摘 要:本文針對學(xué)生在《高等代數(shù)》課程學(xué)習(xí)過程中遇到的一類問題,即利用矩陣多項(xiàng)式為零去判定矩陣的特征值和特征值的重?cái)?shù)問題。首先利用已有的一些定理給出了特殊情形下的一個(gè)結(jié)論,然后利用三個(gè)逐漸增加條件的例子說明在判定過程中需要我們合理結(jié)合題目給出的每一個(gè)條件利用所學(xué)知識進(jìn)行解決。
關(guān)鍵詞:特征值;特征向量;矩陣
在《高等代數(shù)》課程的教學(xué)過程中,遇到了很多利用矩陣多項(xiàng)式為零的條件去推斷矩陣特征值的問題,看上去類似的題目確有不同的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)常無法分辨多項(xiàng)式的若干根中哪些是矩陣的特征值哪些不是,以及在確定了特征值之后如何確定其重?cái)?shù)。本文將針對這一問題給出自己的一些想法。首先我們給出一些已有的結(jié)論。
定理1 設(shè)A是n階方陣,λ是A的特征值,α是A屬于特征值λ的一個(gè)特征向量,f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式,則f(λ)是f(A)的特征值。
定理2 相似矩陣具有相同的特征值多項(xiàng)式。
定理3 實(shí)對稱矩陣的k重特征值恰好有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量。
由定理1可得下面推論:
推論 設(shè)A是n階方陣,λ是A的特征值,α是A屬于特征值λ的一個(gè)特征向量,f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式,若f(A)=O,則f(λ)=0。
由上述推論得到下面非常重要的結(jié)論:
結(jié)論1 對于n階方陣A而言,如果f(A)=O,那么A的所有特征值一定是多項(xiàng)式f(x)的根。
此結(jié)論告訴我們矩陣的特征值一定為多項(xiàng)式的根,但沒有告訴我們哪些根是矩陣的特征值,而這一點(diǎn)正是令很多同學(xué)困惑的地方。針對這類問題我們利用具體例子來解釋。
例1 設(shè)方陣A滿足A2=A,證明A的特征值只能是1或0。
分析 這道題目的答案是結(jié)論的直接結(jié)果,但無法確定A的具體特征值是1還是0。
例2 若矩陣A滿足A2=O,則A的特征值為0。
分析 由于方程x2=0只有唯一的實(shí)根0,而A的特征值一定是該方程的根,所以得到A的特征值為0。
由例2結(jié)合結(jié)論1,可以得到下面的結(jié)論:
結(jié)論2 對于滿足f(A)=O的n階方陣A而言,如果多項(xiàng)式f(x)有唯一的根,則此根必為矩陣的唯一特征值。
結(jié)論2解決了一種簡單情況,也就是當(dāng)f(A)=O,多項(xiàng)式f(x)有唯一根的情況。但絕大多數(shù)的題目都比例2要復(fù)雜。下面我們再看其他一些情況。
例3 設(shè)A為3階非零矩陣,且滿足A2=A,證明:1一定為A的特征值。
解 由結(jié)論1可得,A的特征值為0或1。變形A2=A,得A(A-E)=O。由于R(A)+R(A-E)≤3,且A為非零矩陣,即R(A)≥1,于是R(A-E)≤2,從而|A-E|=0,得1一定為A的特征值。而0是否為A的特征值無法確定。
例4 設(shè)A是3階實(shí)矩陣,且R(A)=2,若A2=A,證明:0和1均為A的特征值,并判定其重?cái)?shù)。
解 由結(jié)論1可得,A的特征值為0或1。由已知條件R(A)=2,再結(jié)合例3解題過程得|A|=0,且R(A-E)≤1,也即|A-E|=0,從而得到0和1均為A的特征值,且為A的所有特征值。由于A為3階方陣,所以0和1中有一個(gè)特征值為二重特征值。下面我們來確定哪個(gè)特征值為二重特征值。如果R(A-E)=0,則A=E,與R(A)=2矛盾,因此R(A-E)=1。這說明矩陣A對應(yīng)于特征值1有兩個(gè)無關(guān)的特征向量,從而A可以對角化。由定理2得1為A的二重特征值。
例5 設(shè)A是3階實(shí)對稱矩陣,R(A)=2,若A2=A,證明:0和1均為A的特征值,并判定其重?cái)?shù)。
解 由例4的證明過程得到0和1均為A的特征值,且為A的所有特征值。在判定哪個(gè)特征值為A的二重特征值時(shí),可利用定理3得到1為二重特征值。
通過例1,3,4,5個(gè)例子的條件,我們可以看到題目給定條件越來越多,從判定結(jié)果來看,判定效果越來越好,所用知識越來越多。比較例1和例3,我們發(fā)現(xiàn)適當(dāng)增加條件會(huì)影響特征值的確定;比較例3和例4可以看出,特征矩陣的秩在確定具體特征值和特征值的重?cái)?shù)時(shí)會(huì)起到關(guān)鍵作用;比較例4和例5,我們看到實(shí)對稱矩陣相對于一般的實(shí)矩陣,在判定特征值的重?cái)?shù)時(shí)會(huì)比較方便,主要原因是實(shí)對稱矩陣的性質(zhì)比較好。綜上,對于本文要討論的問題,沒有統(tǒng)一的格式去判定每道題目的答案,具體問題具體對待。對于學(xué)生而言,如果想清晰利用f(A)=O來確定矩陣A的特征值及其重?cái)?shù),就要結(jié)合題目給的具體條件逐條檢查是否可以縮小判定的范圍,而這些有一個(gè)基本要求就是具有比較扎實(shí)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ),對于所學(xué)的知識能夠靈活運(yùn)用。
參考文獻(xiàn):
[1]劉麗.高等代數(shù)[M].成都:西南財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社,2014.
[2]蔣永泉.高等代數(shù)[M].鎮(zhèn)江:江蘇大學(xué)出版社,2013.
[3]白鳳蘭.高等代數(shù)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2012.
作者簡介:
劉紅麗,浙江省杭州市,浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院。