“數(shù)學(xué)解題反思”研究的元研究

馬文杰，徐莉芳

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“數(shù)學(xué)解題反思”研究的元研究

馬文杰1，徐莉芳2

（1．臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000；2．開(kāi)化縣第一初級(jí)中學(xué)，浙江 衢州 324300）

運(yùn)用文獻(xiàn)分析法和元分析法，對(duì)211篇數(shù)學(xué)解題反思研究論文進(jìn)行研究，主要分析其基本情況、研究方法、研究對(duì)象、研究?jī)?nèi)容，并進(jìn)行相應(yīng)評(píng)價(jià)與研究展望等，以便數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者了解該主題的相關(guān)研究．主要研究結(jié)論：（1）進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究的主要研究者是初高中數(shù)學(xué)教師，其研究主要集中于初高中教育階段；（2）有無(wú)參考文獻(xiàn)的研究論文（幾乎）各占一半，且參考文獻(xiàn)數(shù)量偏少，平均每篇論文引用3.5篇參考文獻(xiàn)；（3）研究方法主要是經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法和案例分析法；（4）論文所涉及的主要研究對(duì)象分布不均衡；（5）針對(duì)不同研究對(duì)象的研究?jī)?nèi)容有較大差異，針對(duì)同一研究對(duì)象的研究?jī)?nèi)容，因其研究側(cè)重不同也有所不同．

數(shù)學(xué)解題反思；文獻(xiàn)分析法；元分析法

1 引言

當(dāng)前，無(wú)論是數(shù)學(xué)教育研究者，還是一線數(shù)學(xué)教師都比較關(guān)注數(shù)學(xué)解題反思，大家充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)解題反思對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要性與重要性．分析數(shù)學(xué)解題反思已有研究的基本“研究現(xiàn)狀”及其研究趨勢(shì)等，既便于一線數(shù)學(xué)教師了解關(guān)于該主題的已有研究，也可以為以后的研究者進(jìn)行該領(lǐng)域的相應(yīng)研究指明基本方向．運(yùn)用文獻(xiàn)分析法和元分析法，對(duì)數(shù)學(xué)解題反思研究論文進(jìn)行詳細(xì)統(tǒng)計(jì)與深入分析．在“中國(guó)知網(wǎng)”以“數(shù)學(xué)解題反思”作為關(guān)鍵詞進(jìn)行模糊檢索，檢索起止時(shí)間為2007年1月1日—2016年12月30日，下載相關(guān)論文，刪除不切合題意，篇幅較短，內(nèi)容雜亂無(wú)章的文章，共計(jì)找到211篇關(guān)于數(shù)學(xué)解題反思的研究論文，構(gòu)成分析樣本．

2 研究方法

數(shù)學(xué)解題反思研究的元研究，主要采用的是文獻(xiàn)分析法和元分析法．文獻(xiàn)分析法主要指搜集、鑒別、整理文獻(xiàn)，并通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)的整理與分析，形成對(duì)事實(shí)科學(xué)認(rèn)識(shí)的方法[1]．文獻(xiàn)分析法可以通過(guò)對(duì)歷史以及當(dāng)前的研究成果進(jìn)行比較分析，了解當(dāng)前該研究主題的現(xiàn)狀，指出該研究問(wèn)題的本質(zhì)和特征，找到有待解決的問(wèn)題，并預(yù)測(cè)該主題未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)．同時(shí)根據(jù)有關(guān)理論基礎(chǔ)、研究條件和實(shí)際需要等，對(duì)各種研究成果進(jìn)行綜合評(píng)述，為今后該主題的研究指明一定的方向．元分析是以綜合已有的發(fā)現(xiàn)為目的，對(duì)單個(gè)研究結(jié)果進(jìn)行綜合的統(tǒng)計(jì)學(xué)分析方法[2]．元分析是一種對(duì)分析的分析，需要盡可能多地搜集研究樣本，觀察由它們所凸顯出的單項(xiàng)研究顯現(xiàn)不出的潛藏規(guī)律．進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究的元研究，需要全面了解，深入分析某段時(shí)間內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)解題反思的已有研究，以便更好地揭示其研究現(xiàn)狀和存在問(wèn)題，并為以后的研究者進(jìn)行該主題研究指明基本方向，故選擇文獻(xiàn)分析法和元分析法作為主要研究方法．

3 主要研究?jī)?nèi)容

將211篇已有文獻(xiàn)作為研究樣本，通過(guò)對(duì)這些研究論文的閱讀、整理，并運(yùn)用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行定量分析．主要研究發(fā)表論文數(shù)量與年份的關(guān)系，論文作者分布情況，參考文獻(xiàn)數(shù)量等“基本情況”，并進(jìn)一步深入分析論文所運(yùn)用的主要研究方法，以及所涉及的主要研究對(duì)象與研究?jī)?nèi)容等，探尋相關(guān)研究的具體特征和變化規(guī)律，并對(duì)此做出一定的評(píng)析，在此基礎(chǔ)上對(duì)后續(xù)教育研究者提出一些研究建議和研究展望．

4 數(shù)學(xué)解題反思研究論文的“基本情況”

4.1 發(fā)表論文數(shù)量與年份的關(guān)系

通過(guò)將某一領(lǐng)域某一時(shí)段的論文數(shù)量情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)、分析和研究，可以在一定程度上了解該領(lǐng)域研究的整體發(fā)展?fàn)顩r．將搜索的211篇論文分別找出相對(duì)應(yīng)的發(fā)表時(shí)間，并將每年的論文數(shù)量情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到關(guān)于數(shù)學(xué)解題反思的發(fā)表論文數(shù)量與年份的關(guān)系（如圖1所示）．

圖1 2007—2016數(shù)學(xué)解題反思論文數(shù)量的年份分布

由圖1可以看出，自2007—2016年，每年都有一定數(shù)量研究數(shù)學(xué)解題反思的論文被中文數(shù)據(jù)庫(kù)“中國(guó)知網(wǎng)”收錄．從2008年開(kāi)始，研究數(shù)學(xué)解題反思的論文數(shù)量逐年增加，尤其從2011年開(kāi)始，每年（除2016年外，2016年較晚發(fā)表的部分研究成果在該研究檢索截至日期應(yīng)該還沒(méi)有進(jìn)入數(shù)據(jù)庫(kù)）所發(fā)表的研究數(shù)學(xué)解題反思的論文數(shù)量明顯增加．這表明，數(shù)學(xué)解題反思越來(lái)越受到數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者的重視．

4.2 論文作者分布情況

211篇研究樣本所涉及的大多數(shù)研究者，都是針對(duì)自己所從事教育階段的學(xué)生，進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究．論文作者的分布在一定程度上反映出論文研究所涉及學(xué)生所處的學(xué)習(xí)階段．將211篇論文作者的單位一一找出，并將單位進(jìn)行分類．在211篇研究樣本中，有兩篇論文第二作者與第一作者單位不同，故論文總數(shù)加2，共計(jì)213篇．關(guān)于數(shù)學(xué)解題反思論文作者的分布情況如表1所示．

表1 2007—2016數(shù)學(xué)解題反思研究論文作者分布情況統(tǒng)計(jì)

從表1可以看出，從事中等教育的教師對(duì)數(shù)學(xué)解題反思的關(guān)注度最高，所占比例高達(dá)86.4%，（其中中專教師對(duì)數(shù)學(xué)解題反思研究的關(guān)注相對(duì)低很多，只有5.2%）；專門的研究人員、小學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)解題反思的關(guān)注度很低，所占比例分別只有1.4%和1.9%．通過(guò)進(jìn)一步分析可知，各教育階段的數(shù)學(xué)教育研究者對(duì)數(shù)學(xué)解題反思都有一定的關(guān)注，且大多數(shù)中小學(xué)教師都是針對(duì)自己所從事教育階段的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究．高等院校和專門的研究機(jī)構(gòu)的研究者，也主要是針對(duì)中等教育階段學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究，針對(duì)其他階段學(xué)習(xí)者的研究很少或者沒(méi)有（比如對(duì)于高等院校的本科生等），這必然導(dǎo)致研究結(jié)果具有一定的局限性．

4.3 論文參考文獻(xiàn)數(shù)量

參考文獻(xiàn)是在學(xué)術(shù)研究過(guò)程中，對(duì)某一著作或論文等信息源整體或部分的參考、借鑒．參考文獻(xiàn)可以使研究者避免重復(fù)性勞動(dòng)；能夠體現(xiàn)論文學(xué)術(shù)上的繼承關(guān)系，以及科學(xué)依據(jù)；為相應(yīng)研究奠定堅(jiān)實(shí)的研究基礎(chǔ)；啟發(fā)與指導(dǎo)相應(yīng)研究；在一定程度上間接地反映出論文的學(xué)術(shù)內(nèi)涵與學(xué)術(shù)價(jià)值；為讀者與其他研究者提供了一種基本的文獻(xiàn)搜索來(lái)源等．總之，對(duì)于教育研究而言，參考文獻(xiàn)具有基本的重要性．

通過(guò)對(duì)211篇數(shù)學(xué)解題反思論文所引用的參考文獻(xiàn)數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（見(jiàn)表2），發(fā)現(xiàn)211篇論文累計(jì)引用745篇文獻(xiàn)，平均每篇論文引用3.5篇文獻(xiàn)，其中有參考文獻(xiàn)與無(wú)參考文獻(xiàn)的研究論文數(shù)量相當(dāng)，（幾乎）各占一半，參考文獻(xiàn)5篇以上的研究論文只有16篇，所占比例為7.6%，且16篇中有11篇是碩士研究生學(xué)位論文，其中引用參考文獻(xiàn)數(shù)量最多為54篇．如果除去11篇碩士研究生學(xué)位論文，200篇數(shù)學(xué)解題反思研究論文平均引用參考文獻(xiàn)的數(shù)量會(huì)更低．

表2 2007—2016數(shù)學(xué)解題反思研究論文參考文獻(xiàn)數(shù)量統(tǒng)計(jì)

5 數(shù)學(xué)解題反思研究論文的“研究方法”“研究對(duì)象”“研究?jī)?nèi)容”

5.1 數(shù)學(xué)解題反思研究論文的研究方法

研究方法是指在研究中發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象、新事物，或提出新理論，發(fā)表新觀點(diǎn)以揭示事物內(nèi)在規(guī)律的工具和手段[3]．研究方法在一定程度上體現(xiàn)出研究者認(rèn)識(shí)問(wèn)題，探討問(wèn)題的視角與深度及解決問(wèn)題的方法和手段等．211篇數(shù)學(xué)解題反思研究論文使用的主要研究方法如表3所示．

表3 2007—2016數(shù)學(xué)解題反思研究論文的研究方法統(tǒng)計(jì)

從表3可以知道，數(shù)學(xué)解題反思研究論文所使用的研究方法主要是經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法，其次是案例分析法，其它的研究方法使用的都比較少．大多數(shù)數(shù)學(xué)解題反思論文，都是教育研究者根據(jù)自己的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，列舉數(shù)學(xué)教學(xué)中的一些具體案例來(lái)闡述對(duì)數(shù)學(xué)解題反思的認(rèn)識(shí)，分析數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值，探討提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）等，故在表3的統(tǒng)計(jì)結(jié)果中，經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法和案例分析法占絕大多數(shù)．大多數(shù)論文只采用了一種或者兩種研究方法，在進(jìn)行一項(xiàng)教育研究的過(guò)程中，研究者只使用一兩種研究方法所得到的研究成果未必科學(xué)、合理和有效．不同的研究方法都有自己的優(yōu)缺點(diǎn)，也都各有自己的適用范圍．教育研究者應(yīng)根據(jù)研究需要與研究條件等，在研究過(guò)程中綜合使用多種研究方法，以實(shí)現(xiàn)不同研究方法的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)．

5.2 數(shù)學(xué)解題反思研究論文的研究對(duì)象

為了更好地了解教育研究者關(guān)于數(shù)學(xué)解題反思研究的重點(diǎn)和方向，進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)解題反思論文研究的現(xiàn)狀，對(duì)211篇研究樣本所涉及的研究對(duì)象進(jìn)行專門分析（如表4所示）．

從表4可以看出，關(guān)于數(shù)學(xué)解題反思研究論文的研究對(duì)象主要分為7大類，研究對(duì)象主要集中在數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值，數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容，以及提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）．涉及到另外4個(gè)研究對(duì)象的研究論文相對(duì)少了很多，其中涉及到數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的研究論文只有5篇，涉及到數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素的研究論文只有10篇．通過(guò)統(tǒng)計(jì)與分析211篇數(shù)學(xué)解題反思研究文獻(xiàn)的研究對(duì)象，可以發(fā)現(xiàn)：（1）大多數(shù)論文涉及的研究對(duì)象不止一個(gè)，很多論文研究了兩個(gè)，甚至兩個(gè)以上，這可能會(huì)導(dǎo)致論文不夠深刻，對(duì)于各個(gè)研究對(duì)象只是泛泛而談，相對(duì)來(lái)說(shuō)研究?jī)r(jià)值會(huì)有所欠缺；（2）選取的研究對(duì)象相對(duì)集中，很多論文有一定的相似性，不少研究只是一味重復(fù)先前研究者做過(guò)的工作，缺乏應(yīng)有的研究?jī)r(jià)值與研究創(chuàng)新；（3）對(duì)數(shù)學(xué)解題反思的相關(guān)概念及理論，數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素，數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化，以及數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用這4大研究對(duì)象的研究相對(duì)較少，以后的教育研究者可以在已有研究的基礎(chǔ)上對(duì)這4個(gè)研究對(duì)象進(jìn)行更加深入的研究．

表4 2007—2016數(shù)學(xué)解題反思研究論文的研究對(duì)象統(tǒng)計(jì)

5.3 數(shù)學(xué)解題反思研究論文的研究?jī)?nèi)容

5.3.1 “數(shù)學(xué)解題反思的相關(guān)概念及理論”的研究?jī)?nèi)容

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，211篇研究樣本中共有17篇涉及“數(shù)學(xué)解題反思的相關(guān)概念及理論”（其中碩士學(xué)位論文有9篇）．其主要研究?jī)?nèi)容是：大多數(shù)研究論文都闡述了教學(xué)反思的概念，數(shù)學(xué)解題反思的概念，以及數(shù)學(xué)解題反思的理論基礎(chǔ)．（1）從教學(xué)反思的概念來(lái)看，不同的教育研究者對(duì)于教學(xué)反思的定義有所不同，有的教育研究者直接引用了西方哲學(xué)、杜威等對(duì)反思概念的闡述，而大多數(shù)研究者是從元認(rèn)知角度來(lái)闡述，認(rèn)為反思的研究對(duì)象是認(rèn)知過(guò)程和認(rèn)知結(jié)果．（2）從數(shù)學(xué)解題反思的概念來(lái)看，不同研究者對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思概念的描述不盡相同，但其本質(zhì)思想較為一致，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題反思是對(duì)數(shù)學(xué)解題活動(dòng)，即數(shù)學(xué)解題過(guò)程及其相應(yīng)解題結(jié)果的反思，是對(duì)數(shù)學(xué)解題活動(dòng)更進(jìn)一步的分析與思考．大多數(shù)教育研究者對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思特征的認(rèn)識(shí)具有一定的一致性，認(rèn)為數(shù)學(xué)解題反思具有探究性、自主性和批判性等．（3）從數(shù)學(xué)解題反思的理論基礎(chǔ)來(lái)看，教育研究者普遍認(rèn)為元認(rèn)知理論和建構(gòu)主義理論是數(shù)學(xué)解題反思的理論基礎(chǔ)，但不同的教育研究者對(duì)其有不盡相同的闡釋，也有教育研究者提出了除以上兩大理論以外的其它理論，作為數(shù)學(xué)解題反思的理論基礎(chǔ)．

5.3.2 “數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值”的研究?jī)?nèi)容

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，211篇研究樣本中共有66篇涉及“數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值”．其主要研究?jī)?nèi)容是：（1）在分析和闡述數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值時(shí)，大多數(shù)研究者對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值的概括具有一定的一致性，都側(cè)重于探討數(shù)學(xué)解題反思對(duì)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化作用，以及對(duì)學(xué)生各方面能力的培養(yǎng)作用．（2）不同的研究者對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值的概括具有較大差異性，這既與研究對(duì)象本身（數(shù)學(xué)解題反思）的復(fù)雜性密切相關(guān)，也與不同的研究者對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思功能與價(jià)值的認(rèn)識(shí)具有一定的相異性密不可分．（3）很多文章在闡述數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值時(shí)主要側(cè)重于分析其某一（幾）方面的作用與價(jià)值．比如徐莉芳、馬文杰（2016）[4]在已有研究的基礎(chǔ)上，主要從知識(shí)結(jié)構(gòu)、能力發(fā)展、思維品質(zhì)3方面進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)解題反思的基本教育價(jià)值，并主要從以下5點(diǎn)來(lái)闡述數(shù)學(xué)解題反思的基本教育價(jià)值：（a）反思解題中用到的知識(shí)要點(diǎn)，有利于優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)；（b）反思解題錯(cuò)因，有利于提高錯(cuò)誤辨析能力；（c）反思題型演變，有利于提高應(yīng)變能力；（d）反思解題方法與過(guò)程，有利于提高解題能力；（e）解題反思有利于提高學(xué)生的思維品質(zhì)．最后，要提及的是，不少研究者在其論文中都涉及到數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值，但有些研究有明顯的重復(fù)性與相似性．

5.3.3 “數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素”的研究?jī)?nèi)容

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，211篇研究樣本中共有10篇涉及“數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素”．其中5篇運(yùn)用問(wèn)卷調(diào)查法，1篇進(jìn)行案例分析，4篇主要運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法．10篇文獻(xiàn)的主要研究?jī)?nèi)容是：分析數(shù)學(xué)解題反思現(xiàn)狀，數(shù)學(xué)解題反思存在的問(wèn)題，以及數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素3類．（1）從數(shù)學(xué)解題反思現(xiàn)狀來(lái)看，當(dāng)前解題反思現(xiàn)狀不佳，學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思能力與數(shù)學(xué)解題反思水平較低，教師也缺乏對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思的引導(dǎo)意識(shí)．（2）從數(shù)學(xué)解題反思存在的問(wèn)題來(lái)看，趙慶富（2012）通過(guò)對(duì)初中教師解題反思教學(xué)的課堂觀察，以及高中學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思的案例分析來(lái)研究數(shù)學(xué)解題反思，從教師和學(xué)生兩個(gè)角度寫(xiě)出了數(shù)學(xué)解題反思存在的問(wèn)題，并提出了相應(yīng)解決措施[5]．（3）綜合分析10篇文獻(xiàn)可知，教育研究者認(rèn)為影響數(shù)學(xué)解題反思能力形成的因素主要有：教師的教，學(xué)生的學(xué)，教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)，教學(xué)評(píng)價(jià)過(guò)于簡(jiǎn)單功利化，等等．相對(duì)而言，已有研究對(duì)“數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素”的探討比較單薄、零碎，不夠深入，也不夠全面．

5.3.4 “數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容”的研究?jī)?nèi)容

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，211篇研究樣本中共有93篇涉及“數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容”．其主要研究?jī)?nèi)容是：（1）許多研究者在分析和闡述數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容時(shí)，具有一定的一致性，都側(cè)重研究反思題目已知條件與求解結(jié)論，反思解題過(guò)程，反思題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)，反思題目中所用到的數(shù)學(xué)思想方法，以及反思題目的變式等．（2）不同研究者所提出的“數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容”具有一定的差異性，研究者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)等闡述其所認(rèn)為的學(xué)生需要進(jìn)行的數(shù)學(xué)解題反思內(nèi)容，在一定程度上體現(xiàn)了不同教育研究者對(duì)于該主題的研究有自己的想法和觀點(diǎn)．（3）不同的文章在闡述反思內(nèi)容時(shí)其研究角度有較大差異．有的研究者將反思解題方法作為基本切入點(diǎn)進(jìn)行了較為深入的分析，從一題多解，多題一解以及一題多變等方面來(lái)闡述，而有的研究者只是從數(shù)學(xué)解題方法方面進(jìn)行簡(jiǎn)單的闡述．不同研究者對(duì)于“數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容”的概括存在較大差異．比如，徐莉芳、馬文杰（2016）主要從反思解題中用到的解題要點(diǎn)，反思解題錯(cuò)因，反思題型演變，反思解題方法與過(guò)程等方面進(jìn)行闡述[4]．安國(guó)釵、張正華（2014）和姜福英（2015）將數(shù)學(xué)解題反思主要分為兩方面：解題層面的回顧反思，以及學(xué)會(huì)解題層面的回顧反思[6-7]，并對(duì)其分別進(jìn)行了一定的探索與分析．

5.3.5 “提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）”的研究?jī)?nèi)容

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，211篇研究樣本中共有96篇涉及“提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）”．其主要研究?jī)?nèi)容是：（1）不同研究者所得出的“提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）”的研究角度具有較大的差異性．有的研究者主要從教師和學(xué)生兩方面闡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑），針對(duì)學(xué)生和教師分別給出一定建議；有的研究者主要從教師、學(xué)生及教學(xué)環(huán)境3方面給出建議；有的研究者給出的建議主要是教師應(yīng)該如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題反思，等等．（2）許多研究者關(guān)于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）具有一定的一致性．一般認(rèn)為要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高反思意識(shí)；教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要注重引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題反思意識(shí)；要營(yíng)造良好的解題反思環(huán)境等．（3）關(guān)于培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑），不同研究者往往側(cè)重于某一（幾）方面進(jìn)行了一定的研究．另外，由于已有較多的研究者對(duì)“提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）”進(jìn)行了一定研究，研究者在進(jìn)行重新研究時(shí)，如果只是把以往的研究?jī)?nèi)容進(jìn)行重新組合，則必然缺乏應(yīng)有的創(chuàng)新之處，這是以后的教育研究者研究此問(wèn)題時(shí)應(yīng)該注意的．

5.3.6 “數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化”的研究?jī)?nèi)容

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，211篇研究樣本中共有22篇涉及“數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化”．其主要研究?jī)?nèi)容是：（1）有些研究者主要依據(jù)思維品質(zhì)的“六性說(shuō)”，來(lái)闡述數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化作用．比如，湯鈞[8]、徐莉芳、馬文杰（2016）[4]等．（2）大多數(shù)研究者對(duì)“數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化”的研究?jī)?nèi)容具有一定的一致性，主要從培養(yǎng)思維的批判性、創(chuàng)造性、靈活性、廣闊性角度對(duì)其進(jìn)行闡述．（3）不同研究者在闡述數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化作用時(shí)有一定的差異性．有的研究者只從培養(yǎng)思維的靈活性或者培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性一個(gè)角度進(jìn)行闡述，有的教育研究者則從多個(gè)方面分析了“數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化”作用．另外，以往的研究者對(duì)數(shù)學(xué)解題反思培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性及系統(tǒng)性方面闡述的比較少，缺乏深入的研究．

5.3.7 “數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”的研究?jī)?nèi)容

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，211篇研究樣本中共有5篇主要研究“數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”，數(shù)量相對(duì)較少．5篇論文中有1篇是通過(guò)具體的題型闡述數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，其它4篇都是研究者結(jié)合自己數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)歷和數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行分析．其中比較一致的看法是：（1）通過(guò)數(shù)學(xué)解題反思調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題反思能力和數(shù)學(xué)解題反思水平；（2）通過(guò)數(shù)學(xué)解題反思促進(jìn)學(xué)生對(duì)解題思路，解題過(guò)程和相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行思考和探究．另外，也有研究者在闡述數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用時(shí)，有一些相對(duì)“特別的看法”．比如，徐北康（2013）認(rèn)為數(shù)學(xué)解題反思在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)了教學(xué)相長(zhǎng)關(guān)系的形成[9]，等等．

5.4 已有研究的可取之處

綜合分析211篇研究樣本，已有研究在以下3個(gè)方面具有一定的可取之處．（1）研究者能夠敏銳發(fā)現(xiàn)當(dāng)前數(shù)學(xué)教育研究中的“熱點(diǎn)問(wèn)題”，具有較高的數(shù)學(xué)教育研究熱情．新課改后數(shù)學(xué)解題反思一直是數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)之一．從2007—2016年所發(fā)表的數(shù)學(xué)解題反思研究文獻(xiàn)的分布情況可以看出，數(shù)學(xué)教育研究者善于捕捉當(dāng)下數(shù)學(xué)教育研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，并在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐，數(shù)學(xué)教育經(jīng)驗(yàn)總結(jié)等基礎(chǔ)上，進(jìn)行了積極的探索，提出了相應(yīng)的看法．（2）有較多的研究者（50%）在研究過(guò)程中積極參考并借鑒已有相關(guān)研究，為自己的研究建立了比較牢固的基礎(chǔ)．研究者積極借鑒已有相關(guān)研究，并在自己的研究成果中以適當(dāng)方式進(jìn)行說(shuō)明（標(biāo)注），既揭示了自己的研究和已有研究的繼承與創(chuàng)新關(guān)系，為自己的研究奠定了牢固基礎(chǔ)，增強(qiáng)了論文的信度與效度，也完善了研究成果．另外，在研究成果中以適當(dāng)方式標(biāo)注在研究過(guò)程中所參考的相關(guān)研究文獻(xiàn)，也是對(duì)已有研究者及其研究成果的尊重．（3）不同研究者選擇的研究對(duì)象具有一定的多樣性，研究過(guò)程和研究結(jié)論各有側(cè)重．從不同角度豐富了數(shù)學(xué)解題反思的研究成果，也在一定程度上體現(xiàn)了研究者獨(dú)到的感悟和見(jiàn)解，各自都有一定的創(chuàng)新之處．

5.5 已有研究的主要不足

綜合分析211篇研究樣本，已有研究在以下3個(gè)方面具有明顯不足之處．（1）研究領(lǐng)域過(guò)于狹?。畯氖轮械冉逃臄?shù)學(xué)教師對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思的關(guān)注度較高，所研究的領(lǐng)域主要集中在初高中數(shù)學(xué)教育，針對(duì)其它教育階段的研究要少很多，或幾乎沒(méi)有．（2）研究對(duì)象選擇過(guò)于集中．對(duì)一些研究對(duì)象的研究力度不夠，比如說(shuō)對(duì)“影響數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素”等4個(gè)研究對(duì)象的研究力度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，而對(duì)另一些研究對(duì)象，比如，提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）等3個(gè)研究對(duì)象的研究過(guò)于集中，導(dǎo)致很多研究成果具有明顯的重復(fù)．（3）經(jīng)驗(yàn)性研究居多．大多數(shù)教育研究者對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思相關(guān)問(wèn)題的探討，主要依據(jù)其數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行初步的分析，這使得相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)解題反思研究文獻(xiàn)具有明顯的經(jīng)驗(yàn)性與片面性，缺乏應(yīng)有的理論性與概括性，等等．

6 研究結(jié)論與展望

綜合分析211篇研究樣本，對(duì)數(shù)學(xué)解題反思的“研究現(xiàn)狀”，以及未來(lái)的“研究趨勢(shì)”，概括與展望如下．

（1）從論文作者的分布情況來(lái)看，進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究的主要研究者是初高中數(shù)學(xué)教師，且其研究主要集中于初高中教育階段．大學(xué)教師、本科生以及研究生也主要是針對(duì)中等教育階段進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究，針對(duì)小學(xué)教育階段進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究的論文要少很多，而針對(duì)本科及以上教育階段進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究的論文幾乎沒(méi)有．每個(gè)階段的學(xué)生都有其特殊的個(gè)性特征與認(rèn)知特征，故針對(duì)某階段學(xué)習(xí)者的研究成果未必適用于其它階段的學(xué)習(xí)者．以后的研究者可以針對(duì)小學(xué)教育階段，本科及其以上教育階段，對(duì)數(shù)學(xué)解題反思進(jìn)行專門研究．在這方面已有相關(guān)研究可供參考與借鑒，比如唐劍嵐、周瑩（2009）[10]，等等．這樣既有助于這些學(xué)段的學(xué)生提高其數(shù)學(xué)解題反思能力，也能夠拓展數(shù)學(xué)解題反思的研究領(lǐng)域，豐富數(shù)學(xué)解題反思的研究成果，提高數(shù)學(xué)解題反思的研究?jī)r(jià)值．

（2）從參考文獻(xiàn)的數(shù)量來(lái)看，有無(wú)參考文獻(xiàn)的研究論文（幾乎）各占一半，且參考文獻(xiàn)數(shù)量偏少，平均每篇論文引用3.5篇參考文獻(xiàn)．在一定程度上而言，缺乏相應(yīng)參考文獻(xiàn)似乎是數(shù)學(xué)教育研究論文一個(gè)較為普遍的現(xiàn)象[11]．對(duì)一項(xiàng)教育研究而言，已有相關(guān)研究文獻(xiàn)具有基本的重要性．研究者在進(jìn)行一項(xiàng)教育研究之前，都應(yīng)該充分收集、整理與分析已有相關(guān)研究文獻(xiàn)，防止自己所做的是重復(fù)或者無(wú)效的工作，同時(shí)還可為自己的研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，或從已有研究中得到一定的啟發(fā)與指導(dǎo)，并在已有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)行更深層次的研究和探討，以期實(shí)現(xiàn)研究創(chuàng)新，提升研究?jī)r(jià)值．以后的研究者進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思的相應(yīng)研究時(shí)，應(yīng)該在充分占有相關(guān)研究（文獻(xiàn)）的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行深入分析，批判吸收與合理運(yùn)用．

（3）從研究方法來(lái)看，已有數(shù)學(xué)解題反思研究文獻(xiàn)主要運(yùn)用了經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法和案例分析法．經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法有很強(qiáng)的個(gè)人主觀色彩，往往缺乏充足的科學(xué)依據(jù)，這使得研究成果缺乏應(yīng)有的說(shuō)服力．“過(guò)于注重某一種或兩種方法對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究的開(kāi)展是不利的”[11]，在數(shù)學(xué)教育研究過(guò)程中，應(yīng)該根據(jù)研究需要與研究條件，綜合運(yùn)用多種研究方法，以期研究方法之間互為補(bǔ)益．比如在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思研究時(shí)，可根據(jù)具體研究需要，將經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法、調(diào)查研究法、實(shí)驗(yàn)研究法等結(jié)合起來(lái)使用，以期研究過(guò)程更加科學(xué)有效，研究成果更為真實(shí)可靠．

（4）從研究對(duì)象來(lái)看，論文所涉及的主要研究對(duì)象分布不均衡．已有研究主要集中在數(shù)學(xué)解題反思的作用與價(jià)值，數(shù)學(xué)解題反思的內(nèi)容，提高數(shù)學(xué)解題反思能力的方法（途徑）這3個(gè)方面．對(duì)于數(shù)學(xué)解題反思的概念及相關(guān)理論，數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素，數(shù)學(xué)解題反思對(duì)思維品質(zhì)的優(yōu)化，以及數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用這4方面的研究要少很多，導(dǎo)致研究成果不夠全面．另外，很多研究論文涉及多個(gè)研究對(duì)象，但對(duì)每一個(gè)研究對(duì)象只是泛泛而談，并沒(méi)有進(jìn)行深入探究．針對(duì)數(shù)學(xué)解題反思所涉及的各個(gè)研究對(duì)象，研究者還需要進(jìn)行更為科學(xué)、全面、深入的研究．另外，在一篇論文中研究者只要把一個(gè)研究對(duì)象研究透徹，交代明白就可以了，而沒(méi)有必要泛泛而談，面面俱到．

（5）從研究?jī)?nèi)容來(lái)看，針對(duì)不同研究對(duì)象的研究?jī)?nèi)容有較大差異，針對(duì)同一研究對(duì)象的研究?jī)?nèi)容，因其研究側(cè)重不同也有所不同．但總體來(lái)看，研究?jī)?nèi)容思辨性成分多，而實(shí)證性內(nèi)容少，很多研究?jī)?nèi)容具有一定的重復(fù)性，創(chuàng)新程度不高．而研究論文的關(guān)鍵在于創(chuàng)新，或至少說(shuō)要“新”[12]．以后的研究者進(jìn)行該主題的研究時(shí)，應(yīng)該在已有研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)行更深層次的挖掘，或者選取不同的角度進(jìn)行更有價(jià)值的探究，爭(zhēng)取能夠做到有所創(chuàng)新，有所突破．以后的研究者進(jìn)行該主題的研究時(shí)，可以在以下幾個(gè)方面進(jìn)行更深入的探究：（a）結(jié)合已有研究和教育實(shí)踐探索，從更廣闊的理論視角，進(jìn)一步分析數(shù)學(xué)解題反思的相關(guān)概念及理論．（b）結(jié)合已有研究，在理論分析和“實(shí)證”研究[12]的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)解題反思能力形成的影響因素進(jìn)行更為科學(xué)、更為全面、更為深入的研究與分析，探尋影響數(shù)學(xué)解題反思能力形成的主要因素，提出提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題反思能力的有效方法（途徑）．（c）結(jié)合已有研究，在理論分析和“實(shí)證”研究的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步揭示數(shù)學(xué)解題反思對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的優(yōu)化主要體現(xiàn)在哪些方面？數(shù)學(xué)解題反思為何可以優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)？數(shù)學(xué)解題反思是如何實(shí)現(xiàn)優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的（機(jī)理與過(guò)程）？并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析數(shù)學(xué)解題反思對(duì)學(xué)生主要產(chǎn)生哪些方面的影響？等等．（d）結(jié)合已有研究，在理論分析和“實(shí)證”研究的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行更全面、更深入的研究，促使數(shù)學(xué)解題反思，乃至更廣泛的數(shù)學(xué)反思與數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐真正相結(jié)合[13-15]，進(jìn)而通過(guò)“數(shù)學(xué)反思性教學(xué)”[16]促進(jìn)學(xué)生“反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”[17]，并逐步培養(yǎng)其“數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力”[18-34]，等等．

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[20] 程明喜，馬云鵬．澳門小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)信念的質(zhì)化研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：41-45．

[21] 葉立軍，鄭欣．專家型數(shù)學(xué)教師代數(shù)復(fù)習(xí)課提問(wèn)行為研究——以一次函數(shù)和反比例函數(shù)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：46-49．

[22] 何憶捷，熊斌．中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法解題的思維模式及教育價(jià)值[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：50-53．

[23] 陸明明．?dāng)?shù)學(xué)教科書(shū)例題的分類及其教學(xué)建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：54-58．

[24] 羅荔齡，曹廣福．中學(xué)數(shù)學(xué)部分概率內(nèi)容的問(wèn)題與建議[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（2）：65-69．

[25] 孟夢(mèng)，李鐵安．“問(wèn)題化”：數(shù)學(xué)“史學(xué)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的實(shí)踐路徑[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：72-75．

[26] 沈威，陸珺．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)課例研究的若干形態(tài)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：76-80．

[27] 楊博諦，趙天緒，劉燚．論中學(xué)數(shù)學(xué)課程政策的價(jià)值取向演變及發(fā)展趨勢(shì)——基于對(duì)教學(xué)目的（課程目標(biāo)）的分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：81-84．

[28] 谷曉沛，馬云鵬，朱立明．高一學(xué)生函數(shù)概念數(shù)學(xué)理解水平的實(shí)證研究——以T城市為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：25-29．

[29] 唐恒鈞，HAZEL TAN，徐元根，等．基于問(wèn)題鏈的中學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)研究——一項(xiàng)課例研究的啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：30-34．

[30] 劉春艷．理解試題內(nèi)涵 把好教學(xué)方向——從一道北京中考試題說(shuō)起[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：35-38．

[31] 卜文娟，溫紅博，劉先偉．初中學(xué)業(yè)水平考試中固定分?jǐn)?shù)法標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的信度分析——以中考數(shù)學(xué)為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：39-44．

[32] 崔寶蕊，李健，王光明．初中生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平調(diào)查問(wèn)卷的設(shè)計(jì)與編制[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：45-51．

[33] 王紅兵．針對(duì)初中畢業(yè)階段學(xué)生范希爾幾何思維水平的調(diào)查及其分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（3）：52-56．

[34] 李昌官．追尋直覺(jué)背后的邏輯與引領(lǐng)邏輯的直覺(jué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（4）：76-81．

The Meta-Research on the Study of Mathematical Problem-Solving Reflection

MA Wen-jie1, XU Li-fang2

(1. School of Mathematics and Information Engineering, Taizhou University, Zhejiang Linhai 317000, China; 2. Kaihua No.1 Middle School, Zhejiang Quzhou 324300, China)

The paper mainly studied the 211 research papers of mathematical problem-solving reflection. Through literature analysis and meta-analysis,This paper mainly analyzed the following contents of these research papers: “the basic situation”, the research methods, the research objects and the research contents. On this base, the existing studies wereevaluated and the main research conclusions and prospects were drawn. So that mathematics teachers and mathematics education researchers could understand the subject conveniently. The main conclusions were as follows: (1) The main researchers on mathematical problem-solving reflection were Junior and high school mathematics teachers，and the researchesmainly focus on the stage of junior and high school education; (2) Almost half of the papers had reference, while the other half had no reference, and the number of references was less,the average number of references of each paper was 3.5; (3)The main research methods were Experiential Summary Method and Case Analysis; (4)The distribution of the main research objects in the papers was not balanced; (5) There were a lot of differences in the research contents of the different research objects, and the research contents of the same object was somewhat different because ofthe focuses of the studies are different.

mathematical problem-solving reflection; literature analysis; meta-analysis

2018–09–07

2017年度浙江省高等學(xué)校訪問(wèn)學(xué)者教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目——數(shù)學(xué)教育研究的一般過(guò)程與方法（FX2017066）；浙江省教育廳科研項(xiàng)目——應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下地方高師院校數(shù)學(xué)教育類課程教學(xué)改革的實(shí)踐研究（2017SCG154）

馬文杰（1978—），男，甘肅天水人，教育學(xué)博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論、課程與教學(xué)論研究．

G420

A

1004–9894（2018）05–0093–06

馬文杰，徐莉芳．“數(shù)學(xué)解題反思”研究的元研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（5）：93-98．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳雋]