洛必達(dá)法則應(yīng)用探析*

摘要：微積分中對洛必達(dá)法則的問題求解應(yīng)用層次較多，對于簡單的問題學(xué)生能利用公式進(jìn)行快速求解。但是，當(dāng)遇到稍微復(fù)雜點(diǎn)的題目，解決的難點(diǎn)隨之加大，甚至無從下手。在學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)從公式定義出發(fā)，分析公式應(yīng)用條件，探究應(yīng)用技巧，達(dá)到靈活應(yīng)用的目的。

關(guān)鍵詞：極限；洛必達(dá)法則；應(yīng)用

1 洛必達(dá)法則的定義

定義1：求未定式 型的極限

洛必達(dá)（LHospital）法則Ⅰ：若函數(shù)f（x）與g（x）滿足條件：

⑴

⑵f（x）與g（x）在點(diǎn)x0的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g（x）≠0；

⑶

則

定義2：求未定式 型的極限

洛必達(dá)（LHospital）法則Ⅱ：若函數(shù)f（x）與g（x）滿足條件：

⑴

⑵f（x）與g（x）在點(diǎn)x0的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g'（x）≠0；

⑶

則

特別的：在法則（Ⅰ）和法則（Ⅱ）中，把x→x0改為x→∞，仍然成立.

2 應(yīng)用洛必達(dá)法則的解題步驟

利用洛必達(dá)法則進(jìn)行題目求解時(shí)，可采用如下步驟進(jìn)行：

（1）明確題目的類型是 還是 型的未定式；

（2）分子分母分別求解后再判定極限類型。若不再是 和 就利用一般的極限求解方法進(jìn)行求解。若還是 或 之一，則再次應(yīng)用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解。

（3）依次循環(huán)步驟（2），直至極限求得。

3 習(xí)題分析

（1）常見極限的求解問題

例1

分析：當(dāng)x→0時(shí)，x2→0，sin2x→0均趨近于0，所以該極限為 型。

則

例2

分析：該題可采用兩個(gè)重要極限中 的結(jié)論進(jìn)行構(gòu)造求解，但是解題過程相對復(fù)雜：

通過分析，當(dāng)x→0時(shí)，sin2x→0，sin3x→0均趨近于0，所以該極限為 型，便于計(jì)算。

則

例3

分析當(dāng) 均趨近于+∞，所以該極限為 型。則，

（2）應(yīng)用拓展

1）既然洛必達(dá)法則可以解決 和 這兩種類型的比值極限，那么借助這個(gè)方法可以解決無窮小的比較問題。

例4 當(dāng)x→0時(shí)，cosx-1與x2是什么無窮??？

分析：當(dāng)x→0時(shí)，cosx-1→0，x2→0所以可利用 型極限的求法，判定兩者的比值極限，進(jìn)而得到結(jié)論。

所以，當(dāng)x→0時(shí)，cos-1與x2是同階無窮小。

2）洛必達(dá)法則不僅可以用來解決 型和 型未定式的極限問題，還可以用來解決 等類型的未定式的極限問題。求這幾種未定式極限的基本方法就是設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為 或 型未定式，即可用洛必達(dá)法則求極限了.

例5

分析：這是一個(gè) 型的未定式，設(shè)

可以先求得 的極限，再利用 得到最終答案。

解： 利用 型洛必達(dá)法則求解，得到 。因此，

4 總結(jié)

使用洛必達(dá)法則，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：

（1）必須檢驗(yàn)是否屬于 或 未定型，若不是未定型，就不能使用該法則；

（2）如有可約因子，或有非零極限值的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；

（3）當(dāng) 不存在（不包括∞的情況）時(shí)，并不能斷定也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求極限.

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作者簡介：張延利（1980.9-），男，山東萊蕪人，碩士，講師，從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)

基金項(xiàng)目：瀘州職業(yè)技術(shù)學(xué)院2015年度院級教改項(xiàng)目（JG-201504）；瀘州市職業(yè)教育研究中心2016年度研究課題（LZJY-2016-18）