有限維Hilbert空間中框架的長度手術(shù)

王 維，朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州　350116)

有限維Hilbert空間中框架的長度手術(shù)

王 維，朱玉燦

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 福州350116)

摘要：針對有限維Hilbert空間中框架的長度手術(shù)的操作過程的情況，分別提出了非負(fù)實(shí)數(shù)可以添加進(jìn)一個(gè)緊框架集而成為一個(gè)新的緊框架集、 緊框架集任意刪除p個(gè)數(shù)、 實(shí)施(q，q)-長度手術(shù)的方法，得到在替換操作中推廣了緊框架集上可以實(shí)施(q，q)-長度手術(shù)而仍然是緊框架集的充要條件的結(jié)論.

關(guān)鍵詞：有限維Hilbert 空間； 框架； 長度手術(shù)； 緊框架集

0引言

Duffin和Schaeffer于1952年研究非調(diào)和Fourier級數(shù)問題時(shí)引入了Hilbert空間中框架的概念[1]，但當(dāng)時(shí)并未得到人們重視. 直到二十世紀(jì)八十年代，Daubechies等人在文獻(xiàn)[2]中重新引入并發(fā)展，框架理論及其應(yīng)用才開始引起國內(nèi)外眾多學(xué)者的興趣和關(guān)注. 目前，框架理論已經(jīng)取得了一系列重要的理論和研究成果[3-4]. 現(xiàn)在框架理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在信號、 圖像處理[5]、 編碼和傳輸[6]等領(lǐng)域.

Hilbert空間的框架是基的一種推廣，在有限維Hilbert空間中，框架是一個(gè)可張成該空間的冗余集. 由于框架的冗余性，使實(shí)施框架手術(shù)(frame surgery)[7]和長度手術(shù)(length surgery)[8]來構(gòu)造緊框架和緊框架集成為可能. 框架手術(shù)是對一個(gè)框架進(jìn)行添加或刪除向量元素的操作，而長度手術(shù)則關(guān)注框架元素的模長問題. 在實(shí)際應(yīng)用中，長度手術(shù)對于控制功率、 能量[9-10]、 CDMA系統(tǒng)等方面發(fā)揮了積極的作用. 與一般框架相比，緊框架的重構(gòu)公式比較簡單，緊框架能避免在框架重構(gòu)時(shí)框架算子的逆算子不容易計(jì)算，而且運(yùn)算量大的麻煩. 由于緊框架的優(yōu)良性質(zhì)使得緊框架在許多實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要的作用(例如圖像處理等). 因此，越來越多的學(xué)者重視對緊框架的研究[3-6，9，11]. 有鑒于此，將對進(jìn)行什么樣的長度手術(shù)操作可以構(gòu)造出一個(gè)緊框架集的問題進(jìn)行一些探討.

首先，簡要介紹框架的一些基本概念和性質(zhì).

在下文中將(p，q)-length surgery簡稱為(p，q)-ls.

2主要結(jié)論

證明這里對q用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

(1)

(2)

從而把式(2)代入式(1)有：

因此有

所以當(dāng)l>j時(shí)，有bl>bj. 證畢.

下面給出一個(gè)緊框架集可任意刪除p個(gè)數(shù)而仍然是緊框架集的充分條件.

證明首先來證明：p≤k-n.

(3)

又因?yàn)?/p>

(4)

后面部分將在文獻(xiàn)[8]基礎(chǔ)上對實(shí)施替換操作構(gòu)造緊框架集的條件進(jìn)行推廣探討.

文獻(xiàn)[8]中命題4.3有錯(cuò)誤，下面的命題1是對命題4.3的更正.

下面的定理3把文獻(xiàn)[8]中的定理4.2在一個(gè)緊框架集上實(shí)施(1，1)-ls而仍然是一個(gè)緊框架集的充要條件推廣到較一般的情況，給出在一個(gè)緊框架集上實(shí)施(q，q)-ls(q≥1)而變?yōu)橐粋€(gè)新的緊框架集的充要條件.

注4從推論3中可以看到，對于任意不是緊框架集的非負(fù)實(shí)數(shù)序列，該序列所對應(yīng)的正整數(shù)s(命題2)越小，則使其變?yōu)榫o框架集所需替換的元素也就越少.

參考文獻(xiàn)：

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[4]CHRISTENSENO.Framesandbases:anintroductorycourse[M].Boston:Birkhauser，2008.

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[8]COPENHAVERMS，KIMYH，LOGANC，et al.Maximumrobustnessandsurgeryofframesinfinitedimensions[J].LinearAlgebraAppl，2013，439: 1 330-1 339.

[11]BENEDETTOJJ，F(xiàn)ICKUSM.Finitenormalizedtightframes[J].AdvComputMath，2003，18(2/3/4): 357-385.

(責(zé)任編輯： 林曉)

Length surgery of frames in finite dimensional Hilbert spaces

WANG Wei，ZHU Yucan

(College of Mathematics and Computer Science，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

Abstract:According the operational procedure of length surgery of in finite dimensional Hilbert spaces，we put forward the method of adding negative real numbers to a tight frame set resulting in a new tight frame set，a tight frame set after deleting random p numbers，and performing a (q，q)-length surgery，respectively，get the conclusion that we generalize the necessary and sufficient condition for keeping a tight frame set under performing a (q，q)-length surgery on a tight frame set in replacing operation.

Keywords:finite dimensional Hilbert spaces; frame; length surgery; tight frame set

DOI:10.7631/issn.1000-2243.2016.03.0342

文章編號：1000-2243(2016)03-0342-06

收稿日期:2014-01-02

通訊作者:朱玉燦(1963-)，教授，主要從事框架理論、 幾何函數(shù)論、 多復(fù)變函數(shù)幾何理論研究，zhuyucan@fzu.edu.cn

基金項(xiàng)目：福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012J01005)； 國家自然科學(xué)基金天元基金資助項(xiàng)目(11226099)； 福州大學(xué)科技發(fā)展基金資助項(xiàng)目(2012XQ29)

中圖分類號：O177.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A