從空間解析幾何中窺探高等數(shù)學(xué)教學(xué)

田東霞

【摘要】在高等數(shù)學(xué)中，空間解析幾何作為其中重要的內(nèi)容，同時(shí)也屬于高等數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的一門課程，主要是連接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)之間的橋梁，因此，在實(shí)踐教學(xué)中，教師需要做好設(shè)計(jì)工作，幫助學(xué)生掌握空間解析幾何基本知識(shí).下文結(jié)合具體案例做出詳細(xì)分析，希望能夠?qū)處煹慕虒W(xué)工作提供一定的參考價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】空間解析幾何；窺探；高等數(shù)學(xué)；教學(xué)

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，教師需要結(jié)合初等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)有效幫助學(xué)生過渡至高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，其中空間解析幾何的相關(guān)知識(shí)作為基礎(chǔ)性的知識(shí)，教師在教學(xué)過程中需要結(jié)合現(xiàn)代化的教學(xué)方式、教學(xué)手段以及教學(xué)技術(shù)從而有效提升高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量[1].在下文中主要結(jié)合高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)來分析空間解析幾何具體的教學(xué)情況，使得學(xué)生可以在計(jì)算機(jī)相關(guān)運(yùn)用軟件的輔助下，完成繪制空間圖形以及驗(yàn)證的任務(wù)，從而更加系統(tǒng)地掌握空間解析幾何的知識(shí).

一、結(jié)合軌跡方程分析空間解析幾何的教學(xué)情況

由于空間解析幾何的相關(guān)知識(shí)具有一定的抽象性，在學(xué)習(xí)的過程中需要學(xué)生掌握一定的空間思維能力以及技巧，同時(shí)在實(shí)際教學(xué)中也是需要教師重點(diǎn)引導(dǎo)的地方[2].其中將軌跡方程相關(guān)知識(shí)運(yùn)用在其中就是一個(gè)良好的方式，可以逐漸將較為抽象的知識(shí)轉(zhuǎn)為具體的知識(shí)，有效實(shí)現(xiàn)空間解析幾何知識(shí)的創(chuàng)新目標(biāo).

（一）采用空間向量方式進(jìn)行教學(xué)

在實(shí)踐教學(xué)過程中，教師可以借助于Matlab的軟件而完成計(jì)算以及輸入的工作，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)繪制圖形的目標(biāo)，能夠簡化空間幾何的知識(shí)難度.如下的內(nèi)容針對(duì)的是兩個(gè)非零的矢量進(jìn)行分析，即相關(guān)的繪制的具體過程：

結(jié)合上面的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算就可以得出結(jié)果.

（二）結(jié)合空間共線的知識(shí)點(diǎn)實(shí)施軌跡計(jì)算

在空間中，三點(diǎn)共線的知識(shí)點(diǎn)可以有效進(jìn)行軌跡計(jì)算，參照如下的命題進(jìn)行計(jì)算.例如，兩個(gè)矢量需要實(shí)現(xiàn)共線，其需要充要條件是兩個(gè)向量（即a與b）許多共線，其充要條件表達(dá)為a×b=0，結(jié)合這一條件就可以幫助判斷空間中所存在的三個(gè)不同點(diǎn)，即P和R能否共線，此時(shí)就可以結(jié)合計(jì)算軟件而完成相關(guān)判斷函數(shù)的編寫.第一步，需要將P和R這三個(gè)點(diǎn)共線情況逐漸轉(zhuǎn)化為具體的空間矢量，即PQ和PR能夠共線，然后結(jié)合數(shù)學(xué)命題中的相關(guān)知識(shí)可知，其空間中的三個(gè)點(diǎn)，即P和R能夠共線所需要達(dá)到的充要條件，即PQ×PR=0，然后參照此條件就可以編寫對(duì)應(yīng)的函數(shù)，如下所示：

結(jié)合上述所定義的函數(shù)可知，結(jié)合數(shù)學(xué)軟件就可以把中間變量中的v1和v2進(jìn)行局部化，通過if函數(shù)就可以計(jì)算出表達(dá)式中p1、p2和p3而完成空間范圍中所出現(xiàn)的三點(diǎn)坐標(biāo)，從而可以構(gòu)建出良好的空間幾何計(jì)算圖形，同時(shí)使得空間幾何可以形象化的展示在學(xué)生面前.

（三）結(jié)合平面和空間中的直線完成軌跡計(jì)算

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中，教師通過設(shè)計(jì)一些在空間中具有一定代表性位置之間的關(guān)系而實(shí)施計(jì)算.設(shè)定兩條直線L1和L2，可以得到如下的等式：

在教學(xué)過程中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手畫出上述表達(dá)的兩條直線，即上述式子中的（1）和（2），然后通過相關(guān)的軟件而將plot和hold on而指向的命令完成畫圖，所以，在這一過程中就可以借助于軟件協(xié)助而完成坐標(biāo)定位，在完成畫圖之后，就可以十分清晰掌握具體直線之間的位置關(guān)系，同時(shí)也可以幫助學(xué)生十分容易找到具體交點(diǎn)的坐標(biāo).結(jié)合上述的問題中的兩條直線，即L1，L2的具體位置，同時(shí)在圖上還可以反映出二者之間的關(guān)系，見如下圖1：

再如，在直線和平面之間的位置關(guān)系中，教師在教學(xué)方面就可以通過對(duì)直線L3和平面中的π1位置關(guān)系進(jìn)行判斷，如下式：

在實(shí)際的繪圖過程中，仍然可以采用軟件輔助畫圖，從而可以使學(xué)生能夠掌握直線L3和平面中的π1之間處于空間狀態(tài)下的具體位置關(guān)系，并且非常容易在圖形中找出具體的交點(diǎn)坐標(biāo).詳細(xì)情況見下圖2：

二、設(shè)計(jì)課后輔導(dǎo)

為了能夠進(jìn)一步提升空間解析幾何的教學(xué)效果，教師在完成相關(guān)的教學(xué)任務(wù)之后還需要設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的課后輔導(dǎo)習(xí)題，幫助學(xué)生有效鞏固所學(xué)到的新知識(shí).

（一）根據(jù)教學(xué)實(shí)踐而合理設(shè)計(jì)課后作業(yè)

教師設(shè)計(jì)課后作業(yè)的目的，第一是有目的地幫助學(xué)生掌握所學(xué)到的知識(shí)，進(jìn)而提升學(xué)生掌握空間解析幾何相關(guān)知識(shí)的能力，第二是通過課后習(xí)題讓學(xué)生能夠鞏固所學(xué)到的新知識(shí)點(diǎn)，為學(xué)生進(jìn)入深層次的知識(shí)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).因此，教師需要合理地設(shè)計(jì)課后作業(yè)，尤其是針對(duì)與空間解析幾何相結(jié)合的相關(guān)知識(shí)，由于這些知識(shí)自身具有一定的復(fù)雜性，同時(shí)還要求學(xué)生具有良好的空間思維能力，才能夠有效掌握解答相關(guān)知識(shí)的方法，而且學(xué)生通過掌握相關(guān)的計(jì)算方法，也可以在完成練習(xí)題的過程中得到良好的鞏固.除此之外，由于教師在課堂中采用相關(guān)的教學(xué)軟件輔助教學(xué)，能夠?qū)⒖臻g解析幾何知識(shí)形象化地展示出來，教師設(shè)計(jì)練習(xí)題的過程中就需要做好評(píng)估工作，防止課后練習(xí)題太難，影響學(xué)生解答問題的積極性，同時(shí)還會(huì)打擊學(xué)生對(duì)空間解析幾何相關(guān)知識(shí)學(xué)習(xí)的信心.如果教師設(shè)計(jì)的練習(xí)題太簡單，達(dá)不到鞏固知識(shí)的目的，并且也不利于學(xué)生掌握空間解析幾何的知識(shí).結(jié)合實(shí)踐教學(xué)可知，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)題的過程中，還需要兼顧精簡以及全面性，練習(xí)題并不是越多越好，教師需要精心挑選一些具有代表性的題目，例如，包含的知識(shí)點(diǎn)比較全面，可以和課堂中的內(nèi)容緊密結(jié)合，達(dá)到幫助學(xué)生鞏固知識(shí)的目的.教師在講解練習(xí)題的過程中還需要引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，例如，梳理之前所學(xué)習(xí)的知識(shí)，同時(shí)總結(jié)解答題目的思路以及規(guī)律等，讓學(xué)生在解決練習(xí)題的過程中能夠靈活選擇解答問題的方法，進(jìn)而提升學(xué)生解答問題的綜合能力[3].

（二）練習(xí)題目分析

例如，上文講解關(guān)于直線與平面之間的位置關(guān)系，教師在選擇課后練習(xí)題堅(jiān)持從簡單開始，然后逐漸增加難度，即設(shè)計(jì)的第一個(gè)練習(xí)題可以從直線與直線之間的關(guān)系分析入手，然后再設(shè)計(jì)直線與平面之間的關(guān)系練習(xí)題，最后則可以設(shè)計(jì)一些具有提升或者是拔高作用的題目.當(dāng)學(xué)生完成練習(xí)題之后，教師需要在下次課堂中進(jìn)行集中講解，尤其是針對(duì)學(xué)生在解答題的過程中所出現(xiàn)的誤區(qū)重點(diǎn)分析.如分析空間中的兩個(gè)平面之間的關(guān)系之后，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生采用此方法繼續(xù)分析空間中的三個(gè)平面，然后討論平面具體的位置情況，最后教師再引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解答此類問題的規(guī)律以及方法，便于學(xué)生今后遇到類似問題可以盡快找到解題的思路以及方法，進(jìn)而提升學(xué)生解答問題的綜合能力.除此之外，教師在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，可以指導(dǎo)學(xué)生積極尋找一題多解的方法，即能夠針對(duì)同一個(gè)問題從不同的角度分析，進(jìn)而找到新的解答問題方法，這可以有效提升學(xué)生掌握知識(shí)以及運(yùn)用知識(shí)的能力，而且在對(duì)積極培育學(xué)生的獨(dú)立思考能力方面也有重要意義.

在今后的實(shí)踐教學(xué)中，教師在處理空間解析幾何的知識(shí)過程中，第一，可以采用現(xiàn)代化的教學(xué)軟件輔助教學(xué)，有效地將抽象化的知識(shí)轉(zhuǎn)化為形象化的知識(shí)，便于學(xué)生理解；第二，在課堂中做好引導(dǎo)工作，由于空間解析幾何知識(shí)具有一定的難度，而且對(duì)學(xué)生的思維要求也比較高，在課堂中教師就需要積極引導(dǎo)學(xué)生從簡單的問題分析入手，然后逐漸深入分析較難的問題，一方面，可以提升學(xué)生對(duì)空間解析幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的積極性，另一方面，也能夠促使學(xué)生掌握相關(guān)的知識(shí)；第三，做好課后練習(xí)題的設(shè)計(jì)以及講解工作，達(dá)到鞏固、提升空間解析幾何教學(xué)的目的.

三、結(jié)束語

由于空間解析幾何所涉及的知識(shí)以及內(nèi)容比較多，同時(shí)還具有一定的復(fù)雜性，因此，教師在實(shí)踐教學(xué)過程中需要從基本的教學(xué)方法創(chuàng)新入手，有效培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力，進(jìn)而促使學(xué)生能夠在空間解析幾何與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的過程中提升學(xué)生掌握知識(shí)的綜合能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]史雪榮.空間解析幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力[J].林區(qū)教學(xué)，2015（7）：71-72.

[2]童艷春，李紅杰.空間解析幾何課程教學(xué)的思考和探索[J].許昌學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（5）：136-139.

[3]王雪麗.關(guān)于《空間解析幾何》課堂教學(xué)設(shè)計(jì)探究[J].科技資訊，2015（36）：234+236.