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    一類有理函數(shù)的中性周期點(diǎn)鄰近的動力學(xué)性質(zhì)

    2017-01-17 19:47:40鐵勇
    商情 2016年45期
    關(guān)鍵詞:共形有理共軛

    鐵勇

    有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)的內(nèi)容是復(fù)分析動力系統(tǒng)中一個重要的研究內(nèi)容。該文通過分析有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的三個不同的性質(zhì),給出了詳細(xì)的證明方法,這對研究和推廣有理函數(shù)的周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的性質(zhì)提供了一定的理論和證明依據(jù)。

    有理函數(shù)中性周期點(diǎn)動力學(xué)性質(zhì)

    1引言

    有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)作為復(fù)分析動力學(xué)中的重要內(nèi)容,對研究其鄰近的結(jié)構(gòu)性質(zhì)有一定的理論意義。而有關(guān)有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)的的不同性質(zhì)一直是復(fù)分析研究的重點(diǎn)問題。但是關(guān)于性質(zhì)的研究及推廣是一個值得研究的焦點(diǎn)。本文通過分析有理函數(shù)的有理中性周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的三個不同的性質(zhì),給出了詳細(xì)的證明方法,這對研究和推廣有理函數(shù)的周期點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)的性質(zhì)提供了一定的理論和證明依據(jù),也為復(fù)分析動力學(xué)的周期性問題的深入探討起到了很好的促進(jìn)作用。

    2有理函數(shù)的中性周期點(diǎn)鄰近的性質(zhì)

    性質(zhì)1:對于degR≥2的有理函數(shù)R的有理中性周期軌道包含于J(R)。

    證明:設(shè)ξ1,…,ξp為R的有理中性周期軌道,則對于ξ∈ξ1,…,ξp,有Rpξ=ξ且Rp'ξ是1的某次(設(shè)為K次)根,不妨設(shè)ξ=0,則Rpz=az+bzr+…,(b≠0,r為≥2的某一自然數(shù)),令Sz=Rpkz,則S(z)=akz+o(z2),S(0)=z+czq+…(c≠0,q為≥2的某一自然數(shù)),再次由歸納法得(Sn(z))q(0)=nc·q!→∞,ξ=0∈J(R).

    性質(zhì)2 :ⅰgππ; ⅱRegnz→∞n→∞,z∈w;ⅲg:π→∏共形共軛于一個平移變換。

    分析論證:設(shè)w=x+iygw=u+iv, Aw+θw=a+bi,對于w∈π,有w>κ, u=x+p+a, v=y+b,進(jìn)而有 v2-4κκ-μ≥4κp-4κp+4κa,又由于2by+4κa≤6w·a+bi=6x2+y2·a2+b2≤6A+B<2κ<4κp,即gππ成立。

    證明ⅱ:令 π0=σ-1π,由此可見fπ0π,以下只須說明對充分小的t,σ-1t就是花瓣,設(shè)z=Yeiθz∈S,1zθ=σz=w=ρeiφw∈W,從而有ρ=1rp,φ=-ρθ,由極坐標(biāo)有π=ρeiφ:2κ<ρ1+cosφ,進(jìn)而有π0=σ-1πρeiθ:2κ<1rp1+cosρθ=reiθ:rp<12κ1+cosρθ,其中,t=12κ。

    由上述證明的(i)和(iii)可得到g:π→∏共形共軛于一個平移變換。

    性質(zhì)3:若R是degR≥2的有理函數(shù),F(xiàn)0是F關(guān)于R的完全不變分支,則F0既是單連通,又是無限連通的。

    證明:設(shè)F0的余集D∞-F0有C個分支E1,…Ec,其中,1≤C≤+∞,且D∞-F0=∪Cj=1Ej,由F0是F關(guān)于R的完全不變分支,可推知∪Cj=1Ej為R的完全不變集,因此,存在充分大的自然數(shù)m,使得每一個Ej是Rm下的完全不變集,又因?yàn)镴(R)=∪Cj=1Ej,且J(R)有無限個點(diǎn);因此,存在j*∈{1,2,…,C},使得Ej*有無限個點(diǎn),再由J(Rm)的極小性可得到J(Rm)Ej*,而J(Rm)=J(R),另一方面,顯然有Ej*J(Rm),因此可得到Ej*=J(Rm),又可知每個Ej與J(R)都是相交的;故D∞-F0只有一個分支E1,因此,F(xiàn)0是單連通的。參考文獻(xiàn):

    [1]阿姆斯特朗.基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)[M].北京:人民郵電出版社,2010.132-133.

    [2]呂以輦.復(fù)解析動力系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社,1997.71-72.

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