多點激勵下大跨高低墩連續(xù)拱橋地震響應(yīng)分析

連夢磊，楊德健，王清龍

（天津城建大學(xué) 土木工程學(xué)院，天津 300384）

近年來，西部大開發(fā)的大力發(fā)展，促進了西部山區(qū)交通的快速發(fā)展.公路、橋梁的大量修建給西部發(fā)展提供了必要的條件[1].由于西部多山區(qū)，溝谷，山區(qū)地形復(fù)雜，山高坡陡，修建跨越溝谷山頭的橋梁成為首要解決的任務(wù).因為這些橋梁要跨過河谷或深溝[2-4]，所以這些橋梁表現(xiàn)為上部結(jié)構(gòu)一般為連續(xù)剛構(gòu)或多跨連續(xù)梁的特點，而下部相鄰橋墩墩高則相差懸殊[5].拱橋跨越能力較大，能充分做到就地取材，與梁式橋相比可以省大量的鋼材和水泥，耐久性好，而且養(yǎng)護和維修費用少，因此在橋梁工程中得到越來越多的應(yīng)用.地震現(xiàn)場的實測資料表明，即使在50 m的范圍內(nèi)，地基各點振動的幅值和相位也有很大差別[6].因此需要對存在墩高差的大跨橋梁進行多點激勵和考慮墩高差的多點激勵，以此來確?？拐鹪O(shè)計的安全性.

1 多點激勵運動方程

對于大型的空間結(jié)構(gòu)，地震時地面各支撐點的運動不應(yīng)視作相同的.一方面是由于行波效應(yīng)所導(dǎo)致地面運動的多樣性，另一方面是由于局部土壤的不同導(dǎo)致地震波中各種頻率成分的含量不同，即局部場地效應(yīng).因此，地震方面的研究已不僅局限于結(jié)構(gòu)的每個支座均承受相同地震激勵影響，多點激勵輸入下的響應(yīng)分析已成為結(jié)構(gòu)抗震研究和工程設(shè)計需要考慮的熱點問題.多點激勵下，結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不僅取決于相對位移，還與結(jié)構(gòu)支座處地震動輸入差異相關(guān).

對一個自由度為n的線彈性離散結(jié)構(gòu)體系，在有m個支點受到地面運動的非一致激勵時，其運動方程可以寫成矩陣形式，具體形式如下

其中：M為結(jié)構(gòu)非約束自由度的N×N維質(zhì)量矩陣；C為結(jié)構(gòu)非約束自由度的N×N維阻尼矩陣；K為結(jié)構(gòu)非約束自由度的N×N維剛度矩陣；Mg為結(jié)構(gòu)非約束自由度的m×m維質(zhì)量矩陣；Cg為結(jié)構(gòu)非約束自由度的m×m維阻尼矩陣；Kg為結(jié)構(gòu)非約束自由度的m×m維剛度矩陣；Mc為M和Mg這兩組自由度耦合的N×m維質(zhì)量矩陣；Cc為C和Cg這兩組自由度耦合的N×m維阻尼矩陣；Kc為K和Kg這兩組自由度耦合的N×m維剛度矩陣；y¨、y˙、y 分別表示絕對坐標系下非支座節(jié)點的 N維絕對加速度、速度和位移列向量；u¨、u˙、u 分別表示絕對坐標系下支座節(jié)點的m維加速度、速度和位移列向量；P為m維支座反力列向量.

從運動方程（1）可以得到：My¨+Mcu¨+Cy˙+Ccu˙+Ky+Kcu=0，即

為了求解上式，將結(jié)構(gòu)非支座節(jié)點處的絕對位移分為兩部分，即

式中：ys為不考慮慣性力時由于地面運動所引起的擬靜力位移向量；yd為結(jié)構(gòu)由于慣性力所引起的動位移向量.

將方程（3）代入方程（2）中得

實際上，對于每個瞬間，Kys+Kcu=0，從而可以得到

其中：R=-K-1Kc稱為影響矩陣.

將方程（5）代入方程（4）中，得

對于將質(zhì)量理想化為集中在自由度處的結(jié)構(gòu)，質(zhì)量矩陣是對角陣，這意味著Mc為一個空矩陣，即Mc=0.且通常普遍認為，雖然速度項（即阻尼項）-（CR+Cc）u˙不為 0，但是與加速度項（即慣性項）-MRu¨相比，速度項很小，可以忽略不計.則方程（6）轉(zhuǎn)化為

式（7）即求解結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的多點加速度輸入模型.

2 高低墩橋梁模型概況

跨越山谷的橋梁往往兩側(cè)橋墩較低，中間橋墩較高，為詳細研究高低墩橋梁在多點激勵下的地震響應(yīng)分析，建立了兩個橋梁模型.模型一為2跨連續(xù)拱橋，橋墩固結(jié)，兩側(cè)橋墩高6 m，中間橋墩高19 m，墩高差13 m.跨徑布置為25 m+100 m+100 m+25 m.橋梁模型正視圖如圖1所示.模型二除2號橋墩為19 m外，其余布置和模型一相同，橋梁模型正視圖如圖2所示.

運用abaqus軟件建立橋梁有限元模型，兩個橋梁模型梁單元均采用B32單元，小于500 mm的梁單元采用B31單元，橋面板單元采用S4R.結(jié)構(gòu)自振周期采用的是特征向量法求解，動力方程求解方法采用的是直接積分法.

對于模型一和模型二各橋墩的土層參數(shù)如表1所示.

表1 土層參數(shù)

圖1 橋梁模型1正視圖（單位：m）

圖2 橋梁模型2正視圖（單位：m）

3 輸入地震波分析

多點地震動輸入是指在隨機地震動合成時考慮地面的空間變化（如局部場地效應(yīng)、行波效應(yīng)以及相干效應(yīng)等）的影響[7].該橋梁場地類型按Ⅱ，設(shè)防烈度按8（0.2 g），特征周期按0.25 s考慮.

（1）多點激勵地震波.由目標反應(yīng)譜擬合，通過目標功率譜[8]和相干函數(shù)[9]，生成只考慮多點激勵的地震波.對于橋梁的影響，模型一和模型二在各點的地震波是相同的.根據(jù)人工生成地震波的原理，對幅值譜和相位差譜經(jīng)快速傅里葉逆變換可以得到地震波的時程曲線[10].1至5點的地震波時程曲線如圖3所示.

目標功率譜采用Clough-Penzien譜，水平地震波的遲滯相干函數(shù)選擇Hao模型，擬合的規(guī)范反應(yīng)譜分別依據(jù)現(xiàn)行公路橋梁規(guī)范生成目標場地多點地震動[11].1點和3點的實際功率譜和目標功率譜的擬合曲線如圖4所示，從圖中可以看出曲線擬合良好.

圖3 地震動加速度時程曲線

（2）考慮墩高差的多點激勵地震波.對于存在墩高差的橋梁，橋梁的墩高差對橋梁的抗震性能的影響主要由橋墩多處地層厚度及土層性質(zhì)差異所致.文獻[12]中結(jié)合多層土體的傳遞函數(shù)給出了地下地震動反應(yīng)譜和功率譜模型的推導(dǎo)方法.結(jié)合地下多點地震動合成方法，利用文獻[12]中求出的地下功率譜、反應(yīng)譜和相干函數(shù)可得到考慮墩高差的地震波.

圖4 實際功率譜和規(guī)范功率譜擬合曲線

對于模型一，橋墩3和各橋墩的墩底高度差為13 m，除3#點的地震波之外，其余各點地震動均與多點激勵地震波一樣，故僅介紹3#點地震波.考慮墩高差影響的3#點地震動時程曲線（見圖5），圖6畫出了考慮墩高差影響的3#點實際功率譜和目標功率譜的擬合圖，從圖中可以看出曲線擬合良好.

對于模型二，橋墩2和橋墩3與各橋墩的墩底高度差為13 m，除2#點的地震波外，其余各點的地震波均與模型一在考慮墩高差時各點的地震波一樣.圖7給出了2#點的地震動加速度時程，考慮墩高差影響的2#點實際功率譜和目標功率譜以及實際反應(yīng)譜和目標反應(yīng)譜的擬合曲線良好.

圖5 3#點地震動加速度時程曲線

圖6 3#點實際功率譜和規(guī)范功率譜擬合曲線

圖7 模型二2#點地震動加速度時程曲線

綜上所述，兩種激勵形式下的輸入地震波其實際功率譜和反應(yīng)譜均與所選擇的目標函數(shù)之間擬合良好，因此這些輸入地震波具有良好的實用性及可靠性.

4 不同激勵方式下橋梁的時程分析與對比

連續(xù)拱橋在多點激勵，考慮墩高差的多點激勵下，各個橋墩墩底剪力和彎矩的峰值詳見表2-3.為了更清楚地進行對比，采用的是兩兩對比.

表2 各個橋墩墩底剪力峰值比較 kN

表3 各個橋墩墩底彎矩峰值比較 kN·m

從表2-3可知，在考慮墩高差影響的多點激勵下各橋墩墩底剪力和彎矩均小于在多點激勵下各橋墩墩底的剪力和彎矩，但相比之下相差很小.

模型二在多點激勵，考慮墩高差的多點激勵下，各個橋墩墩底剪力和彎矩的峰值詳見表4-5.

表4 各個橋墩墩底剪力峰值比較 kN

表5 各個橋墩墩底彎矩峰值比較 kN·m

從表4-5可以看出，多點激勵和考慮了墩高差的多點激勵相比，各橋墩墩底剪力和彎矩變化較為顯著，并且在這兩種不同激勵方式下，不同橋墩墩底剪力和彎矩大小變化不一，各有增減.

從表2、4以及表3、5可以看出，兩個模型在同一種激勵方式下，相同的橋墩墩底剪力和彎矩變化顯著，并且大小變化不一，各有增減，相同位置內(nèi)力相差最大可達50%.

5 結(jié)論

（1）模型一和模型二在同一種激勵方式下，相同點地震內(nèi)力相差很大，因高墩數(shù)量的增加，使得橋梁的整體柔性變大，同時改變了橋梁的頻率，使橋梁在同一種激勵方式下地震響應(yīng)相差很大.

（2）對于大跨高低墩連續(xù)拱橋，當(dāng)高墩數(shù)量較少時，在考慮墩高差影響的多點激勵下各橋墩墩底剪力和彎矩均小于在多點激勵下各橋墩墩底的剪力和彎矩，但相差很小.隨著高墩數(shù)量的增加，在考慮了墩高差影響的多點激勵下，各橋墩墩底剪力和彎矩與多點激勵相比變化較為顯著.但是在這兩種不同激勵下，不同橋墩墩底剪力和彎矩大小變化不一，各有增減.

（3）對于大跨高低墩連續(xù)拱橋，在進行橋梁結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計計算時，不同工況下橋梁的地震響應(yīng)有所不同且最危險的狀態(tài)并不一定出現(xiàn)在某一特定工況下.因此，建議各工況取包絡(luò)的方式選取最不利狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)的設(shè)計依據(jù).