多角度剖析三角形中值的取舍問題

江蘇省蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué) 戈晨曦

三角形中的求值是高考考查的重點，而三角求值中多解的取舍問題又是三角函數(shù)中的難點。增解的產(chǎn)生，很多時候是由于我們對于條件挖掘不夠，或者由于我們忽視了一些已有的結(jié)論，導(dǎo)致答案出現(xiàn)了增解現(xiàn)象。我們知道，三角函數(shù)值的確定一般需要通過角的范圍來實現(xiàn)。盡管我們這里研究的是在三角形中的求值，已經(jīng)對角有了一定的范圍，但可能仍然不足以幫我們確定某些三角函數(shù)值的正負(fù)，這時我們就需要借助題目條件本身所蘊含的知識去判斷、去取舍。在這里，我們就針對這種情況舉例，剖析增解產(chǎn)生的原因以及如何能夠舍去增解。

一、三角形中的兩個角的三角函數(shù)值確定了三角形的固有形狀

上面的分析對嗎?如何確定結(jié)果的正負(fù)是擺在我們面前的一個問題，我們可以試著從以下方面來進(jìn)行判斷：

解法1：分類討論，根據(jù)答案有效取舍

既然不能取舍正負(fù)，那么就分類討論：

解法2：利用三角函數(shù)值縮小角度的范圍

這種方法主要是根據(jù)現(xiàn)有的三角函數(shù)值和特殊角的三角函數(shù)值作比較，從而得出角的范圍，再結(jié)合三角形的兩個內(nèi)角和小于180度，有效地舍去了另外一個解。在這里需要和大家強調(diào)的是，給定了一個角的三角函數(shù)值，如果是特殊值，當(dāng)然可以確定角的具體值，如為三角形的內(nèi)角，則易得如果給定的值不是特殊值，如為三角形的內(nèi)角，這時我們雖然不能具體指出A的具體角度，但是角A是確定的一個或兩個固定的值。所以在三角函數(shù)中，我們知道了三角函數(shù)的值，再加上這個角度的范圍，某種程度上就認(rèn)為知道這個角是已知角，只不過這個角不是特殊的罷了。

解法3：利用三角函數(shù)的圖像

這種方法和上面的解法1有異曲同工之處，但是結(jié)合了三角函數(shù)圖像的對稱性，讓人有更加直觀的感覺。

解法4：利用三角形中的一些定理

此方法巧妙地利用了邊和角之間的轉(zhuǎn)化，把角的大小問題轉(zhuǎn)化為邊的長短問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個角的正弦的大小問題，非常巧妙。

從上面的四種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，問題1分析中的錯誤主要是由以下幾個方面造成的：

（1）忽視了三角形中的一些角有度數(shù)的限制，從而忽視了三角形中的三角函數(shù)值也有了一定的限制。如三角形兩角和不超過180°。

（2）對于一些三角函數(shù)值在一定范圍內(nèi)的正負(fù)不是非常明確。如正弦值在三角形內(nèi)恒正。

（3）缺乏手段對三角函數(shù)值的大小和角的大小之間的等價轉(zhuǎn)化。如

上面的解法對嗎？我們可以從以下幾方面給出判斷：

解法1：利用三角函數(shù)的正負(fù)值來取舍

通過解題分析出來的。

解法3：利用三角函數(shù)的定義

解法3的精彩之處在于對于三角函數(shù)之間的不等關(guān)系挖掘得很到位。

解法4：利用齊次式

解法4的精彩之處在于對于三角函數(shù)的正負(fù)值和大小有非常精準(zhǔn)的把握。

從上面的四種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，問題2分析中的錯誤主要是由以下幾個方面造成的：

（1）對于一些三角函數(shù)值在一定范圍內(nèi)的正負(fù)值不是非常明確。如：正弦值在三角形內(nèi)恒正。

數(shù)學(xué)中的有些“隱藏”結(jié)論需要我們進(jìn)一步去挖掘，這也是數(shù)學(xué)邏輯推理論證的魅力所在。