數(shù)學建模與高等數(shù)學教改芻議

陳峰芳

摘 要：在我國高等教育快速發(fā)展之際，作為高等教育的一個重要組成部分，高等數(shù)學的教學改革也勢在必行，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力也已成為數(shù)學教學的一個重要方面。數(shù)學建模的教學與競賽是實施素質(zhì)教育的有效途徑，它既增強了學生的數(shù)學應用意識，又提高了學生運用數(shù)學知識和計算機技術分析和解決問題的能力。

關鍵詞：數(shù)學建模 教學 競賽

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）09-0-02

引言

教育在綜合國力的競爭中處于基礎地位，因此為了更好的適應現(xiàn)代快速發(fā)展的社會主義市場經(jīng)濟的需要，跟上新世紀現(xiàn)代科學技術發(fā)展的腳步。江澤民總書記在全國科學大會上指出：創(chuàng)新能力是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發(fā)達的不竭動力。一個沒有創(chuàng)新能力的民族，難以屹立于世界前列。高等教育肩負著培養(yǎng)數(shù)以千計的高素質(zhì)專門人才和一大批拔尖創(chuàng)新人才的重要使命。提高高等教育質(zhì)量，既是高等教育自身發(fā)展規(guī)律的需要，也是建設創(chuàng)新型國家構(gòu)建社會主義和諧社會的需要。培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維對提高高等教育質(zhì)量起著舉足輕重的作用。培養(yǎng)學生獨立思考和創(chuàng)新實踐的能力，是新形勢下高等教育教學改革的重要內(nèi)容和關鍵點[1]。數(shù)學建模的教學及競賽正是在這種條件下應運而生的，是實現(xiàn)這個目標的一種新的、行之有效的方法和手段。

一、數(shù)學建模競賽的起源與歷史

在1985年以前美國只有一種大學生數(shù)學競賽（簡稱Putnam普特南數(shù)學競賽），它是由美國數(shù)學協(xié)會（MAA）主持，于每年12月的第一個星期六分兩試進行，每試6題；每試各為3小時，在次年的美國數(shù)學月刊上刊出競賽小結(jié)、獎勵名單、試題及部分題解。這是一個歷史悠久、影響很大的全美大學生數(shù)學競賽，自1938年舉行第一屆競賽以來已經(jīng)近50屆了。主要考核基礎知識和訓練、邏輯推理及證明的能力、思維敏捷、計算能力等。試題中很少應用題，完全不用計算機，是閉卷考試的。競賽是由各大學組隊（每隊三人）自愿報名參加的，得獎隊多為名牌大學的數(shù)學系。普特南數(shù)學競賽在吸引青年人熱愛數(shù)學從而走上數(shù)學研究的道路，鼓勵各數(shù)學系更好地培養(yǎng)人才方面起了很大作用，事實上一批優(yōu)秀數(shù)學家就曾經(jīng)是它的獲獎者。但最后為什么會產(chǎn)生另一個數(shù)學模型競賽的呢？根據(jù)美國一些數(shù)學家的看法主要有以下幾個因素：

1.參加普特南數(shù)學競賽是要有一定訓練的，而很多學校的參賽隊員功底差、受訓時間短、沒有經(jīng)驗，因而參賽成績差，影響了積極性。

2.相當多學生對數(shù)學的實際應用較為興趣，因而對普特南數(shù)學競賽缺乏積極性。

3.為了反對現(xiàn)行高等數(shù)學教學中過分強調(diào)純粹性、形式方法、缺乏應用內(nèi)容的傾向。

4.普特南數(shù)學競賽不用計算機。

5.對數(shù)學的看法：有人認為應用數(shù)學、計算數(shù)學、統(tǒng)計數(shù)學和純粹數(shù)學一樣是數(shù)學研究和數(shù)學課程教學的重要部分，它們是一個有機的整體。有人形象地把這四者表為一四面體的四個頂點（見右圖，P表示純粹數(shù)學，A表示應用數(shù)學，C表示計算數(shù)學，S表示統(tǒng)計數(shù)學），棱和面表示學科的“內(nèi)在聯(lián)系”，例如應用線性代數(shù)、數(shù)值分析、運籌學等，而該四面體即數(shù)學的整體。

因而自1983年以來有人產(chǎn)生了應該有一個普特南應用數(shù)學競賽，經(jīng)過論證、討論，爭取資助的過程，終于于1985年開始了第一屆數(shù)學模型競賽。1985年美國工業(yè)與應用數(shù)學學會和美國運籌學會聯(lián)合主辦了美國首屆大學生數(shù)學建模競賽，在國際上產(chǎn)生很大影響，現(xiàn)已成為國際性的一項著名賽事，每年一次。

我國于1989年首次參加這一競賽，歷屆均取得優(yōu)異成績。經(jīng)過數(shù)年參加MCM的結(jié)果表明。中國大學生在數(shù)學建模方面是具有競爭力和創(chuàng)新聯(lián)想能力的。為使這一賽事更為廣泛地展開，1990年中國工業(yè)與應用數(shù)學學會和國家教委聯(lián)合主辦了全國大學生數(shù)學建模競賽（簡稱CUMCM）。該項賽事每年9月進行。其宗旨是：創(chuàng)新意識、團隊精神、重在參與、公平競爭。自從創(chuàng)辦以來，在教育部高教司和中國工業(yè)與應用數(shù)學協(xié)會的大力支持和關心下，日益呈現(xiàn)出迅速發(fā)展的強盡勢頭?？梢哉f：數(shù)學建模已經(jīng)成為全國高校規(guī)模最大的課外科技活動。

二、開展數(shù)學建模競賽的意義

1.促進相關學科的交叉、融合，培養(yǎng)知識面寬的復合型人才

數(shù)學建模就是用數(shù)學語言描述實際現(xiàn)象的過程。使用數(shù)學語言描述的事物就稱為數(shù)學模型。建立數(shù)學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數(shù)量關系，然后利用數(shù)學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數(shù)學基礎、敏銳的洞察力和想象力、對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。

2.在應用中培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決問題的意識和能力

能力的培養(yǎng)是素質(zhì)教育的重要組成部分。通過數(shù)學模型的具體實例的反復引導，讓學生不再害怕數(shù)學的抽象，而且看到數(shù)學是怎樣從生產(chǎn)實踐中“抽象”出“共性”的， 也就是數(shù)學“源于實踐又服務于實踐”的本質(zhì)特征。利用這一過程培養(yǎng)學生從紛紜復雜的實際問題中抓住實質(zhì)的能力（ 抽象能力和洞察力），讓學生看到什么情況下可以用數(shù)學知識解決問題及怎樣用數(shù)學知識解決問題， 在潛移黙化中逐漸培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決問題的意識和能力， 使他們在今后的工作和學習中， 當遇到可以定量決策的問題或可以轉(zhuǎn)化為定量決策的問題時， 能自覺地求助于數(shù)學知識， 進行科學的量化分析。

3.增強了參賽人員的團隊協(xié)作能力

團隊協(xié)作能力是一個人綜合能力中很重要的一個方面，無論在學校還是在企業(yè)，完成一件任務往往需要多個人配合在一起，分工合作，群策能力，共同完成。數(shù)模競賽同樣是這樣一份工作，三名參賽隊員組成一個團隊，隊員之間要有分工、有合作，三個人中還要一個領導者負責團隊整體思路，一旦出現(xiàn)隊員意見不一致時，領導者作出決定。這樣的團隊保證了解決問題思路的“多樣性”和“一致性”的統(tǒng)一，鍛煉了團隊協(xié)作意識。

4.數(shù)模競賽的挑戰(zhàn)性， 能激勵創(chuàng)新精神

數(shù)學競賽全過程為三天三夜，團隊面對的是一個實際的科研題目，在這么短時間內(nèi)，完成題目的分析、模型的建立和求解、模型的優(yōu)化并且給出結(jié)論是一件工作量相當大的任務。團隊成通過查閱資料、討論方案，在一種“忘我”的工作狀態(tài)下完成競賽。正如許多參賽選手感慨的那樣：“數(shù)模競賽讓我在三天內(nèi)編完了一年內(nèi)不可能編出來的程序。”

三、數(shù)學建模對高等數(shù)學教改的啟示

1.高等數(shù)學的現(xiàn)狀及存在的主要問題

大學數(shù)學教育的根本任務就是要通過教學活動讓學生學習掌握數(shù)學的思想、方法和技巧，并能學以致用，初步具備自學所需要的更深入的數(shù)學的能力[2]。關于高等數(shù)學教育改革問題，在改革開放以來， 中國新世紀的長遠、宏大的發(fā)展目標確定以后， 教育作為國家經(jīng)濟實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展偉大戰(zhàn)略之一， 高等數(shù)學教育必須改革已成為專家、學者和廣大教師的共識。從上世紀80 年代初開始， 這項改革已實質(zhì)性地展開。例如陸慶樂教授主持的“全國工科高等數(shù)學課程改革指導委員會”做了大量而長期的富有成效的工作， 不少有識之士也作了大量有益的探索， 取得了一些成果。但總的來說， 還是說的多做的少： 局部表面的結(jié)論多， 普遍深入的成果少[3]。我國的數(shù)學教育現(xiàn)狀與數(shù)學的發(fā)展及整個社會對數(shù)學教育的期望和要求還很不協(xié)調(diào). 就工科數(shù)學教育而論， 至少存在以下問題：

1.1應用數(shù)學面臨的基本矛盾

應用數(shù)學的基本使命是把純粹數(shù)學獲得的成果和方法應用于實踐，具體地說是應用于科技和社會，最終服務于人類，真正為人類社會的進步做出貢獻。純粹數(shù)學是量化的、符號化的、抽象化的東西，而客觀世界不是以量的形式存在的，不是直接以邏輯符號形式存在的，即使抽象事物也不是以數(shù)學語言反映在人們腦子里的，這就決定了純數(shù)學與純實踐之間雖然有著“邏輯”把它們聯(lián)系起來，但形式上看除此之外，似乎兩者都是矛盾的。

1.2課程結(jié)構(gòu)不夠合理. 各門數(shù)學課程自成一體，相互封閉，且由于條塊多， 使學生很難對數(shù)學的整體結(jié)構(gòu)有一全面的了解。同時，各門課程不能很好地銜接、補充， 造成相關內(nèi)容的重復和割裂。

1.3 數(shù)學的應用性反映不足。現(xiàn)有的數(shù)學模式過分強調(diào)了理論性、系統(tǒng)性及數(shù)學的嚴謹性， 忽略了數(shù)學的應用性及數(shù)學的背景和實際意義. 且由于學時少、內(nèi)容多， 師生共同趕進度， 想嚴格又嚴格不了， 只好犧牲應用、計算， 學生的學習興趣不高， 數(shù)學學習進入一種不良循環(huán).

1.4教學方式單一。我們的教學管理者習慣于用教學大綱、教材內(nèi)容和教師講課的仔細程度作為檢查教學水平的標準， 而很少把學生真正理解并掌握了多少數(shù)學知識作為尺度；我們的教師熱衷于告訴學生面面俱到的知識， 但不知如何用最少的語言啟發(fā)學生自己學習和思考的能力； 我們常常用學生的考試分數(shù)來衡量學生的學習效果和成績， 而不注意考察學生的學習過程和考核學生的認知能力。

1.5 在教學內(nèi)容上過分強調(diào)了形式化和嚴格化的東西， 注重嚴密的邏輯推理和解題技巧， 而忽視了數(shù)學教育最本質(zhì)的東西應是直觀化和形象化。

1.6現(xiàn)代技術主要是計算機和大量應用軟件的產(chǎn)生對傳統(tǒng)的數(shù)學教育形成了巨大的沖擊。一些歷史上與數(shù)學淵源較深的學科， 應用計算機即可以快捷地解決以前十分復雜的數(shù)學計算問題. 然而， 我們的數(shù)學教育（無論是內(nèi)容還是方法） 卻仍然固守傳統(tǒng)， 與現(xiàn)代技術的發(fā)展極不合拍。

2.對高等數(shù)學教改的啟示

2.1轉(zhuǎn)變教育思想

為了改變過去以教師為中心、以課堂講授為主、以知識傳授為主的傳統(tǒng)教學模式，數(shù)學建模教學指導思想是以實驗室為基礎、以學生為中心、以問題為主線、以培養(yǎng)能力為目標來組織教學工作。教學過程的重點是創(chuàng)造一個環(huán)境去誘導學生的學習欲望、培養(yǎng)他們的自學能力，增強他們的數(shù)學素質(zhì)和創(chuàng)新能力，提高他們的數(shù)學素質(zhì)，強調(diào)的是獲取新知識的能力，是解決問題的過程，而不是知識與結(jié)果。參加數(shù)學建模競賽賽前培訓的同學大都是需要學習諸如數(shù)理統(tǒng)計、最優(yōu)化、圖論、微分方程、計算方法、層次分析法，數(shù)學軟件包的使用等等“短課程”，用的學時不多，多數(shù)是啟發(fā)性地講一些基本的概念和方法，主要是靠同學們自己去學，充分調(diào)動同學們的積極性，充分發(fā)揮同學們的潛能。

2.2明確教育目標

學生的實踐能力是所有學科人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要標志，當然對于我們數(shù)學學科也是不例外的?！皩嵺`能力”不只是指動手能力，它應該包括三個方面的內(nèi)涵：第一是實踐思維即學生在思想方法上應該重視實踐；第二是實踐的知識，特別是實踐的專業(yè)基礎知識；第三才是學生的實際動手能力。另外。工程實踐能力還應該包括工程科研能力和解決實際工程問題的能力。建立數(shù)學模型一般要經(jīng)過三個步驟：明確問題、建立模型、求解檢驗。數(shù)學模型的探索，并沒有現(xiàn)成的普遍適用的準則和技巧，它需要成熟的經(jīng)驗見解和靈巧的簡化手段，需要合理的假設，豐富的想象，敏銳的直覺判斷。其中每一步驟的進行都富有開拓性，充分展現(xiàn)建模者的創(chuàng)造性思維水平。因此數(shù)學模型課不單是單純的知識傳授課，而是一門能力訓練課。

2.3切實理論聯(lián)系實際

數(shù)學應來源于實踐又應用于實踐，達到理論與實踐的有機結(jié)合。我國著名數(shù)學學華羅庚曾指出：“人們對數(shù)學產(chǎn)生枯燥無味、神秘難懂的印象，原因之一就是脫離實際?！边@句話不僅指出了數(shù)學教育脫離實際的危害性，也為我們指出了數(shù)學教育改革的方向——密切聯(lián)系實際，而數(shù)學建模課程正是理論與實踐想結(jié)合的課程，其內(nèi)容都是來自于日常生活、工程技術及經(jīng)濟管理等領域的研究課題，而且其教學過程是師生共同參與的，學生可以在不斷的探索過程中體會到“發(fā)現(xiàn)問題”、“發(fā)明創(chuàng)造”及“獲得成功”的喜悅，這必然會提高他們學習數(shù)學的濃厚興趣和積極性。

2.4構(gòu)建建模教學安排

數(shù)學是研究模式的科學，現(xiàn)代高等數(shù)學教育的主要任務，就是要讓受教育者能夠積極主動學到“應用數(shù)學模式”、“分析數(shù)學模式”、“創(chuàng)制數(shù)學模式”乃至“鑒賞數(shù)學模式”的能力和素質(zhì)。因此，數(shù)學模式建構(gòu)的思想與方法論，應該成為數(shù)學專業(yè)師生們共同關注的教學題材，學習這種題材也正是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力不可缺少的環(huán)節(jié)。開設數(shù)學建模系列課程，把數(shù)學建模的培訓逐步納入正常的教學當中，提高全校學生的數(shù)學素質(zhì)·將“數(shù)學建?！弊鳛槿Ｐ赃x修課（約45學時，3學分），常年開設，每周一次，每次3學時，每次講授或研究一個專題，在教學方法上，改變老師教學生學的“添鴨式”被動教學，不以教會一個定義、證明一個定理、解一道數(shù)學習題為目的，而在教學中逐步滲透數(shù)學建模的思想，逐步增加“開放型應用題”，同時著意培養(yǎng)學生提問題的習慣和能力，讓學生嘗試“實際問題數(shù)學化”的過程。

2.5提高師資水平

數(shù)學建模活動的開展，在一定程度上彌補了數(shù)學教師不懂工程問題和經(jīng)濟問題的缺陷，使其在教學過程中能把工程問題及經(jīng)濟問題和數(shù)學問題有機地結(jié)合起來，激發(fā)學生的學習興趣，提高教學效果，同時由于數(shù)學建模問題通常是很復雜的實際問題，沒有現(xiàn)成的方法也沒有最好的結(jié)果，對教師而言也是一大難題，這勢必會促進教師不斷學習、提高水平。

結(jié)論

在全面提倡素質(zhì)教育的今天，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維已成為時代賦予高等教育工作者的神圣使命。數(shù)學建模也以其獨特的優(yōu)勢，在現(xiàn)今的教育機制中逐漸突顯出重要性。數(shù)學大師康托爾說過：“數(shù)學的本質(zhì)在于它的自由?！痹肝覀兡軌虿迳蠑?shù)學的翅膀自由地飛翔，在更多的實際應用中通過我們的智慧播撒數(shù)學的芬芳；也希望高等數(shù)學的教改之路能夠走的更好更有效。

參考文獻

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