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    密度不同的顆粒在流體中的沉降特性

    2018-11-05 01:35:20聶德明
    關(guān)鍵詞:雷諾數(shù)流體軌跡

    劉 依, 聶德明

    (中國(guó)計(jì)量大學(xué) 計(jì)量測(cè)試工程學(xué)院,杭州310018)

    1 引 言

    顆粒的沉降不僅普遍存在于自然界,而且具有廣泛的工業(yè)生產(chǎn)背景,是流體力學(xué)的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題。影響沉降的因素很多,如顆粒粒徑、流體粘度、顆粒與流體的密度差、顆粒形狀和顆粒濃度等,因此對(duì)顆粒沉降的研究具有一定的復(fù)雜性。從計(jì)算的角度來(lái)看,目前主要通過(guò)直接數(shù)值模擬方法對(duì)顆粒沉降現(xiàn)象及機(jī)理進(jìn)行研究。

    當(dāng)多個(gè)顆粒在流體中一起運(yùn)動(dòng)時(shí),其相互作用無(wú)論對(duì)于顆粒還是流體而言,都至關(guān)重要。尤其在流體的慣性不能忽略的情況下,顆粒之間的相互作用往往會(huì)對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)形態(tài)產(chǎn)生顯著的影響。DKT(drafting-kissing-tumbling)就是最典型的例子。該現(xiàn)象最早由Fortes等[1]通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察到。Feng等[2]則采用有限元方法模擬了兩個(gè)圓形顆粒的沉降,其顆粒雷諾數(shù)設(shè)定為70,其結(jié)果重現(xiàn)了DKT現(xiàn)象。此后,Aidun等[3]通過(guò)LBM研究了雙顆粒在無(wú)限長(zhǎng)通道中的沉降特性,其結(jié)果更為復(fù)雜而豐富,研究發(fā)現(xiàn),在較低雷諾數(shù)下顆粒的沉降呈現(xiàn)周期性的振動(dòng),隨著雷諾數(shù)的增大,顆粒的運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象,而進(jìn)一步增大雷諾數(shù)則會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)狀態(tài)。Verjus等[4]對(duì) Aidun等[3]的結(jié)果進(jìn)行了補(bǔ)充。文獻(xiàn)[5-7]研究了中等雷諾數(shù)下顆粒的相互作用對(duì)沉降的影響。Yacoubi等[5]發(fā)現(xiàn)顆粒個(gè)數(shù)的奇偶性與沉降形態(tài)的凹凸形狀息息相關(guān),而Nie等[6,7]則報(bào)道了多個(gè)顆粒在沉降中發(fā)生 DKT的選擇性組合以及分組現(xiàn)象。Wang等[8]采用LBM對(duì)大小不同的顆粒沉降進(jìn)行了細(xì)致研究,重點(diǎn)關(guān)注顆粒之間的尺寸差異對(duì)DKT的影響。邵雪明等[9]采用拉格朗日乘子/虛擬區(qū)域方法,模擬了尺寸不同的雙顆粒的沉降過(guò)程,結(jié)果表明,只有當(dāng)顆粒之間尺度差異很小時(shí),才會(huì)重復(fù)進(jìn)行DKT。曾卓雄等[10]采用數(shù)值方法研究了湍流中顆粒碰撞與湍流脈動(dòng)的關(guān)系。胡平等[11]采用LBM研究了傾斜通道內(nèi)的多顆粒沉降特性,發(fā)現(xiàn)當(dāng)傾斜角處于特定的范圍內(nèi)時(shí),會(huì)出現(xiàn)后一個(gè)顆粒超越前一個(gè)顆粒的現(xiàn)象。陳榮前等[12]采用LBM對(duì)雙顆粒沉降的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析,揭示了中等雷諾數(shù)下顆粒沉降的橫向受力特性。

    綜上所述,顆粒之間的相互作用對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)起關(guān)鍵作用。Aidun等[3]發(fā)現(xiàn)即使對(duì)于雙顆粒沉降的簡(jiǎn)單系統(tǒng),其呈現(xiàn)的動(dòng)力學(xué)特性也極其復(fù)雜而豐富。在沉降的諸多因素中,顆粒的密度決定了其慣性,當(dāng)密度不同的顆粒置于同一個(gè)流場(chǎng)中時(shí),其相互作用必定會(huì)受到密度差異的影響,可以預(yù)測(cè),這種影響在流體慣性存在下會(huì)變得極為顯著,而輕重顆粒的沉降形態(tài)也必定異于相同顆粒的結(jié)果。這種差異以何種方式體現(xiàn),重顆粒是否一定會(huì)比輕顆粒沉降快,什么條件下重顆粒才會(huì)離開(kāi)輕顆粒,這在以往的研究中鮮有報(bào)道,因此要回答這些問(wèn)題還必須通過(guò)更為細(xì)致而具體的研究,這是本文工作的出發(fā)點(diǎn)。

    2 模型

    2.1 物理模型

    兩個(gè)顆粒并列放置于無(wú)限長(zhǎng)的豎直通道中,通道寬度為L(zhǎng),顆粒直徑為d,顆粒密度分別為ρp(左)和(右)。引入一個(gè)無(wú)量綱參數(shù)k來(lái)描述顆粒之間密度的差異,即k=(-ρp)/ρf,其中ρf為流體密度,計(jì)算中固定為ρp=1.5與ρf=1,且k>0。本文雷諾數(shù)定義為Re=U0d/ν,其中ν為流體的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù),U0為特征速度,可表示為

    式中g(shù)為重力加速度,速度選取的規(guī)則與文獻(xiàn)[5-7]相同,即假定顆粒沉降所受阻力與重力和浮力平衡,且阻力系數(shù)為1。其他參數(shù)設(shè)置如下,d=30,L=5d,顆粒中心間距固定為2d。在物理單位中,d=0.15cm,ρp=1.5g/cm3,ρf=1g/cm3。網(wǎng)格間距和時(shí)間步長(zhǎng)分別為Δx=5×10-6m和Δt=5×10-6s。為了模擬無(wú)限長(zhǎng)通道的邊界,計(jì)算中重顆粒始終距上游邊界15d,距下游邊界25d,當(dāng)重顆粒下降一個(gè)網(wǎng)格時(shí),計(jì)算網(wǎng)格跟著重顆粒向下移動(dòng)一個(gè)網(wǎng)格。以上參數(shù)均在格子尺度下進(jìn)行設(shè)置。

    2. 2 數(shù)值模型

    采用單松弛格子Boltzmann方程求解流場(chǎng),該模型是目前應(yīng)用最為廣泛的一種LB模型,其演化方程為

    式中fi(x,t)為流體分子在i方向上的速度分布函數(shù),fi(eq)(x,t)為對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)分布函數(shù),ci為i方向上的格子速度矢量,τ為無(wú)量綱的松弛時(shí)間因子。流體的宏觀速度u和密度ρf可以通過(guò)式(3)求解,

    格子模型采用D2Q9格式,離散的速度矢量為

    式中 wi為權(quán)系數(shù),對(duì)于D2Q9為w0=4/9,w1~4=1/9,w5~8=1/36。

    對(duì)顆粒邊界的無(wú)滑移條件采用Lallemand等[13]提出的反彈格式來(lái)進(jìn)行處理,該方法可以看作是對(duì)標(biāo)準(zhǔn)反彈格式的一種改進(jìn)。另外,隨著顆粒的運(yùn)動(dòng),一些固體節(jié)點(diǎn)從t到t+Δt時(shí)刻會(huì)變?yōu)榱黧w節(jié)點(diǎn),而一些流體節(jié)點(diǎn)則會(huì)變成固體節(jié)點(diǎn),這對(duì)顆粒的運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生動(dòng)量變化,從而造成顆粒的受力變化,為了描述這部分力,本文采用Aidun等[14]提出的方法進(jìn)行處理。

    3 驗(yàn) 證

    采用通道中雙顆粒沉降的DKT結(jié)果驗(yàn)證本文計(jì)算程序的有效性。參數(shù)與文獻(xiàn)[15]相同,即顆粒直徑d=0.2cm,顆粒密度為ρp=1.01g/cm3,通道寬度L=10d,高度為H=40d,流體密度為ρf=1g/cm3,粘性系數(shù)為ν=10-6m2/s,初始時(shí)刻雙顆粒分別位于(5d,36d)和(5d,34d),分別記為Particle 1和Particle 2。計(jì)算采用的網(wǎng)格間距和時(shí)間步長(zhǎng)分別為Δx=10-4m和Δt=5×10-4s,顆粒之間的碰撞采用了文獻(xiàn)[8,15]的彈性力模型。結(jié)果如圖1所示,雙顆粒在沉降過(guò)程中發(fā)生了典型的DKT現(xiàn)象,本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[8,15]符合較好。

    圖1 雙顆粒沉降的DKT結(jié)果對(duì)比Fig.1 Comparison of the DKT motion for sedimentation of two particles

    4 計(jì)算結(jié)果及討論

    針對(duì)5≤Re≤12范圍內(nèi)不同密度差異k的情況進(jìn)行數(shù)值研究。圖2給出了顆粒在Re=5時(shí)的結(jié)果,圖中y1和y2分別為輕顆粒與重顆粒的橫向位置,且=y(tǒng)1/d=y(tǒng)2/d,t*=tU0/d??梢钥闯?,當(dāng)k較小時(shí),如k=0或0.01,兩個(gè)顆粒在沉降中會(huì)發(fā)生周期性振蕩現(xiàn)象,且k越小,振幅越大。值得注意的是,k=0意味著兩個(gè)顆粒完全相同,然而即使在初始位置對(duì)稱(chēng)的情況下,這兩個(gè)顆粒也不會(huì)穩(wěn)定地沉降,此結(jié)果與文獻(xiàn)[2]符合??梢钥闯?,當(dāng)k=0.02時(shí),兩個(gè)顆粒分別經(jīng)過(guò)初始階段的振蕩后逐漸穩(wěn)定并最終在通道中心沉降,即y*1=y(tǒng)*2=0。此外,計(jì)算結(jié)果表明Re=6時(shí)的結(jié)果與圖2相似。

    為了更好地對(duì)圖2所示的周期性運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析,本文通過(guò)兩個(gè)顆粒的水平位置坐標(biāo)y1和y2構(gòu)造出相關(guān)的相位圖,圖3分別給出了Re=5和Re=6時(shí)的結(jié)果。可以看出,每一個(gè)k對(duì)應(yīng)的相位圖均呈現(xiàn)出一條閉合曲線(xiàn),意味著兩個(gè)顆粒做周期性運(yùn)動(dòng)。與圖5一致,隨著k的增大,閉合曲線(xiàn)尺寸逐漸減小。特別地,當(dāng)k=0時(shí),顆粒振蕩的軌跡相位圖呈現(xiàn)兩條曲線(xiàn),如圖3(a)所示,這是典型的周期倍增現(xiàn)象。當(dāng)k值逐漸增大時(shí),這種現(xiàn)象消失。此外,輕顆粒的振幅y1明顯大于重顆粒的振幅y2,而且輕顆粒幾乎均在通道左半邊沉降(y1<0),而重顆粒則在通道右半邊沉降(y2>0)。

    圖2 Re=5時(shí)顆粒水平位置的變化Fig.2 Horizontal displacements for the particles at Re=5

    從圖2可以看出,當(dāng)k較大時(shí),顆粒會(huì)在通道中心穩(wěn)定地沉降,圖4給出了Re=5時(shí),0.02≤k≤0.08對(duì)應(yīng)的顆粒沉降流線(xiàn)圖??梢钥闯?,當(dāng)0.02≤k≤0.07時(shí),兩個(gè)顆粒作為一個(gè)整體進(jìn)行沉降,如圖4(a~c)所示,這是由于輕顆粒處于重顆粒的尾流之中,使得阻力減小最終追上重顆粒。當(dāng)k足夠大時(shí),如k=0.08,重顆粒會(huì)離開(kāi)輕顆粒,兩個(gè)顆粒最終獨(dú)立沉降,如圖4(d)所示。此外必須說(shuō)明的是,圖中所示的箭頭表示顆粒的轉(zhuǎn)角,初始轉(zhuǎn)角為垂直方向。

    圖3 顆粒運(yùn)動(dòng)軌跡的相位Fig.3 Trajectory of the particles in phase space

    圖4 當(dāng)Re=5時(shí)不同k值對(duì)應(yīng)的流線(xiàn)Fig.4 Instantaneous streamlines for different kat Re=5

    當(dāng)雷諾數(shù)增大時(shí),顆粒的沉降形態(tài)會(huì)發(fā)生變化。圖5給出了Re=7時(shí)顆粒的軌跡相位圖??梢钥闯觯Y(jié)果分成了兩個(gè)部分,k≤0.04時(shí)的結(jié)果與圖3類(lèi)似;然而k繼續(xù)增大則出現(xiàn)了另一種沉降形態(tài),即當(dāng)0.05≤k≤0.07時(shí),輕顆粒在通道右半邊沉降(y1>0),而重顆粒則正好相反(y2<0),顯然,這兩個(gè)顆粒交換了初始位置,如圖5(b)所示。

    當(dāng)k≥0.08時(shí),顆粒仍然會(huì)穩(wěn)定地沉降。圖6給出了Re=7時(shí),k=0.08,0.1和0.11對(duì)應(yīng)的流線(xiàn)圖。與圖4不同,當(dāng)k=0.08和0.1時(shí),兩個(gè)顆粒交換了初始位置,呈穩(wěn)定的錯(cuò)列結(jié)構(gòu)進(jìn)行沉降,如圖6(a,b)所示。此外,此時(shí)重顆粒轉(zhuǎn)動(dòng)的方向與輕顆粒一致,均是逆時(shí)針?lè)较?。造成這一現(xiàn)象的原因在于重顆粒靠近壁面而受到較大的壁面排斥力,為了平衡這個(gè)力,導(dǎo)致了重顆粒的反常旋轉(zhuǎn),并由此產(chǎn)生了一個(gè)馬格努斯力。

    當(dāng)雷諾數(shù)繼續(xù)增大時(shí),顆粒的沉降特性又會(huì)發(fā)生新的變化。如圖7所示,當(dāng)Re=9時(shí),顆粒沉降的軌跡相位圖也可以分成兩個(gè)部分,但與圖5所示的結(jié)果不同。當(dāng)k較大時(shí),顆粒的振動(dòng)幅度隨k的增大而增大,而且明顯比k較小時(shí)的振動(dòng)幅度大(注意圖中坐標(biāo)軸的范圍),當(dāng)k=0.09時(shí)觀察到了周期倍增的現(xiàn)象,如圖5(b)所示。此外,還可以看出,此時(shí)輕顆粒幾乎在通道右半邊沉降(y1>0),而重顆粒則完全在右半邊沉降(y2>0)。

    圖5 Re=7時(shí)顆粒運(yùn)動(dòng)軌跡的相位Fig.5 Trajectory of the particles in phase space at Re=7

    圖6 Re=7時(shí)不同k值對(duì)應(yīng)的流線(xiàn)Fig.6 Instantaneous streamlines for different kat Re=7

    圖7 Re=9時(shí)顆粒運(yùn)動(dòng)軌跡的相位Fig.7 Trajectory of the particles in phase space at Re=9

    為了更加直觀地觀察圖7對(duì)應(yīng)的兩類(lèi)周期性沉降運(yùn)動(dòng),圖8分別給出了0≤k≤0.05和0.06≤k≤0.08時(shí)的顆粒沉降軌跡。每個(gè)圖截取了兩個(gè)周期的顆粒位置與轉(zhuǎn)角,相鄰的時(shí)間間隔為500時(shí)間步??梢钥闯觯?dāng)k≤0.05時(shí),兩個(gè)顆粒在沉降中左右輕微振動(dòng),相對(duì)位置沒(méi)有明顯變化,如圖8(a~c)所示。而當(dāng)k≥0.06時(shí),情況發(fā)生本質(zhì)變化,重顆粒離開(kāi)壁面并與輕顆粒交織在一起進(jìn)行沉降,如圖8(d~f)所示。當(dāng)重顆粒從壁面向通道中心運(yùn)動(dòng)時(shí),輕顆粒處于其下游因此受到尾流的影響;當(dāng)輕顆粒加速逐漸靠近重顆粒時(shí),二者之間的排斥作用逐漸增強(qiáng),當(dāng)這個(gè)排斥力足夠大時(shí),兩個(gè)顆粒又逐漸遠(yuǎn)離;而當(dāng)重顆??拷诿鏁r(shí),受到其排斥作用,又向中心運(yùn)動(dòng),如此往復(fù)循環(huán),形成了圖中所示的周期性運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)類(lèi)似于典型的DKT過(guò)程,不同的是,由于這兩個(gè)顆粒密度差異較大,因此顆粒之間沒(méi)有發(fā)生翻轉(zhuǎn)。很明顯,當(dāng)k從0.05增大到0.06時(shí),流體的慣性影響發(fā)生了本質(zhì)的變化,使得顆粒之間的相互作用發(fā)生了變化,造成了沉降特性的突變,如圖8(c,d)所示。當(dāng)進(jìn)一步增大雷諾數(shù)即當(dāng)Re>9時(shí),圖7(a)所示的沉降特性消失,只剩下類(lèi)似于圖7(b)的結(jié)果,而從圖3和圖5可以看出,當(dāng)Re<9時(shí),本文只能觀察到與圖7(a)相似的結(jié)果。由此,可以將Re=9看作是該沉降系統(tǒng)的一個(gè)臨界雷諾數(shù)。

    圖9分別給出了Re=10和Re=12時(shí)對(duì)應(yīng)的顆粒沉降相位圖。對(duì)于Re=10,僅顯示了k≥0.05的結(jié)果,這是因?yàn)樵谟?jì)算中發(fā)現(xiàn)當(dāng)k≤0.04時(shí),兩個(gè)顆粒最終會(huì)穩(wěn)定地沉降,沉降的形態(tài)與圖6(a,b)相似,只是兩個(gè)顆粒的位置正好相反。從圖9可以看出,顆粒振動(dòng)的幅度隨k的增大而增大,尤其是重顆粒的幅度y2變化明顯,這與圖7(b)的結(jié)果相同,但此時(shí)相位圖出現(xiàn)了類(lèi)似雙鈕線(xiàn)的形狀,這是因?yàn)榱黧w的慣性作用越來(lái)越顯著,使得顆粒的運(yùn)動(dòng)變得越來(lái)越復(fù)雜。

    從上述研究可以看出,在沉降中一定條件下重顆粒與輕顆粒會(huì)一起沉降。圖10給出了不同雷諾數(shù)對(duì)應(yīng)的臨界k值即kc,只有當(dāng)兩個(gè)顆粒的密度差異大于該臨界值時(shí),重顆粒才會(huì)擺脫輕顆粒并最終分離??梢钥闯?,隨著Re的增大,kc的值先增大后減小,當(dāng)Re在9附近時(shí)kc的值最大,這與上述研究中關(guān)于Re=9為臨界雷諾數(shù)的結(jié)論一致。

    圖8 Re=9時(shí)顆粒沉降的軌跡Fig.8 Settling trajectory of particles at Re=9

    圖9 顆粒運(yùn)動(dòng)軌跡的相位Fig.9 Trajectory of the particles in phase space for different kat Re=10and Re=12

    圖10 臨界值kc隨雷諾數(shù)的變化Fig.10 Dependence of the critical value kcon Re

    5 結(jié) 論

    本文采用基于動(dòng)量交換的格子Boltzmann方法對(duì)雙顆粒沉降系統(tǒng)進(jìn)行了直接數(shù)值模擬,研究了雷諾數(shù)Re=5~12范圍內(nèi)顆粒之間密度差異k對(duì)顆粒沉降形態(tài)的影響,有以下結(jié)論。(1)當(dāng)雷諾數(shù)較小時(shí),即當(dāng)5≤Re≤8時(shí),顆粒之間的密度差k越小,顆粒周期性振動(dòng)的幅度越大,當(dāng)Re=7時(shí),兩個(gè)顆粒會(huì)交換初始位置繼續(xù)做周期性沉降運(yùn)動(dòng)。(2)當(dāng)雷諾數(shù)較大時(shí),即當(dāng)10≤Re≤12時(shí),由于流體的慣性作用,顆粒的振動(dòng)幅度顯著增大,而且k越大振幅越大;此外,計(jì)算發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)臨界雷諾數(shù),此時(shí)顆粒的沉降形態(tài)同時(shí)具有以上兩種特征。(3)當(dāng)雷諾數(shù)較大時(shí),如果k較小,則兩個(gè)顆粒會(huì)呈現(xiàn)穩(wěn)定的錯(cuò)列結(jié)構(gòu),此時(shí)重顆粒與輕顆粒的轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致。此外,只有當(dāng)k大于某臨界值時(shí),重顆粒才離開(kāi)輕顆粒,此臨界值隨著Re先增大后減小。

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