高等數(shù)學(xué)中的類比思維

牛應(yīng)軒，王東明，傅傳秀

(皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012)

創(chuàng)新能力是國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力的核心，黨的十九大對(duì)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)人才培養(yǎng)做出了重要部署，國(guó)務(wù)院對(duì)加強(qiáng)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)教育提出了明確的要求。創(chuàng)新是當(dāng)今的時(shí)代精神，高等學(xué)校擔(dān)負(fù)培養(yǎng)創(chuàng)造性人才，培養(yǎng)出更多創(chuàng)新型人才的重任。高等數(shù)學(xué)是各理工科專業(yè)重要的基礎(chǔ)理論課，其目的在于培養(yǎng)工程技術(shù)人才所必備的數(shù)學(xué)素質(zhì)，為培養(yǎng)我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)需要的高素質(zhì)人才服務(wù)。一方面，高等數(shù)學(xué)是學(xué)生專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和重要工具。另一方面，高等數(shù)學(xué)的理論和方法對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)及綜合素質(zhì)的提高有重要意義。它是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的有效工具和重要途徑。創(chuàng)新能力的形成很大程度上取決于人們的創(chuàng)造性思維方式，創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造性活動(dòng)的核心和靈魂。

高等數(shù)學(xué)涉及許多的思維形式，如抽象思維、邏輯思維、形象思維和猜想思維等等[1](P14)，它也包含了多種思維方式，例如變量函數(shù)思維方式、無(wú)窮分析思維方式、相似類比思維方式、反例反駁思維方式和空間想象思維方式等等[1](P68)。本文我們討論高等數(shù)學(xué)中的類比思維。所謂類比，就是借助于兩類不同本質(zhì)事物之間的相似性，通過(guò)比較將一種已經(jīng)熟悉或掌握的特殊對(duì)象的知識(shí)推移到另一種新的特殊對(duì)象上去的推理手段。一方面，類比思維和類比推理是高等數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理，它提供了高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，也為理解和掌握高等數(shù)學(xué)中的概念、定理及公式提供幫助。它能夠?qū)⒉煌瑢哟蔚念愃苾?nèi)容串聯(lián)一起，幫助記憶。另一方面，類比思維還大量應(yīng)用到科學(xué)技術(shù)的發(fā)明創(chuàng)造上，例如潛水艇的設(shè)計(jì)思想來(lái)自魚類在水中浮沉的生物機(jī)制的類比；蜜蜂的太陽(yáng)偏光定向的功能，啟發(fā)人們制造了航海偏光天文羅盤等等。我們通過(guò)例子說(shuō)明類比思維的幾種表現(xiàn)形式，顯示它在培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)、創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力中的作用。

類比的認(rèn)識(shí)論根源就是思維相似律，也就是客觀事物發(fā)展過(guò)程中的相似現(xiàn)象在思維過(guò)程中具有相似的反映，它是人的思維的一個(gè)基本規(guī)律。著名日本物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者湯川秀澍(Yukawa，1907—1981)說(shuō)：“類比是一種創(chuàng)造性思維的形式”[2]。類比為人們的思維過(guò)程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學(xué)研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式。

1 平面與空間的類比

著名數(shù)學(xué)家、教育家波利亞(George Polya，1887—1985)說(shuō)：“類比是一個(gè)偉大的引路人，求解立體幾何問(wèn)題往往有賴于平面幾何中的問(wèn)題?！盵2]由條件的相似性可以推得相似的結(jié)論。這在平面與空間的類比中尤其明顯。

類比是提出新問(wèn)題和作出新發(fā)現(xiàn)的一個(gè)重要源泉，通過(guò)平面解析幾何與空間解析幾何的類比，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的空間解析幾何時(shí)，可以由熟悉的平面解析幾何的知識(shí)比較容易、自然地掌握空間解析幾何中的新結(jié)論。

2 抽象與具體的類比

抽象性是數(shù)學(xué)的特征之一，抽象的問(wèn)題是學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中遭遇到的最大的困難。如果我們能夠?qū)⒊橄蟮膯?wèn)題與具體的問(wèn)題進(jìn)行類比，發(fā)現(xiàn)抽象問(wèn)題與具體問(wèn)題的相似性質(zhì)，從而利用具體問(wèn)題的性質(zhì)得到抽象問(wèn)題的解決。這樣就為學(xué)生排除學(xué)習(xí)中的困難，能夠極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性。

下面我們展示如何利用類比方法解決在極限理論中無(wú)窮大的問(wèn)題。無(wú)窮大是一個(gè)抽象的概念，它是什么？它與通常的數(shù)有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中一個(gè)必須要解決的問(wèn)題。首先我們知道數(shù)與實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們想象有這么一個(gè)點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)或稱為“理想的點(diǎn)”，它是實(shí)數(shù)軸的兩端的“交點(diǎn)”，記為∞，如圖1。

圖1 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的定義

對(duì)于數(shù)軸上的點(diǎn)x0的δ-鄰域的幾何表示如圖2。

圖2 x0的δ-鄰域

它的代數(shù)表示是U(x0,δ)={x|x0-δ

圖3 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的M-鄰域

從而它的代數(shù)表示是U(∞,M)={x||x|>M}。數(shù)軸上的點(diǎn)x0有鄰域與去心鄰域之分，而無(wú)窮點(diǎn)∞的鄰域與去心鄰域是一樣的。數(shù)軸上的點(diǎn)x0有左、右δ-鄰域，其相應(yīng)的幾何表示如圖4、圖5。

圖4 x0的左δ-鄰域

圖5 x0的右δ-鄰域

類比數(shù)軸上的點(diǎn)x0有左、右δ-鄰域，我們可以得到∞的左、右M-鄰域，其相應(yīng)的幾何表示如圖6、圖7。

圖6 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的左M-鄰域

圖7 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的右M-鄰域

它們分別稱為-∞(+∞)的M-鄰域，其代數(shù)表示是U(-∞,M)={x|x<-M}和U(+∞,M)={x|x>M}。

我們記Θ為x0或x-或x+或∞或-∞或+∞，Ξ表示常數(shù)A或∞或-∞或+∞。因此，利用類比思想和方法，由上述的極限的定義，我們可以在統(tǒng)一的觀點(diǎn)下，給出各種極限的統(tǒng)一定義：

3 有限與無(wú)限的類比

有很多實(shí)際問(wèn)題的精確解，僅僅通過(guò)有限次的運(yùn)算是求不出來(lái)的，而必須通過(guò)分析一個(gè)無(wú)限變化過(guò)程的變化趨勢(shì)才能求得，微積分的建立就是這種思想。我們已經(jīng)掌握了初等數(shù)學(xué)的方法和一些結(jié)果，它們能夠解決有限的問(wèn)題，那么在解決和分析無(wú)限的問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)類比思維方式給予解決。辯證法告訴我們量變到質(zhì)變規(guī)律，因此由有限到無(wú)限時(shí)僅僅通過(guò)簡(jiǎn)單和形式上的類比得到的結(jié)果未必正確，這是需注意的問(wèn)題，可以通過(guò)對(duì)結(jié)果進(jìn)行修正而得到正確的結(jié)果。

4 低維與高維的類比

高等數(shù)學(xué)的主要研究的內(nèi)容是一元函數(shù)的微積分和多元函數(shù)的微積分。在掌握了一元函數(shù)的微積分知識(shí)基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分時(shí)，類比思想和方法起到非常重要的作用和效果。通過(guò)已學(xué)知識(shí)和新知識(shí)進(jìn)行類比，更容易接受、掌握和理解新知識(shí)。

4.1 概念的類比

一元函數(shù)有極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和積分的概念，而對(duì)于多元函數(shù)相應(yīng)地有極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和重積分的概念。

一元函數(shù)的定積分是通過(guò)要計(jì)算曲邊梯形的面積而引入的，利用微元法的思想，通過(guò)“分割”“近似”“求和”和“取極限”四個(gè)步驟給出定積分的定義。類比一元函數(shù)的定積分，要計(jì)算曲頂柱體的體積，同樣通過(guò)“分割”“近似”“求和”和“取極限”四個(gè)步驟給出二重積分的定義。

4.2 性質(zhì)和結(jié)論的類比

對(duì)于一元函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)和定積分都具有線性性質(zhì)，類似地，對(duì)于多元函數(shù)，極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和重積分也都具有線性性質(zhì)。

類比閉區(qū)間上的一元連續(xù)函數(shù)具有有界性、最值性和介值性等性質(zhì)，有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)也有有界性、最值性和介值性等性質(zhì)。

類比思維的認(rèn)識(shí)依據(jù)是客觀事物和對(duì)象之間存在的普遍聯(lián)系-相似性，因此，“類比就是一種相似”[3](P38)。相似律的主要內(nèi)容之一是相似的基因、相似的條件和相似的環(huán)境產(chǎn)生相似的結(jié)果。由于一元函數(shù)與多元函數(shù)在相應(yīng)的概念上具有較強(qiáng)的相似性，因此在性質(zhì)和結(jié)論上具有許多的相似性就不足為奇了。

類比推理是一種“合情”的“似然”推理，它的正確性不能肯定，原因在于：在推理過(guò)程中使用的“相似”這個(gè)概念，本身不是確定的，有很大的變化范圍，人們可以給出各種各樣的“相似”，況且“相似”畢竟有差異，因此，類比推理中的前提與結(jié)論的從屬關(guān)系不是必然的，而是或然的，其正確性必須加以證明或舉反例來(lái)判定。

例如在一元函數(shù)微分學(xué)中有“如果函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，那么f(x)必在x0處連續(xù)”的結(jié)論[4](P85)，通過(guò)類比，我們可以得到在二元函數(shù)微分學(xué)中有結(jié)論“如果函數(shù)f(x,y)在(x0,y0)處有偏導(dǎo)數(shù)，那么f(x,y)必在(x0,y0)處連續(xù)”，但是我們可以給出反例說(shuō)明該結(jié)論是不正確的[5](P67)。雖然上述的類比結(jié)果是不正確的，但是它仍然是符合類比推理規(guī)律的一個(gè)結(jié)果。我們從中可以看出其思維的意義，即引導(dǎo)我們修改類比的設(shè)想和結(jié)果，直至得到正確的結(jié)果。在高等數(shù)學(xué)的多元函數(shù)的微積分中，有許多這種情況。

德國(guó)哲學(xué)家康德(Kant,1724—1804)說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思想時(shí)，類比這個(gè)方法往往指引我們前進(jìn)”[6](P204)。類比思維在數(shù)學(xué)知識(shí)延伸拓廣過(guò)程中常借助于比較、聯(lián)想用作啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散。在歸納知識(shí)系統(tǒng)時(shí)又可用來(lái)串聯(lián)不同層次的類似內(nèi)容，以幫助理解和記憶。在解決問(wèn)題時(shí)，是產(chǎn)生新成果的原動(dòng)力。本文討論的類比思維的幾種形式和例子富于啟迪性，它們說(shuō)明類比思維和推理可以啟發(fā)思維，提供線索，舉一反三，觸類旁通。因此，類比方法既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效途徑，因此予以充分地重視是十分必要的。