巧解東風(fēng)云水意，踏星掬月近天涯

袁一丹

摘 要：立足于高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)及函數(shù)模塊數(shù)學(xué)題的解題研究，提出了從數(shù)、形的角度提取信息并確立適切的數(shù)學(xué)對象，通過探索數(shù)學(xué)對象與數(shù)學(xué)問題的目標之間的聯(lián)系而解決數(shù)學(xué)問題這樣一個層層深入并能達成深化認識、拓展新知的數(shù)學(xué)問題解構(gòu)過程。通過此類函數(shù)題解構(gòu)方法，對處理函數(shù)高考題中數(shù)學(xué)對象確立產(chǎn)生的一題多解、溝通數(shù)學(xué)對象與問題目標之間的聯(lián)系進行了一題多變的案例研究。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)題；解構(gòu)

一、選題背景

（一）函數(shù)處在高中數(shù)學(xué)核心地位

函數(shù)知識貫穿高中數(shù)學(xué)，與數(shù)列、解析幾何等知識緊密聯(lián)系，是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是歷年浙江省高考的重難點（近三年純粹函數(shù)考題的統(tǒng)計見下表，不含其他知識背景考查函數(shù)題）。學(xué)好函數(shù)是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，同時是深入研究數(shù)學(xué)甚至是其他學(xué)科的基礎(chǔ)。

（二）數(shù)學(xué)對象確立的適切性是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵點

數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)的過程一般可分四環(huán)節(jié)：定義概念→探究性質(zhì)→建立聯(lián)系→實踐應(yīng)用。詳細的，首先從數(shù)、形的角度提取信息并確立數(shù)學(xué)對象，然后探索數(shù)學(xué)對象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而探究出性質(zhì)，再建立相關(guān)知識的數(shù)學(xué)聯(lián)系形成一個知識體系，最后應(yīng)用所生成的新的知識體系來解決數(shù)學(xué)問題。這樣形成一個螺旋上升、層層深入并能達成深化認識、拓展新知的數(shù)學(xué)問題解構(gòu)過程，而其中數(shù)學(xué)對象確立的適切性是數(shù)學(xué)問題解構(gòu)的關(guān)鍵點。

【案例1】（2008年浙江理15）

已知t為常數(shù)。函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t= .

點析：此題難點是參數(shù)t的認識和處理。若通過分析解構(gòu)出數(shù)學(xué)對象來開展解題的路徑，如確立數(shù)學(xué)對象為函數(shù)y=x2-2x，然后探究y=x2-2x的圖象與函數(shù)y=x2-2x-t的圖象及y=|x2-2x-t|的圖象的關(guān)系，再建立直觀的數(shù)學(xué)聯(lián)系，結(jié)合圖象解決問題。本題本質(zhì)的解構(gòu)方法在于能否把問題轉(zhuǎn)化為一個確定函數(shù)圖象的平移和翻折變換到某一特定位置。

（三）高中生之于數(shù)學(xué)解題的思維盲點

高中數(shù)學(xué)語言相比初中數(shù)學(xué)抽象程度突增，知識內(nèi)容整體數(shù)量巨增，思維方法更具嚴謹性和推理性，對綜合分析能力較弱的學(xué)生易產(chǎn)生學(xué)困點，解題時更會出現(xiàn)思維盲點。如何從抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提取出適切的數(shù)學(xué)對象？如何把抽象的數(shù)學(xué)對象轉(zhuǎn)化得直觀而易于探究？這是我們數(shù)學(xué)解題研究一個努力的方向。

點析：此題難點在于題設(shè)信息怎么提取轉(zhuǎn)化，選項信息與題設(shè)信息之間的聯(lián)系是什么？根據(jù)題設(shè)信息已知函數(shù)f（x）的定義域，根據(jù)選項信息可選擇用換元法求f（x）的解析式，這一步驟是可操作的。但是篩選出正確選項的依據(jù)是什么？關(guān)注到題設(shè)信息“函數(shù)”，可追問求出來的關(guān)系式是“函數(shù)的表示形式”嗎？這一抽象思維過程是難點。因此此題的思維盲點在于我們想要了解的數(shù)學(xué)對象是什么，如果能確立數(shù)學(xué)對象為函數(shù)的解析式，結(jié)合對函數(shù)定義的考量，此題即破。

基于上述三個方面的教學(xué)實際需求，本文擬通過研究高中函數(shù)模塊中解題的教學(xué)實踐，歸納總結(jié)出以確立適切的數(shù)學(xué)對象是數(shù)學(xué)問題解構(gòu)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并以案例的形式確立數(shù)學(xué)對象來解題。

二、實踐嘗試

（一）基于函數(shù)模塊的數(shù)學(xué)對象的分類

1.理論基礎(chǔ)

（1）數(shù)學(xué)的語言功能

數(shù)學(xué)是具有獨特的符號系統(tǒng)和嚴謹?shù)谋磉_方式的一門語言。數(shù)學(xué)解題可以看成是運用數(shù)學(xué)語言進行數(shù)學(xué)閱讀、表達和交流的過程，也是培養(yǎng)學(xué)習(xí)者學(xué)會思考、學(xué)會邏輯思考、創(chuàng)造性思考，從而達成認識問題、解決問題的微實踐。

（2）數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)

認識數(shù)學(xué)問題的觀點越高，數(shù)學(xué)問題越簡單、樸素、自然，越透徹。高觀點的核心要素就是需要具備良好的知識結(jié)構(gòu)和廣泛的知識面，同時能夠用最樸素的思想去推動數(shù)學(xué)問題解決的整個思維過程。在函數(shù)模塊對運用函數(shù)的觀點和運動變化的觀點進行深度思考，抽象出適切的數(shù)學(xué)對象，以此數(shù)學(xué)對象為核心，通過數(shù)學(xué)運算與直觀想象及數(shù)據(jù)分析探尋數(shù)學(xué)對象與待求數(shù)學(xué)問題目標之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，進行精準的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理，達成解決問題的目的。

普高數(shù)學(xué)新課程標準提出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的六大核心素養(yǎng)：

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中可以很好地鍛煉學(xué)生抽象、建模、數(shù)據(jù)分析、運算等核心素養(yǎng)，不僅解決了數(shù)學(xué)問題，還“繁殖”出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“蘑菇群”。通過多年數(shù)學(xué)解題策略的研究，本人認為函數(shù)模塊中可以從題設(shè)中提取出問題解決的核心點——數(shù)學(xué)對象，并以此數(shù)學(xué)對象為核心探尋與問題目標的本質(zhì)聯(lián)系，以這樣一種最樸素的思想去思考，讓整個解題思維過程自然流暢。

2.分類設(shè)計

本文所指函數(shù)模塊數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)對象特指：方程、函數(shù)、不等式三類。因為代數(shù)問題探究的基本上是等量關(guān)系和不等關(guān)系，其中等量關(guān)系中需要能分析出解決該問題時需要把等量關(guān)系看成方程還是函數(shù)展開探究，但有時候不考慮所含字母的身份，只是看成等式就可以解決問題。

本案例擬從數(shù)學(xué)對象選擇入手，展開一題多解的處理方法；然后再改變數(shù)學(xué)對象的特質(zhì)，展開一題多變下不斷調(diào)整策略溝通數(shù)學(xué)對象與問題解決目標之間的聯(lián)系，從而達成優(yōu)化解決一類問題的解題方法。

三、后記

本文提出的以確立適切的數(shù)學(xué)對象入手開展解題，在本人多年教學(xué)中一直滲透著、實踐著，所帶的畢業(yè)班都能在高考中于同類班級中取得平均分第一，并能出現(xiàn)高分。現(xiàn)粗淺地總結(jié)出來分享給大家。希望能對教師的教學(xué)有所啟發(fā)，提高教學(xué)效益，并能幫助學(xué)生提高解題能力，增強解題信心，以收到事半功倍的效果。

參考文獻：

[1]張海燕.高中函數(shù)解題教學(xué)的研究[D].湖南師范大學(xué)，2012.

[2]陳鑫笑.高中函數(shù)學(xué)習(xí)障礙分析及教學(xué)對策研究[D].洛陽師范學(xué)院，2016.