應(yīng)用于非凸設(shè)計(jì)區(qū)域桁架拓?fù)鋬?yōu)化的一種基結(jié)構(gòu)生成方法

史 航， 高 閣， 謝 軍， 郭煜晨， 王 濤， 劉震宇＊

（1．中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春130033；2．中國科學(xué)院大學(xué) 材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院，北京100039）

1 引 言

拓?fù)鋬?yōu)化是現(xiàn)代工程中一個(gè)重要發(fā)展領(lǐng)域，可以分為連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化和離散體拓?fù)鋬?yōu)化，其中連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化主要研究二維板殼和三維實(shí)體等結(jié)構(gòu)內(nèi)有無孔洞、孔洞的數(shù)量、位置及形狀；離散體拓?fù)鋬?yōu)化大多數(shù)情況是指桁架拓?fù)鋬?yōu)化，主要研究桁架和剛架等結(jié)構(gòu)中桿件的有無及其相互連接方式。在桁架拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域，最主要的一種實(shí)現(xiàn)方法是基結(jié)構(gòu)法。即在特定設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)生成滿連接結(jié)構(gòu)，并且默認(rèn)最優(yōu)解就在其中，再通過優(yōu)化算法找到最終的最優(yōu)組合［1－3］?；Y(jié)構(gòu)法是由 Dorn等［4］在20世紀(jì)中期提出，之后廣泛地應(yīng)用于桁架的拓?fù)鋬?yōu)化問題。運(yùn)用基結(jié)構(gòu)法求解桁架拓?fù)鋬?yōu)化問題的初始步驟是在定義的設(shè)計(jì)區(qū)域中生成初始基結(jié)構(gòu)，所獲得的最優(yōu)解由初始基結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)的位置和節(jié)點(diǎn)之間的連接（桿件）決定。對于理論中常出現(xiàn)的規(guī)則設(shè)計(jì)區(qū)域，生成滿連接基結(jié)構(gòu)較易實(shí)現(xiàn)，可是在實(shí)際工程中經(jīng)常會出現(xiàn)一些涉及不規(guī)則設(shè)計(jì)區(qū)域（凹區(qū)域和孔洞）的問題，就要避免在凹區(qū)域或孔洞內(nèi)部生成桿件。關(guān)于基結(jié)構(gòu)的生成方法有很多種，通過有限元網(wǎng)格與計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件的結(jié)合使用，Simth［5］提出了一個(gè)可以在非凸設(shè)計(jì)區(qū)域生成基結(jié)構(gòu)的交互系統(tǒng)，可以對復(fù)雜非規(guī)則形狀的設(shè)計(jì)域高效構(gòu)建基結(jié)構(gòu)。Zhang［6］利用正方形網(wǎng)格和維諾圖（Voronoi）網(wǎng)格的微元法生成基結(jié)構(gòu)，這種方法可以大量避免重復(fù)桿件的生成，并且可以針對凹區(qū)域和孔洞生成基結(jié)構(gòu)。在已生成的初始基結(jié)構(gòu)中，根據(jù)Hagishita等［7］提出的五條規(guī)則對可能存在的桿件進(jìn)行判別，從而通過刪減桿件獲得最終基結(jié)構(gòu)的生長式基結(jié)構(gòu)法。Zegard等［8］提出了利用分級生成基結(jié)構(gòu)和設(shè)置限制區(qū)域的方法在任意二維設(shè)計(jì)區(qū)域生成最終的基結(jié)構(gòu)，并提供了MATLAB程序。該方法對單元網(wǎng)格依賴比較小，且可以在全局范圍內(nèi)生成基結(jié)構(gòu)，是目前應(yīng)用最為廣泛的一種方法。Gao等［9］發(fā)現(xiàn)如果通過應(yīng)力跡線法生成節(jié)點(diǎn)，即將節(jié)點(diǎn)都設(shè)置在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力跡線交點(diǎn)上，可以很大程度上減少無用桿件的數(shù)量，從而提高整體的運(yùn)算效率。

基結(jié)構(gòu)的生成主要分為兩步，即先生成節(jié)點(diǎn)，然后將所有節(jié)點(diǎn)相互連接生成基結(jié)構(gòu)。這使得滿連接基結(jié)構(gòu)在不規(guī)則設(shè)計(jì)區(qū)域外也會存在桿件。目前，刪除多余桿件的方法是受到碰撞檢驗(yàn)算法的啟發(fā)而得到的［10］，即將原有幾何邊界拓展形成拓展邊界，進(jìn)而對存在于區(qū)域外的桿件與拓展邊界進(jìn)行碰撞檢測，將多余桿件刪除。這種方法存在以下兩個(gè)方面的問題。一是在原幾何模型的基礎(chǔ)上建立新幾何模型，即要建立兩次模型，使前期工作過于繁復(fù)；二是偏置區(qū)域的大小直接影響檢測凹邊界外桿件的精度，隨著偏置程度大小的變化，檢測到的凹邊界外桿件的數(shù)量也隨之改變。尤其在凹邊界是曲線的情況下，由于在進(jìn)行判斷檢測的過程中是利用線段近似逼近曲線，存在幾何誤差，因此不可避免地對最終基結(jié)構(gòu)的桿件數(shù)目造成影響。

本文提出一種無需構(gòu)建擴(kuò)展邊界模型，而是利用已有幾何邊界進(jìn)行識別并刪除多余桿件的方法。由于滿基結(jié)構(gòu)中桿件眾多，所以通過分區(qū)域生成基結(jié)構(gòu)，找出存在于設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)無需進(jìn)行判斷的桿件，從而使需要判斷的桿件大幅度減少；再根據(jù)凹邊界的幾何信息確定刪除桿件的準(zhǔn)則，最終得到符合要求的基結(jié)構(gòu)。本文的主要目的是研究基結(jié)構(gòu)的生成方法，并對三種不同情況下拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的二維算例以及一個(gè)三維算例進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。為了簡化問題，所有算例采用的數(shù)據(jù)都是單位1。

2 二維問題基結(jié)構(gòu)的生成方法

2．1 用于生成基結(jié)構(gòu)的有限元基礎(chǔ)網(wǎng)格

首先定義文中出現(xiàn)的一些概念，以二維問題為例，如圖1所示。

本文提出的基結(jié)構(gòu)生成方法依賴于設(shè)計(jì)區(qū)域的幾何邊界以及網(wǎng)格劃分。采用有限元商業(yè)軟件COMSOL進(jìn)行幾何建模并劃分有限元網(wǎng)格，其中節(jié)點(diǎn)信息、邊界信息和單元信息可以定義邊界和節(jié)點(diǎn)的連接方式，將生成和刪除桿件的過程轉(zhuǎn)換為線性代數(shù)的操作，為后續(xù)基結(jié)構(gòu)的生成提供便利。

2．2 基結(jié)構(gòu)的生成

生成非凸區(qū)域基結(jié)構(gòu)需要先利用節(jié)點(diǎn)生成滿連接基結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上剔除位于設(shè)計(jì)區(qū)域外部的桿件，快速生成滿連接基結(jié)構(gòu)并且快速準(zhǔn)確地識別這些需要剔除的桿件是基結(jié)構(gòu)生成算法的核心內(nèi)容。用一個(gè)L型非凸設(shè)計(jì)區(qū)域簡要說明實(shí)現(xiàn)過程。

2．2．1 逐級生成滿連接基結(jié)構(gòu)

圖1 二維非凸設(shè)計(jì)區(qū)域Fig．1 2Dnon－convex design domain

圖2 為生成基結(jié)構(gòu)步驟。首先將非凸設(shè)計(jì)區(qū)域劃分為兩個(gè)子區(qū)域，然后劃分有限元網(wǎng)格，最后在此基礎(chǔ)上建立滿基結(jié)構(gòu)。受GRAND方法［8］的啟發(fā)，利用桿件連接等級的概念逐級建立桿件，如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)屬于同一單元，則稱其是相鄰的，兩者連接成一級桿Lv1，如1節(jié)點(diǎn)和6節(jié)點(diǎn)相鄰，bars16等級為Lv1；如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)屬于相鄰的兩個(gè)單元，則稱其是相鄰單元的相鄰節(jié)點(diǎn)，如1節(jié)點(diǎn)和8節(jié)點(diǎn)，bar18等級為Lv2；以此類推，逐級形成基結(jié)構(gòu)。在高等級的新生桿件中會包含重疊桿件，如bar58和bar25；且隨著等級的升高，桿件的長度也逐漸變長，基結(jié)構(gòu)法傾向于保留短桿，所以通過判斷夾角余弦值的方法即共線檢查方法來移除重疊長桿，為優(yōu)化過程采用高效率算法提供了便利。

2．2．2 利用圖形碰撞檢測技術(shù)刪除桿件

顯而易見，bar37、bar27和bar38是設(shè)計(jì)區(qū)域外的桿件，一種情況是與凹邊界edge47和edge34相交的bar27和bar38，另一種情況是兩個(gè)端點(diǎn)都位于凹邊界上的bar37，在此將一條線段端點(diǎn)落在另一條線段上這種情況視為不相交。延軸向包圍盒是各個(gè)邊（面）的法向與給定坐標(biāo)軸平行的特殊長方形（體）［11］。以長方形為例，常見的一種方式是通過定義對角線的兩個(gè)極值端點(diǎn)來定義包圍區(qū)域，如圖3所示，以線段AB為對角線建立的矩形區(qū)域即為線段AB的包圍盒。

對于第一種情況的桿件1，需要采用圖形碰撞檢測技術(shù)來進(jìn)行識別，桿件和邊界都視為線段，即判斷線段與線段是否相交［11］。判斷平面上兩條線段AB和CD是否相交，可以先判斷線段所在直線的交點(diǎn)是否在它們包圍盒的內(nèi)部。選取定義對角線的兩個(gè)極值端點(diǎn)如圖3所示，其交點(diǎn)可以通過以下方式計(jì)算。設(shè)AB 為L1（t）＝A＋t（B－A）；設(shè)CD為n·（X－C）＝0；其中n＝（D－C）⊥垂直于CD。通過聯(lián)立上述方程可得t，而交點(diǎn)P＝L1（t）可以通過將t代入線段方程求得。判斷P點(diǎn)是否在包圍盒內(nèi)只需判斷0≤t≤1是否成立。判斷AB和CD是否相交的準(zhǔn)則是當(dāng)P點(diǎn)位于其中一個(gè)包圍盒外，則線段AB和CD 不相交，如圖3（a）所示；當(dāng)P點(diǎn)同時(shí)在AB和CD各自包圍盒的內(nèi)部，則AB和CD 是相交的，如圖3（b）所示。通過上述方法即可將與凹邊界相交的桿件移除。此外，兩個(gè)端點(diǎn)都在凹邊界上的桿件必定都在設(shè)計(jì)區(qū)域外，通過凹邊界edge47和edge34上的節(jié)點(diǎn)序號，可以直接將bar37移除。不規(guī)則設(shè)計(jì)區(qū)域中如果形成孔洞，則需定義孔洞邊界，與定義凹邊界的方法相同。

圖2 基于幾何和網(wǎng)格生成滿連接基結(jié)構(gòu)Fig．2 Full level ground structure generation based on geometry and mesh

2．2．3 利用分區(qū)域生成基結(jié)構(gòu)提升效率

當(dāng)不規(guī)則設(shè)計(jì)區(qū)域的凹邊界不包含曲線時(shí)，可以將其分割成若干個(gè)凸的子區(qū)域，以圖2所示區(qū)域和網(wǎng)格都已劃分的L型設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)槔襟E如圖4所示。在進(jìn)行桿件與邊界的相交判斷時(shí)，把子區(qū)域基結(jié)構(gòu)從滿連接基結(jié)構(gòu)的桿件中暫時(shí)移除，會得到跨子區(qū)域節(jié)點(diǎn)間的桿件，其中包含了所有的區(qū)域外桿件。在此例中，最后只留有5個(gè)桿件，如圖4步驟（3），在很大程度上減少了與邊界判斷相交的桿件個(gè)數(shù)，從而提升了效率。區(qū)域外桿件刪除后得到的結(jié)果如圖4步驟（5），再將子區(qū)域的基結(jié)構(gòu)與留下的桿件集合，得到最終的基結(jié)構(gòu)，如圖4步驟（6）所示。

圖3 線段AB和CD不相交和相交兩種情況Fig．3 Two cases of un－intersection and intersection of line ABand CD

圖4 分區(qū)域生成基結(jié)構(gòu)Fig．4 Generate ground structure of subdomains

2．2．4 子區(qū)域的劃分

對已知設(shè)計(jì)區(qū)域劃分是本方法的第一步。對于實(shí)際問題中的一些特殊設(shè)計(jì)區(qū)域，針對各部分區(qū)域的特點(diǎn)，生成不同的有限單元網(wǎng)格。在凹邊界沒有曲線存在的情況下，可直接根據(jù)凹邊界的性質(zhì)將整個(gè)區(qū)域劃分為最少數(shù)目的子區(qū)域，并保證子區(qū)域都是凸區(qū)域。而當(dāng)凹邊界中有曲線存在，則劃分而成的子區(qū)域不可能全是凸區(qū)域，如果曲線邊界由線段近似描述，在此基礎(chǔ)上要劃分較多的子區(qū)域才能保證皆為凸區(qū)域，增加了難度和復(fù)雜性。所以在此允許子凹區(qū)域的存在，并對其內(nèi)部桿件增加一步判別和刪除。以經(jīng)典Michell梁問題中的不規(guī)則設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)槔唧w實(shí)現(xiàn)步驟如圖5所示。

首先劃分兩個(gè)子區(qū)域，如圖5步驟（1）所示，粗實(shí)線是分割線，細(xì)實(shí)線是網(wǎng)格單元，左側(cè)子區(qū)域?yàn)榘紖^(qū)域，右側(cè)子區(qū)域?yàn)橥箙^(qū)域。圖5步驟（2）為全局滿連接基結(jié)構(gòu)，桿件個(gè)數(shù)N＿all＝466，可以拆分為圖5步驟（3）和步驟（4）所示的兩個(gè)桿件集合，分別是各個(gè)子區(qū)域滿連接基結(jié)構(gòu)和跨子區(qū)域節(jié)點(diǎn)間的所有桿件。先得到各子區(qū)域基結(jié)構(gòu)的集合，桿件個(gè)數(shù)分別為N＿sub1＝122和N＿sub2＝131，再將前者從滿連接基結(jié)構(gòu)中移除得到跨子區(qū)域節(jié)點(diǎn)間的所有桿件，桿件個(gè)數(shù)N＿left＝213。接下來僅對包含凹邊界子區(qū)域的桿件（N＿sub1）和剩余桿件（N＿left）進(jìn)行判別，即可將區(qū)域外的桿件移除，分別得到桿件如圖5步驟（5）和步驟（6）所示，將兩者合并得到了最終基結(jié)構(gòu)如圖5步驟（7）所示，所有桿件N＿final＝415都在設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)，符合要求。由于分區(qū)域的設(shè)定，其中子凸區(qū)域中的所有桿件（N＿sub2）不必參與判斷的過程，在一定程度上提升了效率。

圖5 分區(qū)域生成基結(jié)構(gòu)（包含曲線凹邊界）Fig．5 Ground structure of subdomains（with curve concave boundary）

2．2．5 二維問題基結(jié)構(gòu)生成算例

圖6給出了三種不同的設(shè)計(jì)區(qū)域，分別如圖6所示方式劃分子區(qū)域并構(gòu)建網(wǎng)格。圖6（a）是將L型設(shè)計(jì)區(qū)域的網(wǎng)格稍作細(xì)分；圖6（b）是環(huán)形孔洞設(shè)計(jì)區(qū)域，具有不同的拓?fù)湫问剑粓D6（c）是存在兩個(gè)曲線凹邊界形狀較為復(fù)雜的設(shè)計(jì)區(qū)域?？梢钥闯觯N情況均在滿連接基結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上得到符合要求的基結(jié)構(gòu)。

3 三維問題基結(jié)構(gòu)的生成及算例

三維問題基結(jié)構(gòu)的生成是二維基結(jié)構(gòu)生成方法的延伸，不僅要提取節(jié)點(diǎn)、邊界線段及平面單元，還要提取邊界平面及立體單元的信息，其判斷準(zhǔn)則更為復(fù)雜，在此不詳細(xì)敘述，提供三維L型算例以供參考。如圖7所示，劃分子區(qū)域且加深平面為凹邊界平面，經(jīng)過網(wǎng)格劃分如圖7（b）所示，生成滿連接基結(jié)構(gòu)如圖7（c）所示，最后刪除區(qū)域外部桿件，可以得到最終符合要求的基結(jié)構(gòu)，如圖7（d）所示。

圖6 不同設(shè)計(jì)區(qū)域基結(jié)構(gòu)的生成Fig．6 Ground structure generation of different 2Ddomains

4 基于基結(jié)構(gòu)法的桁架拓?fù)鋬?yōu)化

4．1 基于塑性設(shè)計(jì)理論的拓?fù)鋬?yōu)化模型

在單工況應(yīng)力約束下，以最小體積為目標(biāo)，以桿件橫截面積為設(shè)計(jì)變量的桁架拓?fù)鋬?yōu)化問題可表述為［12］

式中ve和fe分別為第e根桿件的體積和軸向載荷，M是桿件總數(shù)，F(xiàn)（N×1）為節(jié)點(diǎn)力向量，其中N為節(jié)點(diǎn)自由度。B（M×N）為柔度矩陣，其中第i行元素為 ［1，…，－Ca（xi），－Ca（yi），0，…，Cb（xi），Cb（yi），0，…］T。其中Cx和Cy分別為第i根桿從起點(diǎn)a到終點(diǎn)b的x和y方向上的余弦角。對于一個(gè)穩(wěn)定的基結(jié)構(gòu)，B具有滿秩N（N≤m）和分別為拉壓應(yīng)力極限。

圖7 三維問題基結(jié)構(gòu)的生成Fig．7 Ground structure generation of 3Ddomain

為了滿足滿應(yīng)力設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，將體積和載荷的表達(dá)式做如下的改動，

所以優(yōu)化問題的公式可以轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題：

式中f＋e和fe可分別視為第e根桿件的拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，至少一者為0，設(shè)計(jì)變量只有軸向載荷。如果fe＝0，f＋e＞0，則軸向載荷為拉；如果fe＞0，f＋e＝0，則軸向載荷為壓；當(dāng)fe＝0，f＋e＝0時(shí)，認(rèn)為該桿件可以從基結(jié)構(gòu)中刪除。對線性規(guī)劃問題，利用內(nèi)點(diǎn)法可以很容易得到最優(yōu)解。

4．2 基于基結(jié)構(gòu)法的桁架拓?fù)鋬?yōu)化算例

以經(jīng)典Michell梁的桁架拓?fù)鋬?yōu)化算例為參考。以圖8（a）所示方式劃分子區(qū)域并構(gòu)建網(wǎng)格，黑色粗線為子區(qū)域界線，灰色細(xì)線為網(wǎng)格單元，共包含三角形單元Nt＝374和四邊形單元Nq＝324（18×18），灰點(diǎn)表示約束施加點(diǎn)，箭頭表示外加載荷。將橫截面積截?cái)嘀翟O(shè)置為cutoff＝0．018，在優(yōu)化過程中用于約束桿件的橫截面積，過濾掉過細(xì)的桿件，后續(xù)的算例中也會采用此截?cái)嘀?，可以有效地濾掉細(xì)桿又不影響最終的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。其對應(yīng)得到的優(yōu)化結(jié)果如圖8（b）所示。優(yōu)化目標(biāo)值為單位體積V＝4．367，迭代步數(shù)為Iter＝85。圖9為 Michell梁理論的最優(yōu)解［14，15］。

圖8 經(jīng)典Michell梁問題的基結(jié)構(gòu)法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig．8 Optimum topology from a ground structure implementation of Michell beam

同理，分別對環(huán)形（孔洞）算例、二維L型梁算例及三維L型梁算例進(jìn)行優(yōu)化，劃分網(wǎng)格數(shù)分別為Nq＝144，Nq＝48及Nq＝192。其對應(yīng)得到的優(yōu)化結(jié)果（橫截面積截?cái)嘀礳utoff＝0．018）分別如圖10（b）、圖11（b）及圖12（b）所示。

圖10算例網(wǎng)格數(shù)為Nq＝144，優(yōu)化目標(biāo)值V＝34．71，迭代步數(shù)Iter＝16。

圖11算例網(wǎng)格數(shù)為Nq＝48，優(yōu)化目標(biāo)值V＝9，迭代步數(shù)Iter＝11。

圖9 經(jīng)典Michell梁問題的理論最優(yōu)結(jié)果Fig．9 Theoretical optimal solution of Michell beam

圖10 環(huán)形（孔洞）問題的基結(jié)構(gòu)法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig．10 Optimum topology from a ground structure implementation of ring（hole）domain

圖11 二維L型梁問題的基結(jié)構(gòu)法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig．11 Optimum topology from a ground structure implementation of 2DL－type beam

圖12算例網(wǎng)格數(shù)為Nq＝192，優(yōu)化目標(biāo)值V＝9．59，迭代步數(shù)Iter＝19。

圖12 三維L型梁問題的基結(jié)構(gòu)法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig．12 Optimum topology from a ground structureimplementation of 3DL－type beam

5 總 結(jié)

本文對在不規(guī)則設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)生成基結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行了探索和討論。主要思想是在原始幾何和網(wǎng)格基礎(chǔ)上利用分區(qū)域生成基結(jié)構(gòu)的方法，在非凸設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)迅速并準(zhǔn)確地生成基結(jié)構(gòu)。以非凸設(shè)計(jì)區(qū)域的凹邊界為判斷邊界，可以快速準(zhǔn)確地將位于設(shè)計(jì)區(qū)域外的桿件識別并刪除。與傳統(tǒng)的設(shè)置限制區(qū)域或者偏置區(qū)域的方法相比，避免二次建模，大大簡化前處理過程，且避免受到限制區(qū)域（偏置區(qū)域）大小的限制，從而提高了所形成基結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性。滿足上述條件的最終基結(jié)構(gòu)可以直接用于后續(xù)桁架的拓?fù)鋬?yōu)化，并可以得到接近解析解的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。故本文為基于基結(jié)構(gòu)法的桁架拓?fù)鋬?yōu)化提供了一種易實(shí)現(xiàn)且效率及準(zhǔn)確度高的基結(jié)構(gòu)生成方法。