P波作用下飽和土中深埋圓形復(fù)合式襯砌隧道動應(yīng)力響應(yīng)研究

丁海濱， 徐長節(jié)，2， 童立紅＊， 楊園野， 郭生根

（1．華東交通大學(xué)，江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南昌330013；2．浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，杭州310058；3．江西省港航管理局，南昌330000）

1 引 言

近年來地下結(jié)構(gòu)在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，但地下隧道及各類管道等會受到彈性波作用（如地震波），使地下結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題日益受到重視。因此通過波動力學(xué)理論研究飽和土中圓形襯砌動應(yīng)力集中問題，對理論研究及實(shí)際工程中地下結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計具有重要的指導(dǎo)意義。

Pao等［1］首次采用波函數(shù)展開法研究了彈性波入射下全空間中圓形洞室的動應(yīng)力集中問題；Lee等［2－4］通過引入大圓弧假定，采用復(fù)變函數(shù)的方法，研究了半空間中圓形洞室對平面SH波、P波及SV波散射的解析解；Lin等［5］將漢克函數(shù)表達(dá)成積分形式，并將其轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系，利用零應(yīng)力邊界條件求解了半空間中圓形襯砌對入射P波及SV波散射的解析解；Xu等［6，7］通過半圓弧假定，求解出彈性介質(zhì)中P波入射下圓形襯砌動應(yīng)力集中問題的解析解，并著重分析了影響動應(yīng)力集中的因素；Yi等［8］求解了巖石介質(zhì)中圓形襯砌在P波入射下動應(yīng)力集中因子的解析解，并從巖石剛度大于及小于襯砌剛度兩方面分析了動應(yīng)力集中系數(shù)的變化規(guī)律；李偉華等［9，10］基于Biot理論，采用Laplace變換和波函數(shù)展開法，首次求解了飽和土中圓柱形洞室對平面P波散射的解析解；周香蓮等［11］采用復(fù)變函數(shù)方法，研究了圓柱形襯砌結(jié)構(gòu)對全空間中穩(wěn)態(tài)入射波散射問題的數(shù)值解；丁光亞等［12］引入飽和土與柱形殼體交界面的半透水邊界條件，得出柱形殼體對平面P波的級數(shù)解答。

常見的鐵路隧道和水工隧道等多為初期支護(hù)結(jié)合二次襯砌的復(fù)合式襯砌結(jié)構(gòu)，目前針對圓形雙層襯砌洞室動應(yīng)力集中問題研究較少。王長柏等［13］采用波函數(shù)展開法，推導(dǎo)出無限彈性介質(zhì)中雙層圓柱形襯砌在P波作用下衍射問題的解析解；鐘啟凱［14］得出無限彈性空間中圓形雙層襯砌在平面SH波、P波和SV波作用下動力響應(yīng)的解析解；王帥帥等［15－17］采用波函數(shù)展開法、傅里葉變化和振動臺實(shí)驗(yàn)等方法，研究了全空間及半空間彈性介質(zhì)中雙層和含減振層襯砌的動應(yīng)力集中系數(shù)問題。

以往對復(fù)合式襯砌動應(yīng)力集中問題的研究主要集中在彈性空間中，而飽和土中復(fù)合式襯砌動應(yīng)力響應(yīng)問題未見有相關(guān)報道。本文運(yùn)用波函數(shù)展開法，得出入射P波作用下飽和土中深埋圓形復(fù)合式襯砌隧道動應(yīng)力集中問題的解析解。

2 計算模型及入射波場

如圖1所示，將深埋長距離復(fù)合式圓柱形襯砌計算模型簡化為平面問題，襯砌1外半徑為R1，內(nèi)半徑（襯砌2外半徑）為R2，襯砌2內(nèi)半徑為R3，襯砌1外為飽和土。

假設(shè)平面P波沿x正方向傳播至襯砌外邊界，則入射波勢函數(shù)在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為［1］

式中 Jn（·）為第一類n階Bessel函數(shù)，φ0為入射P波的幅值，k1為入射波波數(shù)，ω為入射波頻率。當(dāng)n＝0時，εn＝1；當(dāng)n≥1時，εn＝2。

3 飽和土及襯砌內(nèi)波場

P波傳播至襯砌邊界時，將在襯砌界面上產(chǎn)生散射的P1波、P2波和SV波及折射入襯砌2內(nèi)的P波和SV波，介質(zhì)中波場表達(dá)式如下。

飽和土土骨架中散射波場為

式中φs1a，φs1b和Ψs1分別為飽和土土骨架中散射P1波、P2波和SV波，An，Bn和Cn為待定系數(shù)，k1和k2分別為飽和土中P1波和P2波的波數(shù)，k3為飽和土SV波的波數(shù)，Hn（1）（·）為第一類n階漢克爾函數(shù)。

式中 ρ＝（1－n0）ρs＋ρf為飽和土平均密度，ρs為土顆粒密度，ρf為流體密度，n0為孔隙率，η為空隙間流體的粘滯系數(shù)，k為滲透系數(shù)，ω為入射波圓頻率，λc＝λ＋α2M，λ為飽和土中的拉梅常數(shù)，α和M為Biot參數(shù)。

圖1 計算模型簡圖Fig．1 Sketch of computational model

飽和土土骨架中的總波場可表示為

流體部分勢函數(shù)表達(dá)式為

襯砌1中波場的表達(dá)式為

襯砌2中波場的表達(dá)式為

式中Φsd1和Ψsd1為襯砌1中P波和SV波的勢函數(shù)，Φsd2和Ψsd2為襯砌2中P波和SV波的勢函數(shù)，Dn1，Dn2，En1，En2，F(xiàn)n1，F(xiàn)n2，Gn1和 Gn2為待定系數(shù)，kα1和kβ1分別為襯砌1中P波和SV波的波數(shù)，k2α1＝ω2ρsd1／（λ1＋2μ1），k2β1＝ω2ρsd1／μ1，λ1和μ1為襯砌1的拉梅常數(shù)，ρsd1為襯砌1的密度，kα2和kβ2分別為襯砌2中P波和SV波的波數(shù)，k2α2＝ω2ρsd2／（λ2＋2μ2），k2β2＝ω2ρsd2／μ2，λ2和μ2為襯砌2的拉梅常數(shù)，ρsd2為襯砌2的密度，H（2）n（·）為第二類n階漢克爾函數(shù)。

4 邊界條件及待定系數(shù)求解

在柱坐標(biāo)系下，飽和土及襯砌的位移、應(yīng)力與勢函數(shù)可表示為飽和土中：

式中ur和uθ分別為極坐標(biāo)下飽和土骨架的徑向位移和環(huán)向位移，wr為飽和土中流體的徑向位移，σrr，σθθ和σrθ分別為極坐標(biāo)下飽和土的三個應(yīng)力分量，Pf為孔隙水壓力。

式中usr和usθ分別為極坐標(biāo)系下襯砌的徑向和環(huán)向位移，σsr，σsθ和σsrθ分別為極坐標(biāo)下飽和土的三個應(yīng)力分量。

考慮飽和土體與襯砌1外交界面的連續(xù)條件可得，

假設(shè)飽和土體與襯砌1交界面為不透水邊界，即當(dāng)r＝R1時， wr＝0 （8b）襯砌1與襯砌2交界面處應(yīng)力及位移連續(xù)條件為

襯砌2內(nèi)邊界自由邊界條件為

將式（3～5）代入式（8），并利用式（7）的邊界條件，即可求解出所有待定系數(shù)，計算式為

式中A＝aij為11×11的系數(shù)矩陣（aij的具體表達(dá)式見附錄），X＝［AnBnCnDn1Dn2En1En2Fn1Fn2Gn1Gn2］，Y＝［Y10Y30Y5Y60Y8000］T（Yi的表達(dá)式見附錄）。

5 結(jié)果驗(yàn)算與算例分析

為分析P波入射對復(fù)合式襯砌的影響，引入飽和土與襯砌交界面及襯砌內(nèi)邊界的動應(yīng)力集中系數(shù)（DSCF），即

式中 σ0＝－（λ1＋2μ1）ka21φ0為襯砌1內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)局部應(yīng)力。

5．1 結(jié)果驗(yàn)算

圖2 本文退化解與文獻(xiàn)［13］的比較Fig．2 Comparison of degenerate solution by the present method and Ref．［13］

將本文的計算結(jié)果退化為彈性介質(zhì)中雙層復(fù)合式襯砌對入射P波的散射問題，并與文獻(xiàn)［13］計算結(jié)果進(jìn)行對比，為此取M＝0，ρf＝0，η＝0，襯砌外介質(zhì)的彈性模量為10GPa，襯砌1的彈性模量為22GPa，襯砌2的彈性模量為30GPa，R1＝10m，R2＝9．85m，R3＝9．4m，入射波頻率為ω＝3Hz。圖2為雙層襯砌內(nèi)側(cè)動應(yīng)力集中系數(shù)分布曲線，可以看出，文獻(xiàn)［13］與圖2計算結(jié)果一致，說明了本文計算結(jié)果的正確性。

5．2 算例分析

飽和土體介質(zhì)參數(shù)為，土骨架密度ρs＝2600 kg／m3，流體密度ρf＝1000kg／m3，孔隙率n＝0．30，泊松比ν＝0．28，楊氏模量E ＝30MPa，流體粘滯系數(shù)η＝1．0×10－2Pa·s，滲透系數(shù)k＝1．0×10－8，Biot參數(shù)α＝0．998，M ＝1×109Pa，入射波頻率ω＝80Hz。

計算時復(fù)合式襯砌半徑取R1＝3．2m，R2＝3．0m，R3＝2．7m，襯砌介質(zhì)材料參數(shù)列入表1。

圖3為平面P波作用下，雙層復(fù)合式襯砌內(nèi)外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)分布曲線?？梢钥闯?，雙層復(fù)合式襯砌內(nèi)外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)曲線的變化規(guī)律一致，但內(nèi)邊界動應(yīng)力集中系數(shù)大于外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)。主要原因是襯砌2剛度大于襯砌1剛度，導(dǎo)致襯砌2呈現(xiàn)出了明顯的動力放大效應(yīng)，且襯砌2內(nèi)邊界為零應(yīng)力邊界條件，其受力狀態(tài)比襯砌1差，因此襯砌2內(nèi)邊界動應(yīng)力集中系數(shù)要大于襯砌1外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)。

表1 襯砌介質(zhì)計算參數(shù)Tab．1 Calculation parameters of lining medium

圖3 雙層襯砌內(nèi)外邊界DSCF分布曲線Fig．3 DSCF distribution curves of inner and outer boundary of double linings

圖4 為襯砌2彈性模量不變的情況下，圖1中A點(diǎn)和B點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)與襯砌1彈性模量的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，當(dāng)襯砌1的彈性模量由5GPa增至30GPa時，A點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)由0．98增加到14．71，而B 點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)由45．22減小至19．31。隨襯砌1彈性模量的增加，襯砌1外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)逐漸增大，而襯砌2內(nèi)邊界動應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小，且兩者變化幅度均較大。

圖5為襯砌1彈性模量不變的情況下，圖1中A點(diǎn)和B點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)與襯砌2彈性模量的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，襯砌2彈性模量由20GPa增至45GPa時，A點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)由3．00減小到1．82，而B點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)由18．3增加至63．7。隨襯砌2彈性模量的增加，襯砌1動應(yīng)力集中系數(shù)變化較小，襯砌2動應(yīng)力集中系數(shù)變化較大。

圖6為保持襯砌2厚度（0．3m）不變的情況下，圖1中A點(diǎn)及B點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)與襯砌1厚度的關(guān)系曲線。可以看出，當(dāng)襯砌厚度由0．1m增加至0．8m時，A點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)由3．97減小至0．06，B點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)由46．4減小至3．20，減小幅度分別為98．48%和93．1%；由此可知，增加襯砌1的厚度可以明顯改善襯砌的內(nèi)部受力狀態(tài)。

圖4 襯砌1彈性模量與A點(diǎn)和B點(diǎn)DSCF的變化曲線Fig．4 DSCF distribution curves of Aand Bchanged follow the elastic lining 1

圖5 襯砌2彈性模量與A點(diǎn)和B點(diǎn)DSCF的變化曲線Fig．4 DSCF distribution curves of Aand Bchanged follow the elastic lining 2

圖6 襯砌1厚度與A點(diǎn)和B點(diǎn)DSCF的變化曲線Fig．6 DSCF distribution curves of Aand Bchanged follow the thickness of lining 1

圖7 襯砌2厚度與A點(diǎn)和B點(diǎn)DSCF的變化曲線Fig．6 DSCF distribution curves of Aand Bchanged follow the thickness of lining 2

圖7 為保持襯砌1厚度（0．2m）不變的情況下，圖1中A點(diǎn)及B點(diǎn)動應(yīng)力集中系數(shù)與襯砌2厚度的關(guān)系曲線。可以看出，當(dāng)增加襯砌2的厚度時，襯砌1外邊界及襯砌2內(nèi)邊界動應(yīng)力集中系數(shù)都有明顯的減??；由此可知，襯砌2的厚度對襯砌內(nèi)受力影響較大，在飽和土體中襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計時可將其考慮在內(nèi)。

6 結(jié) 論

本文利用波函數(shù)展開法，推導(dǎo)出了飽和土介質(zhì)中雙層復(fù)合式圓形襯砌對入射P波散射問題的解析解。將本文結(jié)果退化為彈性介質(zhì)中雙層襯砌對平面P波散射的穩(wěn)態(tài)解，其計算結(jié)果與文獻(xiàn)［13］結(jié)果一致。此外，分析了襯砌彈性模量及襯砌厚度對動應(yīng)力集中系數(shù)的影響，得出如下結(jié)論。

（1）襯砌內(nèi)邊界動應(yīng)力集中系數(shù)大于襯砌外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)，其原因是內(nèi)側(cè)襯砌剛度大于外側(cè)襯砌，對動應(yīng)力具有放大效應(yīng)，且內(nèi)側(cè)襯砌內(nèi)表面為零應(yīng)力邊界條件，受力狀態(tài)較差。

（2）外側(cè)襯砌及內(nèi)側(cè)襯砌剛度對襯砌內(nèi)動應(yīng)力集中系數(shù)影響較大，且隨外側(cè)襯砌剛度增加，外側(cè)襯砌外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)逐漸增大，內(nèi)側(cè)襯砌內(nèi)邊界動應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減?。浑S內(nèi)側(cè)襯砌剛度增加，外側(cè)襯砌外邊界動應(yīng)力集中系數(shù)逐漸減小，內(nèi)側(cè)襯砌內(nèi)邊界動應(yīng)力集中系數(shù)逐漸增大；因此，設(shè)計襯砌時，在保證外側(cè)襯砌穩(wěn)定性較好的條件下，內(nèi)側(cè)襯砌應(yīng)盡可能選擇剛度較小的材料。

（3）增加外側(cè)襯砌或者內(nèi)側(cè)襯砌厚度，可以在很大程度上減小襯砌內(nèi)動應(yīng)力集中系數(shù)，設(shè)計飽和土中復(fù)合式襯砌結(jié)構(gòu)時應(yīng)將其考慮在內(nèi)。

附 錄