倍的關(guān)系？（展開圖的長，就是圓柱的底面周長）

●展示二：慮及π倍的草圖。

師：誰能看明白他這個草圖的畫法？這三個分割點代表什么意思？每一段代表什么意思？

【設(shè)計意圖：在這一展示過程中，從“大概估計”的作品切入，暴露不關(guān)切具體數(shù)據(jù)的問題，再展示關(guān)注了具體數(shù)據(jù)的作品，通過“你能看明白嗎？”達成互動交流，為改進作圖做好準(zhǔn)備?！?/p>

3.再畫鞏固。

（1）實物動態(tài)，輔助理解。

結(jié)合側(cè)面展開圖的草圖，將一張A4紙卷成的圓柱側(cè)面展開，指認(rèn)圓柱的底面周長和高分別變成了長方形的長和寬，理解草圖中的立體圖與平面圖之間的聯(lián)系。

（2）從直徑出發(fā)，畫一個側(cè)面展開圖。

根據(jù)草圖中圓柱的底面直徑長度，畫出側(cè)面展開圖的長，根據(jù)圓柱的高，畫出側(cè)面展開圖的寬。

（3）補充展開圖。

師：這是一個圓柱側(cè)面的展開圖，你能根據(jù)展開圖將圓柱的兩個底面添上去嗎？圓柱的底面的大小如何確定？

小結(jié)：從側(cè)面展開圖的長中，確定直徑的大概程度，就能畫底面的圓。

四、從“平面”到“立體”

1.學(xué)會確定圓柱的底面直徑和高。

師：如果現(xiàn)在有這樣一張長方形的紙，你能畫出它左右相卷，卷成圓柱體后的草圖嗎？如何確定圓柱的底面直徑和高？

小結(jié)：長方形的寬就是圓柱的高，而將長方形的長分成三份多余一點的形式，其中的一份就是圓柱底面直徑的長度。

2.學(xué)會畫長方形紙從兩種方向卷成圓柱的草圖。

師：請利用給你的兩個長方形草圖繼續(xù)來畫。

要求：（1）配上底面。不同方向卷起來的兩種底面。

（2）畫出對應(yīng)的圓柱。

（3）同桌交流方法，集體小結(jié)。

【設(shè)計意圖：通過已知的長方形的平面圖形畫立體的圓柱草圖，進一步把握側(cè)面展開圖的長與圓柱底面直徑的關(guān)系，幫助學(xué)生建立相互轉(zhuǎn)化的連接?！?/p>

3.特殊的側(cè)面。

師：如果圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，說明什么？

生：底面周長=高。

師：你能根據(jù)這個側(cè)面展開圖畫出圓柱嗎？

師：如果現(xiàn)在告訴你圓柱的側(cè)面展開是一個邊長為2cm的正方形，看誰畫的圓柱草圖最接近準(zhǔn)確數(shù)據(jù)。（允許用尺子測量）

師：誰來說說你是如何讓自己的草圖接近準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的？

小結(jié)：側(cè)面展開圖的正方形邊長2cm→底面周長2cm→（分成三份多一點）底面直徑→高2cm。

【設(shè)計意圖：通過側(cè)面展開圖為正方形的特殊圓柱，讓學(xué)生畫接近準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的草圖，用數(shù)據(jù)估著畫，能使學(xué)生進一步把握正方形的邊長與圓柱的底面直徑、高的聯(lián)系?！?/p>

五、全課總結(jié)

師：這節(jié)課，畫了圓柱和它的展開圖，你有什么收獲？圓柱的大小和它的側(cè)面展開圖密切相關(guān)，有哪些具體的數(shù)據(jù)聯(lián)系？

小結(jié)：從圓柱草圖，畫出較為準(zhǔn)確的側(cè)面展開圖，從側(cè)面展開圖，畫出較為準(zhǔn)確的圓柱草圖，最重要的就是找到它們之間的聯(lián)系。

【教學(xué)建議】

本節(jié)課內(nèi)容，重在幫助學(xué)生理解面、體轉(zhuǎn)化中內(nèi)在數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)。學(xué)生在后期解決問題中，經(jīng)常遇到根據(jù)平面展開圖的數(shù)據(jù)無法計算立體圖形的表面積、體積，或者根據(jù)立體圖形的數(shù)據(jù)無法解決平面展開圖的相關(guān)問題。這份“畫數(shù)學(xué)”教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過畫草圖對其中的關(guān)系有了深度的理解。在實際教學(xué)中要關(guān)注兩個重點：

一、直觀感知要充分

在這節(jié)課畫草圖之前，要讓學(xué)生有充分的直觀感知。

1.認(rèn)識圓柱時，可以給每位學(xué)生一張A4紙反復(fù)操作演示側(cè)面的“面曲成體”，讓學(xué)生指一指、說一說這張長方形的紙卷成圓柱后，它的長和寬分別變成了圓柱的什么。

2.認(rèn)識圓柱后，可以讓每位學(xué)生動手制作完整的紙質(zhì)圓柱（可以利用學(xué)具紙片），不僅直觀體驗“面曲成體”，而且在兩個底面貼合的過程中，感受到底面與側(cè)面的關(guān)聯(lián)。在學(xué)生制作完成后，要讓學(xué)生在“側(cè)面”和“底面”上分別指認(rèn)“底面周長”，要抓住幾個重點問題：“底面周長”怎么在“側(cè)面”上也能找到？如果“側(cè)面”的大小確定了，對“底面”有什么影響？如果“底面”的大小確定了，對“側(cè)面”有什么影響？

有了這些感知，課堂上學(xué)生就能更順利地在體到面、面到體中穿行往復(fù)，能更好地掌握較為準(zhǔn)確地達成平面、立體互相轉(zhuǎn)化的技巧，并理解其中的道理。

二、后續(xù)作業(yè)要跟進

這節(jié)課的畫圖內(nèi)容變化較多，過程也較為復(fù)雜，建議作業(yè)跟進。如布置“一個圓柱的側(cè)面展開是一個邊長為5cm的正方形，請畫出圓柱的草圖，盡可能接近準(zhǔn)確數(shù)據(jù)。（允許用尺子測量）”。也可以設(shè)計成“側(cè)面展開是一個長8cm、寬6cm的長方形”，使答案多樣化。