如何輕松應對初二數(shù)學中的動點問題

李莉珍

【內(nèi)容摘要】動點問題一直是中考的熱點，究其原因，它的開放性充分展示了學生對于多種數(shù)學思想方法和所學知識的靈活應用，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理，解題關鍵是“動中求靜”。初中階段孩子正式接觸動點問題是從初二的《勾股定理》開始的，在之后的《平行四邊形》中應用更為廣泛，靈活應對初二數(shù)學中的動點問題能夠為中考動點問題的解決打下一個堅實的基礎，不容忽視。

【關鍵詞】動中求靜 數(shù)形結合 方程思想 轉(zhuǎn)化

課改之后數(shù)學考試中的數(shù)學壓軸題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向發(fā)展.這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的在于考察學生分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應用意識、推理能力等.從數(shù)學思想的層面上講：（1）運動觀點；（2）方程思想；（3）數(shù)形結合思想；（4）分類討論思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等。而動點問題恰好符合課改對學生的能力要求。所謂“動點問題”是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目。動點問題中一般都會給出輔助的定點或定直線，找到動點滿足的代數(shù)或幾何關系，解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數(shù)學知識解決問題。

初二數(shù)學中的動點問題主要是運動的動點結合存在性問題。題目中一般會給出運動方向和運動速度，我們首先需要根據(jù)“運動速度×時間=路程”來表示某些線段的長。根據(jù)動點的位置可以將線段分為走過的（根據(jù)速度×時間來進行表示）、剩下未走的（用動點要運動的總路程-走過的）兩部分。題目往往會結合存在性問題出現(xiàn)，如：是否存在點P（及點Q）使得題目滿足一些什么結論或當某些結論存在時，求動點P（及點Q）的位置。此時解答可以把題目要求滿足的情況作為一個使用條件，使P（及點Q）恰在滿足要求的位置，然后結合幾何知識進行解答。下面結合實例進行分析：

【例1】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AB=20cm，點P、Q分別是AB、CD上的動點，點M以2cm/s的速度自A向B運動，點N同時以3cm/s的速度自D向C運動，請問：是否存在某個時刻，使得四邊形AMCN是一個平行四邊形？

解析：此題綜合應用平行四邊形的性質(zhì)和判定，我們可以考慮利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定方法，采用數(shù)形結合、方程思想和轉(zhuǎn)化思想解決。由平行四邊形ABCD的對邊平行且相等可得CD=AB=20cm，CD∥AB，即AM∥CN。設運動時間為t秒，易得AM=2t，CQ=20-3t，依據(jù)題意，AM和CN相等即可，于是2t=20-3t，解得t=4。

除了以上常見的動點類型之外，動點定值問題也時有出現(xiàn)。下面我們來看一個例子：

【例2】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，AH⊥BD于點H。E是AD上的一個動點，EF⊥AC于點F，EG⊥BD于點G，請問：EF+EG是否隨著點E的運動而發(fā)生變化？說明理由。

解析：此題可利用特殊位置（如當點E運動到點A處）先得到結論：EF+EG=AH，不會發(fā)生變化。本題涉及矩形等相關知識的應用，綜合性較強。

動點的題目類型很多，這里很難一一說明，解決動點問題其實不難，一般一眼就可以知道符合題意的動點的大概位置，只要在解答時多注意將代數(shù)和幾何知識結合，你就可以慢慢摸索出其中的一些規(guī)律。不管點怎么動，只要抓住它停下來的那一刻，化動為靜，以靜制動。解決動點問題通常都是假設滿足條件的未知數(shù)為t（時間），用t表示題目中的線段。而且初二數(shù)學中的動點問題常結合勾股定理、平行四邊形的問題來考察，所以要善于運用勾股定理、特殊四邊形的性質(zhì)與判定。想要求出滿足條件的t值，需要列出方程；想要列出方程，就要善于利用已知條件、特殊四邊形里的邊角等量關系。動點問題尤其注重學生對幾何圖形運動變化能力的考查，從變換的角度和運動變化來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，選擇基本的幾何圖形，讓學生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學生的自主探究能力，促進培養(yǎng)學生解決問題的能力。在圖形中動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程?？傊?，在變化中找到不變的性質(zhì)，即“動中求靜”是解決數(shù)學動點探究題的基本思路，這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質(zhì)。

【參考文獻】

[1]周益新.能力培養(yǎng)與測試.數(shù)學.八年級.下[M].人民教育出版社.2013-11.

[2]陳東旭.金太陽導學案.數(shù)學.八年級.下[M].江西高校出版社.2013-12.

（作者單位：安徽省阜陽市潁上四中）