基于OWA算子的三角模糊數(shù)多屬性組合決策方法

林友諒，李 武，秦小麗

（1.湖南理工學(xué)院a.經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院；b.信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414006；2.宿遷學(xué)院 商學(xué)院，江蘇 宿遷 223800）

0 引言

對(duì)于給出信息為三角模糊數(shù)的多屬性決策問(wèn)題，學(xué)者們依據(jù)不同的假設(shè)提出了很多研究方法[1-6]。受運(yùn)作機(jī)理差異影響，不同決策方法可能導(dǎo)致差異性的結(jié)果。由于決策過(guò)程外部條件和自身知識(shí)水平制約，決策者通常難于選擇恰當(dāng)?shù)臎Q策方法，因此，為提高決策的準(zhǔn)確性，利用文獻(xiàn)[7]提出的“組合”思想進(jìn)行決策非常重要?！敖M合”研究可分為基于評(píng)價(jià)值[8,9]和基于評(píng)價(jià)序[10]的研究，一般認(rèn)為，評(píng)價(jià)值較序值有更大的信息量，因而較多學(xué)者利用評(píng)價(jià)值進(jìn)行“組合”研究，而運(yùn)用評(píng)價(jià)序進(jìn)行“組合”研究的文獻(xiàn)相對(duì)較少。對(duì)于三角模糊數(shù)決策問(wèn)題，因?yàn)槿ツ：椒ɑ蛘邲Q策原理的差異，各種方法得出的評(píng)價(jià)值會(huì)有較大差異甚至不具有可比性，從而更需要研究基于評(píng)價(jià)序的組合評(píng)價(jià)方法?，F(xiàn)有關(guān)于序數(shù)組合決策的研究方法主要有序號(hào)總和法、均值法、borda法、copeland法等，尚未見(jiàn)文獻(xiàn)利用有序加權(quán)平均(OWA)算子[11]研究組合評(píng)價(jià)或組合決策問(wèn)題。而OWA算子關(guān)注決策過(guò)程中集結(jié)位置的重要性[1,2,12,13]，可集結(jié)各類(lèi)決策信息，已被廣泛應(yīng)用于決策分析、模糊系統(tǒng)等領(lǐng)域，在信息集成方面有其特有優(yōu)勢(shì),應(yīng)該可以利用OWA算子來(lái)研究組合決策問(wèn)題。OWA算子應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題在于如何確定位置的權(quán)重，對(duì)于組合研究問(wèn)題，適宜采用“基于離散正態(tài)分布思想”[13]的賦權(quán)方法，而新的賦權(quán)公式的提出也很有意義。

基于此，本文提出兩種新的賦權(quán)公式，并基于OWA算子研究組合決策方法,利用多種決策方法對(duì)多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行初次求解,然后對(duì)決策序值利用OWA算子進(jìn)行集結(jié)，進(jìn)而確定方案最終排序，為解決屬性值為三角模糊數(shù)的多屬性決策問(wèn)題提供一種新的思路。

1 問(wèn)題描述

對(duì)于一個(gè)三角模糊數(shù)多屬性決策問(wèn)題,設(shè)有m個(gè)方案，A={A1,A2,…,Am}，n個(gè)決策屬性，C={C1,C2,…,Cn}，屬性權(quán)重ω={ω1,ω2,…,ωn}，滿(mǎn)足ωj∈ [0,1]，且記第i個(gè)方案Ai對(duì)第j個(gè)屬性Cj的屬性值為aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)，[m×n為屬性矩陣，其中aij為三角模糊數(shù)。決策者有l(wèi)種可選的決策方法,L={L1,L2,…,Ll}，需要求出所有備選方案的最終排序結(jié)果。

2 基于OWA算子的序數(shù)組合決策方法

2.1 決策階段

如表1所示，以上問(wèn)題的解決可分三個(gè)階段，去模糊化，多屬性決策，結(jié)果組合。

表1 三角模糊數(shù)多屬性組合決策過(guò)程

幾何距離法也是常用的方法，有：

梯級(jí)平均綜合表示法去模糊化后的值：

多屬性決策：該階段利用屬性權(quán)重與屬性評(píng)價(jià)值集結(jié)出各方案的綜合值。主要有加權(quán)和法（SAW），加權(quán)積法（WP）和TOPSIS法等多種決策方法。對(duì)于效益性指標(biāo),設(shè)屬性權(quán)重為ω={ω1,ω2,…,ωn}，屬性評(píng)價(jià)值為rij,則多屬性方法計(jì)算如下。

加權(quán)和法計(jì)算方法如式（4）,其原理是先將屬性權(quán)重與屬性評(píng)價(jià)值分別相乘,再求和匯總得出綜合值Vi,Vi越大,方案 Ai越優(yōu)。

加權(quán)積法計(jì)算方法如式（5）所示，其原理是先對(duì)屬性值按屬性權(quán)重求冪,再求積得出綜合值Vi，Vi越大，方案Ai越優(yōu)。

TOPSIS法先按式（6）分別確定正、負(fù)理想解,再按式（7）求出方案 Ai與理想解的距離和ˉ,再按式（8）計(jì)算出綜合值Vi。Vi越大,方案Ai越優(yōu)。

組合決策階段：前面兩個(gè)階段選擇的方法不同，可能產(chǎn)生不同的排序結(jié)果，該階段將各種方法的排序結(jié)果進(jìn)行組合，基于OWA算子，確定方案最終排序。

2.2 OWA算子

定義1[1-3]：設(shè)f:Rn→R 為n元函數(shù),若 f(a1，a2，...，an)=，其中bj是a1,a2,…,an中按從大到小的順序排列的第j個(gè)大的數(shù)，W=(w1,w2,…,wn)T是與f關(guān)聯(lián)的加權(quán)向，則稱(chēng)函數(shù)f是n維有序加權(quán)平均算子，簡(jiǎn)記為OWA算子。

OWA算子的特點(diǎn)在于需對(duì)數(shù)據(jù)ai從大到小排序再進(jìn)行加權(quán)集結(jié)，權(quán)重wj只與元素ai所在的位置存在聯(lián)系。當(dāng)W=(1,0,…,0)T時(shí)，OWA算子簡(jiǎn)化為max算子；W=(0,0,…,1)T時(shí)，OWA算子簡(jiǎn)化為min算子；當(dāng)W=(1/n,1/n,…,1/n)T時(shí)，OWA算子簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單算術(shù)平均算子。當(dāng)W=(0,1/(n-2),1/(n-2),…,1/(n-2),1/(n-2),0)T時(shí)，OWA算子簡(jiǎn)化為剔除極值的算術(shù)平均算子。賦權(quán)規(guī)則的多樣化使得OWA算子具有廣泛性，文獻(xiàn)[13]對(duì)已有的OWA算子的賦權(quán)方法進(jìn)行綜述，并從正態(tài)分布特征出發(fā)提出“基于離散正態(tài)分布思想”的新的賦權(quán)方法。

受文獻(xiàn)[13]的啟發(fā)，本文給出兩種新穎的賦權(quán)的方法，分別如式（9）和式（10）：

易證明基于式（9）和式（10）賦權(quán)的OWA算子具有對(duì)稱(chēng)性且服從離散正態(tài)分布，基于式（9）賦權(quán)的OWA算子的權(quán)重先遞增，然后遞減，而基于式（10）賦權(quán)的OWA算子的權(quán)重先遞減，然后遞增。證明略。

決策過(guò)程可能存在某些特有決策方法使得其排序結(jié)果不同于其他方法。由于這些特有方法的差異性，組合決策過(guò)程若決策者有盡量減弱特有方法影響的偏好，可以選擇基于式（9）賦權(quán)的OWA算子對(duì)各方法的排序結(jié)果進(jìn)行組合。若決策者有盡量加強(qiáng)特有方法影響的偏好，即更希望了解特有方法所造成的影響，可以選擇基于式（10）賦權(quán)的OWA算子。

2.3 決策方法步驟

由于不同方法可能得出差異結(jié)果，在決策具體應(yīng)用中，決策者應(yīng)對(duì)多種方法的結(jié)果進(jìn)行組合，以三種去模糊化方法和三種多屬性方法進(jìn)行組合決策為例，決策方法步驟如下：

第一步：獲得屬性的權(quán)重ω，以及各屬性下的評(píng)價(jià)值矩陣Rj。

第二步：先將屬性權(quán)重和評(píng)價(jià)值分別采用面心法、幾何距離法、梯級(jí)平均綜合表示法去模糊化處理，然后利用屬性權(quán)重和評(píng)價(jià)值分別采用加權(quán)和法、加權(quán)積法、TOPSIS法集結(jié)出各方案的綜合評(píng)價(jià)值。

第三步：將各方法的綜合評(píng)價(jià)值轉(zhuǎn)化為序數(shù)。

第四步：對(duì)各方法的評(píng)價(jià)序采用OWA算子進(jìn)行集結(jié)。先對(duì)每個(gè)備選方案的序數(shù)進(jìn)行大小比較，再根據(jù)決策者的偏好選擇本文提出的基于式（9）賦權(quán)的OWA算子或基于式（10）賦權(quán)的OWA算子進(jìn)行信息集結(jié)，最后對(duì)集結(jié)值進(jìn)行排序，確定方案的最終排序。

3 實(shí)例分析

為更好的闡述本文方法及驗(yàn)證有效性，采用文獻(xiàn)[5]的算例進(jìn)行計(jì)算，比較和分析，按文獻(xiàn)[7]方法的規(guī)范化結(jié)果見(jiàn)下頁(yè)表2。假設(shè)屬性重要性權(quán)重為w=(0.169,0.165,0.164,0.167,0.164,0.171)T。

步驟1：獲得如上屬性權(quán)重和表2的評(píng)價(jià)值。

步驟2：采用不同的決策方法確定各方案的綜合評(píng)價(jià)值，表3（見(jiàn)下頁(yè)）第一行為去模糊化方法，第二行為多屬性決策方法，采用COA+SAW計(jì)算出方案的評(píng)價(jià)值分別為2.018，2.036，1.991，1.970，1.999。

表2 規(guī)范化決策矩陣×(10-1)

步驟3：將表3各方法的綜合評(píng)價(jià)值轉(zhuǎn)化為序數(shù)。表3中方法依序與表4的方法對(duì)應(yīng)，表3的COA+SAW對(duì)應(yīng)表4中的法1。

表3 各方法下的方案綜合評(píng)價(jià)值

表4 各方法下的序數(shù)

步驟4：n=9,利用式（9）可以計(jì)算出權(quán)重系數(shù)為(0.055,0.097,0.127,0.145,0.152,0.145.0.127,0.097,0.055),用OWA算子求出方案綜合值(2,1,3.72,5,3.28),方案排序 X2＞X1＞ X5＞X3＞X4。利用式（10）可以計(jì)算出權(quán)重系數(shù)為(0.196,0.110,0.084,0.073,0.070,0.073,0.084,0.110,0.196),用OWA算子求出方案綜合值(2,1,3.61,5,3.39),方案排序仍為 X2＞X1＞ X5＞X3＞ X4。

如表4所示，本文采用基于式（9）和式（10）賦權(quán)OWA算子的組合結(jié)果與文[12]的均值法的結(jié)果相同,說(shuō)明本文方法有效。但是，若考慮屬性權(quán)重的不確定，可選擇的方法可能更多，對(duì)于文[12]指出的序數(shù)為{1,3,3,6}和{1,2,5,5}或其他類(lèi)似的數(shù)，它們均值相等，方差相等，按以前的均值法無(wú)法區(qū)分出方案的差異，而采用基于式（9）的OWA算子，則可以計(jì)算出應(yīng)賦權(quán)(0.2,0.3,0.3,0.2)，OWA式(9){1,3,3,6}=3.2,OWA式(9){1,2,5,5}=3.3；若采用基于式（10）的OWA算子，OWA式(10){1,3,3,6}=3.3,OWA式(10){1,2,5,5}=3.2。根據(jù)決策者的偏好采用本文方法即可區(qū)分方案的優(yōu)劣，這也說(shuō)明本文方法的可行性和有效性。

4 結(jié)論

本文對(duì)屬性值以三角模糊數(shù)形式給出的多屬性決策問(wèn)題進(jìn)行研究，考慮三角模糊數(shù)去模糊化和多屬性決策都有多種方法，而決策者又無(wú)法選擇合適方法的情況，提出一種基于OWA算子的組合決策方法。本文提出的方法一方面綜合多種決策方法的意見(jiàn)，可以較好地避免決策方法選擇有誤的問(wèn)題；另一方面按離散正態(tài)分布思想提出OWA算子的兩種新的賦權(quán)方法,決策者根據(jù)自己的偏好選擇合適的賦權(quán)方法,再對(duì)各方法排序結(jié)果進(jìn)行組合,既符合實(shí)際，又豐富了OWA算子。當(dāng)然，該方法算法簡(jiǎn)單，也只從是增強(qiáng)還是減弱特有方法影響的角度對(duì)決策問(wèn)題進(jìn)行分析，對(duì)于組合決策問(wèn)題及決策者的偏好特征的差異，仍值得深入探討。