一類三圈連接圖TK關于Hosoya指標的排序

尚婭璇，田文文

(1.中南林業(yè)科技大學 材料科學與工程學院, 湖南 長沙 410004;2.西安交通大學 機械工程學院, 陜西 西安 710049)

0 引言

Hosoya指標是由日本化學家Haruo Hosoya于1971年在文獻[1]中提出并進行研究的, 它表示圖G中所有匹配的數(shù)目, 記為μ(G). 該指標與物質的沸點、熵、化學鍵的計算和化學結構等有著密切的聯(lián)系, 且有著較為廣泛的應用, 相關的應用參見文獻[2-4]. 文獻[5]中確定了單圈圖關于Hosoya指標的排序; 文獻[6]中確定了雙圈圖中最小的Hosoya指標, 并刻畫了相應的極圖; 文獻[7]中確定了一類特殊雙圈圖的Hosoya指標的排序; 文獻[8]中確定了連通的三圈圖中最小的Hosoya指標, 并刻畫了相應的極圖; 文獻[9]中研究了這類三圈圖關于Merrifield-Simmons指標的排序. 本文主要研究了文獻[9]中所給的三圈圖Tk關于Hosoya指標的排序問題.

圖1 三圈圖Tk、Tk+1和Tk+2

圖Tk是由三個圈Cm、Cq和Cn構成的三圈連接圖, 其中Cm和Cq共用一條邊ab,Cq和Cn共用一條邊vkvk+1. 類似的可以定義Tk+1和Tk+2, 如圖1所示.

1 預備知識

在證明主要結論之前, 我們先介紹以下幾個引理:

引理1[3]設G是一個簡單的連通圖, 對任意的v∈V(G),uv∈E(G), 則

引理3[3]對于n階的路Pn, 有μ(Pn)=fn+1.

引理4[3]對于n階的圈Cn,有μ(Cn)=fn+1+fn-1.

由引理1～4我們可得以下結論:

圖2 圖H

引理6 對于如圖2所示的圖H, 有

μ(H)=(fm+1+fm-1)fα+1fβ+1+fm(fα+1fβ+fαfβ+1)+fm-1fαfβ.

證明由引理可知

μ(H)=μ(H-ax1)+μ(H-a-x1)

=μ(H-ax1-by1)+μ(H-ax1-b-y1)+μ(H-a-x1-by1)+μ(H-a-x1-b-y1)

=(fm+1+fm-1)fα+1fβ+1+fmfα+1fβ+fmfαfβ+1+fm-1fαfβ

=(fm+1+fm-1)fα+1fβ+1+fm(fα+1fβ+fαfβ+1)+fm-1fαfβ.

2 主要結果及其證明

該類三圈連接圖Tk關于Hosoya指標的排序, 我們可以得出以下結論:

證明如圖1所示, 由引理可知

μ(Tk)=μ(Tk-υκυκ+1)+μ(Tk-υκ-υκ+1)

=μ(Tk-vkvk+1-ab)+μ(Tk-vkvk+1-a-b)+μ(Tk-vk-vk+1)

=(fm+n+q-3+fm+n+q-5)+fm-1fn+q-3+

fn-1·[(fm+1+fm-1)fkfq-k-2+fm(fkfq-k-3+fk-1fq-k-2)+fm-1fk-1fq-k-3].

同理, 可得

μ(Tk+1)=(fm+n+q-3+fm+n+q-5)+fm-1fn+q-3+

fn-1·[(fm+1+fm-1)fk+1fq-k-3+fm(fk+1fq-k-4+fkfq-k-3)+fm-1fkfq-k-4]；

μ(Tk+2)=(fm+n+q-3+fm+n+q-5)+fm-1fn+q-3+

fn-1·[(fm+1+fm-1)fk+2fq-k-4+fm(fk+2fq-k-5+fk+1fq-k-4)+fm-1fk+1fq-k-5].

下面比較μ(Tk)與μ(Tk+1)的大小關系.

μ(Tk)-μ(Tk+1)=fn-1·[(fm+1+fm-1)(fkfq-k-2-fk+1fq-k-3)+

fm(fk-1fq-k-2-fk+1fq-k-4)+fm-1(fk-1fq-k-3-fkfq-k-4)].

由引理5可知

因此, 有

μ(Tk)-μ(Tk+1)=(-1)kfq-2k-3fn-1·[-(fm+1+fm-1)+fm+fm-1]=

(-1)k+1fq-2k-3fm-1fn-1.

故當k為偶數(shù)時，μ(Tk)<μ(Tk+1)；當k為奇數(shù)時,μ(Tk>μ(Tk+1).

下面比較μ(Tk)與μ(Tk+2)的大小關系.

μ(Tk)-μ(Tk+2)=fn-1·[(fm+1+fm-1)(fkfq-k-2-fk+2fq-k-4)+

fm(fkfq-k-3+fk-1fq-k-2-fk+2fq-k-5-fk+1fq-k-4)+fm-1(fk-1fq-k-3-fk+1fq-k-5)].

由引理5可知

因此, 有

μ(Tk)-μ(Tk+2)=(-1)kfq-2k-4fn-1·[-(fm+1+fm-1)+fm+fm-1]=(-1)k+1fq-2k-4fm-1fn-1.

故當k為偶數(shù)時,μ(Tk)<μ(Tk+2)；當k為奇數(shù)時,μ(Tk)>μ(Tk+2).