新視域下“余弦定理”的教學(xué)設(shè)計與反思

陳小勇

【摘要】本文介紹高中代數(shù)“余弦定理”的教學(xué)設(shè)計與教學(xué)反思，旨在指導(dǎo)教師的教和學(xué)生的學(xué).

【關(guān)鍵詞】余弦定理；教學(xué)目標(biāo)；教學(xué)重難點(diǎn)；教學(xué)過程

一、教學(xué)目標(biāo)

認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并推證余弦定理，且能簡單運(yùn)用余弦定理解三角形.

能力目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和觀察與思維能力，利用數(shù)形結(jié)合將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.

情感目標(biāo)：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等、和諧的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生之間、師生之間的交流與合作，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，從而培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和勇于創(chuàng)新的精神.

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：探究和證明余弦定理的過程；理解和掌握余弦定理的內(nèi)容；初步對余弦定理進(jìn)行應(yīng)用.

難點(diǎn)：理解勾股定理和余弦定理之間的特殊關(guān)系，并以直角三角形為突破口證明余弦定理；對余弦定理的熟練應(yīng)用.

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

師：正弦定理的內(nèi)容是什么？你能用這個定理解決哪些類型的問題？

（學(xué)生回答，教師板書）

師：如圖1所示，某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度.技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肅，量出C到山腳A，B的距離，再利用經(jīng)緯儀測出角C的度數(shù)，那么你能算出BC的長度嗎？

生：如果∠C=90°用勾股定理就可以算出.

師：對，∠C=90°時，可以算出AB的長度，那么∠C≠90°時，AB的長度是不是應(yīng)該是固定的？

生：AB的長度是固定的，因?yàn)閮蛇吋皟蛇叺膴A角確定了，這個三角形就確定了，所以AB應(yīng)該是唯一確定的.

師：在△ABC中，當(dāng)∠C=90°時，有c2=a2+b2.若a，b不變，∠C的大小變化時，c2與a2+b2的大小關(guān)系如何呢？

教師鼓勵學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學(xué)生解決問題，學(xué)生回答，借助于多媒體動畫演示結(jié)果.

如圖2所示，若∠C<90°時，AC與BC的長度不變時，AB的長度明顯變短，有c2

如圖3所示，當(dāng)∠C>90°時，AC與BC的長度不變時，AB的長度變長，有c2>a2+b2.

學(xué)生得到結(jié)論：當(dāng)∠C≠90°時，c2≠a2+b2.

師：我們已經(jīng)知道，當(dāng)∠C≠90°時，c2≠a2+b2.那么c2與a2+b2到底有什么等量關(guān)系呢？請同學(xué)們繼續(xù)探究.

教師引導(dǎo)學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)，教師也參與各個小組討論，拿出其中兩個小組比較，將比較好的證明和同學(xué)一起分享，并讓學(xué)生代表上講臺講解.

生1：在△ABC中，a，b的長度不變，∠C的大小變化，我就把C點(diǎn)放在坐標(biāo)原點(diǎn)，AC放在坐標(biāo)軸的正半軸上，這樣A點(diǎn)坐標(biāo)就是（b，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（acosC，asinC），這樣可以利用兩點(diǎn)間的距離公式算出AB的長度，過程是：

從以上分析過程，我們對c2=a2+b2-2abcosC有更清醒的認(rèn)識，勾股定理是余弦定理的特殊情況，在推出余弦定理中我們就是利用直角三角形到斜三角形的一般到特殊的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的方法.

四、教學(xué)反思

1.本課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程.

2.余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角入手，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識過程，運(yùn)用了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

3.余弦定理表述了三角形的邊與角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例.用這個定理可以解決“已知三角形的兩邊及夾角求第三邊”和“已知三角形的三邊求內(nèi)角”的兩類問題.