關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)研究

魏妙

【摘要】簡(jiǎn)明敘述了無(wú)窮級(jí)數(shù)的發(fā)展歷史，據(jù)此對(duì)其歷史發(fā)展進(jìn)行重構(gòu)，并進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).教學(xué)實(shí)踐表明無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果有很大幫助.大多數(shù)學(xué)生愿意接受數(shù)學(xué)歷史引入課堂的教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】無(wú)窮級(jí)數(shù)；發(fā)展史；發(fā)生教學(xué)法；斂散性

一、引 言

無(wú)窮級(jí)數(shù)是微積分教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，為后續(xù)研究學(xué)習(xí)提供了有力的工具.而現(xiàn)行的教材舍棄了無(wú)窮級(jí)數(shù)的歷史背景及其在歷史中的演化過(guò)程，學(xué)生僅憑教材中的內(nèi)容，難以深刻理解概念，與其他知識(shí)的聯(lián)系也知之甚少.M·克萊因說(shuō)過(guò)，歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的困難，今天的學(xué)生也同樣會(huì)遇到[1]，以下在研究無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)展歷史的基礎(chǔ)上，重新對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的內(nèi)容進(jìn)行整合，探索符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)設(shè)計(jì).

二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的歷史及其重構(gòu)

無(wú)窮級(jí)數(shù)的歷史可以上溯到遙遠(yuǎn)的古希臘時(shí)代.公元前5世紀(jì)哲學(xué)家芝諾提出了一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)的不可分性的哲學(xué)悖論，如著名的阿喀琉斯追龜問(wèn)題、二分法問(wèn)題.芝諾悖論所帶來(lái)的困惑說(shuō)明，希臘的哲學(xué)家們無(wú)法將無(wú)窮多個(gè)線段之和與有限長(zhǎng)度的線段聯(lián)系起來(lái).亞里士多德認(rèn)識(shí)到公比小于1的幾何級(jí)數(shù)有和[2].阿基米德在求拋物線弓形面積時(shí)利用雙歸謬法證明了幾何級(jí)數(shù)[3]

中國(guó)古代的《莊子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，萬(wàn)世不竭”也蘊(yùn)含無(wú)限項(xiàng)相加的思想，用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)也是無(wú)窮級(jí)數(shù).中世紀(jì)法國(guó)學(xué)者奧雷姆，對(duì)幾何級(jí)數(shù)和調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行了研究討論，為十七世紀(jì)關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)和無(wú)限過(guò)程的重要工作開辟了道路.

17到18世紀(jì)數(shù)學(xué)家大量的使用了無(wú)窮級(jí)數(shù)，主要有以下幾方面.首先，無(wú)窮級(jí)數(shù)被用來(lái)表示函數(shù)和超越函數(shù).牛頓在1666年得到了arcsinx的級(jí)數(shù)，并進(jìn)一步得到了arctanx的級(jí)數(shù).在1669年的《分析學(xué)》中，給出了sinx，cosx等函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式.萊布尼茨也在1673年左右獨(dú)立的得到了sinx，cosx，arctanx的級(jí)數(shù)形式.其次，無(wú)窮級(jí)數(shù)被用來(lái)表示一些特殊量如π，e.牛頓、萊布尼茨、格雷戈里、歐拉等數(shù)學(xué)家對(duì)級(jí)數(shù)的興趣很大一部分來(lái)自對(duì)特殊量的表示[2].如，萊布尼茨在1674年得到

此外，為適應(yīng)航海、天文學(xué)和地理學(xué)的發(fā)展，三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)都需要展開為精度較大的展開式.值得注意的是這一時(shí)期的數(shù)學(xué)家們注意到了無(wú)窮級(jí)數(shù)在表示函數(shù)、理論證明、數(shù)值計(jì)算中有巨大的作用.但他們只是注意了級(jí)數(shù)的應(yīng)用而忽略了級(jí)數(shù)使用的前提即級(jí)數(shù)的斂散性.

十九世紀(jì)初期法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉給出一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的正確定義.德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯首次對(duì)收斂性進(jìn)行了極為嚴(yán)密的研究，給出了高斯判別法，高斯的研究使無(wú)窮級(jí)數(shù)理論進(jìn)入了現(xiàn)代時(shí)期.法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西被看作是無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性理論的創(chuàng)立者.1821年《分析教程》中首次給出清晰的極限概念而且給出了判別無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂發(fā)散的一些常用方法，如根式判別法、對(duì)數(shù)判別法[2].后來(lái)由魏爾斯特拉斯提出的一致收斂完成了整個(gè)級(jí)數(shù)理論的構(gòu)建.

根據(jù)上面的歷史考查，無(wú)窮級(jí)數(shù)的歷史大致可以分成萌芽、形成、確立三個(gè)階段.數(shù)學(xué)家在無(wú)窮級(jí)數(shù)的發(fā)展的初期無(wú)法將有限項(xiàng)相加和無(wú)限項(xiàng)相加的概念區(qū)分開，在早期使用無(wú)窮級(jí)數(shù)時(shí)基本沒有注意到收斂區(qū)間的判斷，而從早期使用無(wú)窮級(jí)數(shù)到無(wú)窮級(jí)數(shù)極限概念的建立更是經(jīng)歷了幾個(gè)世紀(jì)的漫長(zhǎng)時(shí)間.

三、無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計(jì)

我們現(xiàn)用的微積分教材往往直接給出確定的定義和判別方法.盡管這樣的處理方式相當(dāng)簡(jiǎn)潔，但對(duì)照發(fā)生教學(xué)方法，它存在如下不足：（1）學(xué)生難以一下子完成從有限項(xiàng)相加到無(wú)限項(xiàng)相加的過(guò)渡；（2）學(xué)生對(duì)判別斂散性的必要性認(rèn)識(shí)不深刻.因此，為了適合于教學(xué)，讓學(xué)生完成從有限到無(wú)限的過(guò)渡，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到判別斂散性的重要性，需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu).并基于重構(gòu)的無(wú)窮級(jí)數(shù)歷史，設(shè)計(jì)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的教學(xué).用下圖表示無(wú)窮級(jí)數(shù)的歷史及其重構(gòu).

四、問(wèn)卷調(diào)查及反思

為檢驗(yàn)以上無(wú)窮級(jí)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，對(duì)我校16級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)兩個(gè)班進(jìn)行了課堂教學(xué)并進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，共收回問(wèn)卷80份.被調(diào)查學(xué)生均使用華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材，并已完成了一元函數(shù)微積分部分的學(xué)習(xí).本節(jié)課采用了多媒體進(jìn)行教學(xué).通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查發(fā)現(xiàn)絕大部分學(xué)生十分認(rèn)可本教學(xué)方式：學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)積極，對(duì)所學(xué)內(nèi)容表現(xiàn)出濃厚的興趣，有98%的學(xué)生表示完全或基本聽懂了課堂內(nèi)容；100%的學(xué)生認(rèn)為從歷史發(fā)展講數(shù)學(xué)有助于理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，并希望以后有類似的教學(xué)方法.

五、總 結(jié)

回顧無(wú)窮級(jí)數(shù)的發(fā)展歷史，無(wú)窮級(jí)數(shù)從萌芽到確立經(jīng)歷了兩千多年的時(shí)間，直到19世紀(jì)在柯西等數(shù)學(xué)家的努力下才建立了嚴(yán)密的級(jí)數(shù)理論.本文給出的無(wú)窮級(jí)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)呈現(xiàn)了無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的發(fā)展過(guò)程，關(guān)注了學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).通過(guò)調(diào)查問(wèn)卷發(fā)現(xiàn)此無(wú)窮級(jí)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)產(chǎn)生了理想的教學(xué)效果.對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容有很大的幫助.

【參考文獻(xiàn)】

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