一類(lèi)廣義非線性似變分不等式的輔助問(wèn)題研究

高海燕

(1. 大連財(cái)經(jīng)學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，遼寧 大連 116622;2. 東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧 大連 116025)

0 引言

變分不等式理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中一個(gè)非常重要的研究領(lǐng)域．它被廣泛的應(yīng)用于海洋學(xué)、彈性力學(xué)、控制論、非線性最優(yōu)化、經(jīng)濟(jì)平衡理論、物理和工程科學(xué)等多種學(xué)科．變分不等式理論中最重要的問(wèn)題之一是構(gòu)造有效的迭代算法找出變分不等式的逼近解．文獻(xiàn)[3-16]中介紹了多種逼近解的迭代算法．Glowinski, Lions和Tremolieres[8]引入了輔助原理技術(shù)，此后，Ding[3,4]，Ding和Tan[5]，Ding和Yao[6]，Gao等[7]， Liu等[9-12]，Zhang等[14]，Zeng 等[15]，Zeng等[16]，高[17]，以及很多學(xué)者都研究了不同的求解廣義非線性變分不等式的逼近解的迭代算法．

受上述工作[3-16]的啟發(fā)，本文研究了一類(lèi)廣義非線性似變分不等式，證明了此類(lèi)廣義非線性似變分不等式解的存在性，并利用Chang[1,2]的結(jié)論和輔助原理技術(shù)構(gòu)造了一種新的逼近解的迭代算法，同時(shí)證明了這種算法的收斂性．文中的結(jié)果推廣和改進(jìn)了Ding[3]，Gao等[7]，Liu等[9]，Liu等[11]，Yao[13]，高[17]以及其他學(xué)者的相關(guān)結(jié)論．

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)H為實(shí)Hilbert空間，H*為其對(duì)偶空間，表示元素u∈H與v∈H之間的偶對(duì)．設(shè)K為H的非空閉凸子集．假設(shè)a:K×K→(-∞,+∞)為強(qiáng)制連續(xù)雙線性型，即存在系數(shù)c,d>0滿足：

(i)a(u,v)≥c‖v‖2,?v∈K;

(ii)|a(u,v)|≤d‖u‖‖v‖,?u.v∈K.

由(ⅰ)和(ⅱ)可以推知c≤d.

設(shè)b:K×K→(-∞,+∞)是不可微的并且滿足以下條件：

(ⅲ)b(·,·)在第一變?cè)蔷€性的;

(ⅳ)b(·,·)在第二變?cè)峭沟?

(V)b(·,·)是有界的, 即存在系數(shù)l>0使得|b(u,v)|≤l‖u‖‖v‖,?u.v∈K.

(ⅵ)b(u,v)→b(u,w)≤b(u,v-w),

?u.v∈K.

考慮如下廣義非線性似變分不等式(以下簡(jiǎn)稱GNVLI):

對(duì)于給定的g∈H，求u∈K滿足

〈N(Au,Bu,Cu)-g,η(v,u)〉+a(u,v-u)-b(u,u)+b(u,v)≥0,?v∈K,

(1)

特殊情況

如果N(Au，Bu,Cu)=Au-Bu,g=0,

b(u,v)=f(v),?u,v∈K,

其中f:H→(-∞,+∞)是一個(gè)函數(shù), 那么GNVLI等價(jià)于求u∈K滿足

〈Au-Bu,η(v,u)〉≥f(u)-f(v),?v∈K.

(2)

詳見(jiàn) Ding[3]．

定義1 設(shè)映射A，B：K→H,N:H×H×H→H,η：K×K→H*.

(1) 稱A為r-Lipschitz連續(xù), 如果存在常數(shù)r>0滿足

‖Au-Av‖≤r‖u-v‖,?u,v∈K.

(3)

(2) 稱N關(guān)于第一元A為s-η-強(qiáng)單調(diào)，如果存在常數(shù)s>0滿足

〈N(Ax,u,v)-N(Ay,u,v),η(x,y)〉≥s‖x-y‖2,?x,y∈K,?u,v∈H.

(4)

(3) 稱N關(guān)于第二元A為η-強(qiáng)單調(diào)，如果滿足

〈N(u,Ax,v)-N(u,Ay,v),η(x,y)〉≥0,?x,y∈K,?u,v∈H.

(5)

(4) 稱N關(guān)于第三元A為t-Lipschitz連續(xù)，如果存在常數(shù)t>0滿足

‖N(u,v,x)-N(u,v,y)‖≤t‖x-y‖,?x,y,u,v∈H.

(6)

(5) 稱N關(guān)于第一元A和第二元B為η-半連續(xù)，如果滿足對(duì)任意給定的x,y,z∈K映射g:[0,1]→(-∞,+∞)在0+連續(xù)，其中

g(t)=〈N(A(tx+(1-t)y),B(tx+(1-t)y,z),η(x,y)〉

(6) 稱η為s-Lipschitz連續(xù)，如果存在常數(shù)s>0滿足

‖η(u,v)‖≤s‖u-v‖,?u,v∈K.

(7)

(7) 稱η為t-強(qiáng)單調(diào)，如果存在常數(shù)t>0滿足

≥t‖u-v‖2,?u,v∈K.

(8)

引理1[1,2]設(shè)X是Hausdorff線性拓?fù)淇臻gE的一個(gè)非空閉凸子集，如果兩個(gè)映射φ,ψ:X×X→(-∞,+∞)滿足如下條件：

(Ⅰ)ψ(x,y)≤φ(x,y),?x,y∈X,并且ψ(x,x)≥0,?x∈X；

(Ⅱ) 對(duì)每個(gè)x∈X,ψ(x,·)在X上是上半連續(xù)的；

(Ⅲ) 對(duì)每個(gè)y∈X,集合{x∈X:ψ(x,y)<0}是凸的；

(Ⅳ) 存在一個(gè)非空緊集K?X和元素x0∈K使得ψ(x0,y)<0,?y∈XK,

2 主要內(nèi)容

首先考慮 GNVLI (1)的輔助問(wèn)題．

(9)

其中ρ>0是個(gè)常數(shù)．

定理1 設(shè)K是H的非空閉凸子集，并且g∈H．設(shè)a:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅰ)，(ⅱ)，b:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅲ)- (ⅵ) ，映射A,B,C:K→H，及N:H×H×H→H滿足N關(guān)于第一元A和第二元B為η-半連續(xù)．設(shè)η:K×K→H*為δ-Lipschitz連續(xù)和τ-強(qiáng)單調(diào)的，對(duì)每個(gè)y∈K，η(·,K)連續(xù)且滿足η(y,x)=-η(x,y),?x,y∈K．假設(shè)N關(guān)于第一元A為α-η-強(qiáng)單調(diào), 關(guān)于第二元B為η-強(qiáng)單調(diào)．如果對(duì)于給定的x,y,z∈H及v∈K，映射〈N(x,y,z),η(v,·)〉是凹的和上半連續(xù)的，則輔助問(wèn)題(9)在K中有唯一解．

證明設(shè)u∈K．定義函數(shù)φ,Ψ：K×K→R如下：

φ(v,w)=〈v,η(v,w)〉-〈u,η(v,w)〉+ρ〈N(Av,Bv,Cu)-g,η(v,w)〉+ρa(bǔ)(v,v-w)-ρb(u,w)+ρb(u,v),?v,w∈K

(10)

ψ(v,w)=〈w,η(v,w)〉-〈u,η(v,w)〉+ρ〈N(Aw,Bw,Cu)-g,η(v,w)〉+ρa(bǔ)(w,v-w)-ρb(u,w)+ρb(u,v),?v,w∈K

(11)

先證明映射φ,ψ滿足引理 1的條件．易證對(duì)任意的v,w∈K，有

φ(v,w)-ψ(v,w)=〈v-w,η(v,w)〉+ρ〈N(Av,Bv,Cu)-N(Aw,Bw,Cu),η(v,w)〉+ρ〈N(Aw,Bv,Cu)-N(Aw,Bw,Cu),η(v,w)〉+ρa(bǔ)(v-w,v-w)≥[τ+ρ(α+c)]‖v-w‖2≥0

(12)

(13)

(14)

顯然，M是K的弱緊子集，對(duì)任意的w∈KM，

(15)

(16)

(17)

注意到b在第二變?cè)峭沟?，〈N(x,y,z),η(v,·)〉是凹的和上半連續(xù)的．由(ⅵ)和(17)推知

(18)

因此

(19)

在以上不等式中令t→0+，可得

(20)

以下證明唯一性．設(shè)w1,w2∈K是(9)的兩個(gè)解，則對(duì)任意的?v∈K有

〈w1,η(v,w1)〉≥〈u,η(v,w1)〉-ρ〈N(Aw1,Bw1,Cu)-g,η(v,w1)〉-ρa(bǔ)(w1,v-w1)-ρb(u,v)+ρb(u,w1),

(21)

〈w2,η(v,w2)〉≥〈u,η(v,w2)〉-ρ〈N(Aw2,Bw2,Cu)-g,η(v,w2)〉-ρa(bǔ)(w2,v-w2)-ρb(u,v)+ρb(u,w2),(22)

分別取(21)中v=w2，(22)中v=w1，并將兩個(gè)不等式相加可得

τ‖w1-w2‖2≤-ρ〈N(Aw1,Bw1,Cu)-N(Aw2,Bw1,Cu),η(w1,w2)〉-ρ〈N(Aw2,Bw1,Cu)-N(Aw2,Bw2,Cu),η(w1,w2)〉-ρα(w1-w2,w1-w2)≤-ρ(α+c)‖w1-w2‖2,

(23)

根據(jù)定理1, 構(gòu)造以下逼近 GNVLI 的解的迭代算法．

迭代算法假設(shè)a:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅰ)，(ⅱ)，b:K×K→(-∞,+∞)滿足(ⅲ)- (ⅵ)，A,B,C:K→H,N:H×H×H→H，η:K×K→H*為映射．對(duì)給定的u0∈K，按如下算法計(jì)算序列{un}n≥0?K：

〈un+1,η(v,un+1)〉≥〈un,η(v,un+1)〉-ρ〈N(Aun+1,Bun+1,Cun)-g,η(v,un+1)〉-ρa(bǔ)(un+1,v-un+1)-ρb(un,un+1)+〈en,η(v,un+1)〉,?v∈K,n≥0,

(24)

其中{en}n≥0?H，且ρ>0是常數(shù)．

其次, 考慮GNVLI解的存在唯一性, 以及由迭代算法產(chǎn)生的迭代序列的收斂性．

定理2 設(shè)a,b,A,B,N,η與定理1中相同，設(shè)C:K→H為ξ-Lipschitz連續(xù)，N關(guān)于第三元為σ-Lipschitz連續(xù)及關(guān)于第三元C為β-η-強(qiáng)單調(diào)，并且滿足

(25)

如果存在一個(gè)常數(shù)ρ滿足

(26)

和下列條件之一：

(27)

(28)

則GNVLI存在解u∈K，并且由迭代算法定義的迭代序列{un}n≥0強(qiáng)收斂到u．

證明根據(jù)定理 3.1的證明可知存在映射G:K→K滿足G(u)=w,?u∈K其中w是(9)的唯一解．下面證明G是一個(gè)壓縮映射．設(shè)x1,x2,y是K中的任意元. 由(9)可得

〈Gx1,η(y,Gx1)〉≥〈x1,η(y,Gx1)〉-ρ〈N(A(Gx1),B(Gx1),Cx1)-g,η(y,Gx1)〉-ρa(bǔ)(Gx1,y-Gx1)-ρb(x1,y)+ρb(x1,Gx1),

(29)

〈Gx2,η(y,Gx2)〉≥〈x2,η(y,Gx2)〉-ρ〈N(A(Gx2),B(Gx2),Cx2)-g,η(y,Gx2)〉-ρa(bǔ)(Gx2,y-Gx2)-ρb(x2,y)+ρb(x2,Gx2),

(30)

分別取(29)中y=Gx2，(30)中y=Gx1，并將兩個(gè)不等式相加可得

(31)

亦即

‖Gx1-Gx2‖≤θ‖x1-x2‖

(32)

其中

(33)

結(jié)合(26)和(27) (28)之一，得θ<1．故此，G:K→K是一個(gè)壓縮映射且有唯一的不動(dòng)點(diǎn)u∈K．根據(jù)(9)知

〈u,η(v,u)〉≥〈u,η(v,u)〉-ρ〈N(Au,Bu,Cu)-g,η(v,u)〉-ρa(bǔ)(u,v-u)-ρb(u,v)+ρb(u,u),?v∈K.

(34)

即有

〈N(Au,Bu,Cu)-g,η(v,u)〉+a(u,v-u)-b(u,u)+b(u,v)≥0,?v∈K,

(35)

由此證明了u是GNVLI的解．

下面證明由上述迭代算法產(chǎn)生的迭代序列的收斂性．分別取(34)中v=un+1，(24)中v=u，并將兩個(gè)不等式相加可得

(36)

因此，

‖un+1-u‖≤θ‖un-u‖+‖en‖→0,n→∞

(37)

其中θ與(33)中相同．結(jié)合(25)和(37)可以推知，由上述迭代算法產(chǎn)生的迭代序列{un}n≥0強(qiáng)收斂到u．證畢．

注記 定理1和定理2推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[3,7,9,11,13]，和文獻(xiàn)[17]中的相關(guān)結(jié)果．