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    帶源項的吸引-排斥趨化模型解的有界性

    2018-10-29 06:29:20陶有山
    東華大學學報(自然科學版) 2018年5期
    關鍵詞:趨化同理常數(shù)

    戴 超, 陶有山

    (東華大學 理學院, 上海 201620)

    趨化性是由化學信號的濃度梯度引起的細胞偏向運動。趨化吸引是指細胞朝化學信號濃度增大的地方遷移,而趨化排斥是指細胞朝遠離化學信號濃度增大的地方運動。著名的趨化數(shù)學模型是由Keller和Segel在20世紀70年代提出的KS模型[1],本文在KS模型的基礎上,研究了文獻[2]提出的描述老年癡呆癥疾病中小神經(jīng)膠質(zhì)細胞集聚現(xiàn)象,以及文獻[3]中給出的有關趨化過程中的群體效應的吸引-排斥趨化模型。從數(shù)學的角度來說,經(jīng)典的KS模型和群體效應吸引-排斥趨化模型存在的一個本質(zhì)區(qū)別,即前者可以找到有用的Lyapunov泛函,而后者一般不存在這樣的泛函。

    因此,本文考慮帶有Logistic源的吸引-排斥趨化模型,如式(1)所示。

    式中:Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界凸區(qū)域;?ν表示邊界?Ω的外法向量的導數(shù);χ,ζ,α1,α2,β1和β2均為給定的正參數(shù);u=u(x,t)表示細胞的密度;v=v(x,t)表示吸引信號的濃度;w=w(x,t)表示排斥信號的濃度。f滿足Logistic條件,即

    f(s)≤as-bs2,s≥0

    (2)

    式中:a≥0,b>0。

    模型(1)中第一個方程描述細胞密度隨時間的變化情況,等式右邊第一項表示細胞的隨機擴散,第二項表示細胞向化學信號濃度增加的方向移動,第三項則表示細胞向遠離化學信號濃度增大的地方遷移,最后一項表明細胞的出生和死亡滿足Logistic定律。模型(1)中第二個和第三個方程表明趨化吸引和趨化排斥的化學物質(zhì)均有細胞自身分泌,并隨時間經(jīng)歷擴散和衰減。模型(1)中,假設u,v,w滿足零流邊界條件,即假設在邊界處細胞和兩種化學物質(zhì)的凈流量為零。

    本文假設模型(1)初始值u0,v0,w0滿足:

    (3)

    在一些研究KS數(shù)學模型的報道[4-5]中,發(fā)現(xiàn)趨化吸引和排斥現(xiàn)象同時存在,從而產(chǎn)生了有趣的生物斑圖[6]。而文獻[7]中帶Logistic源的吸引-排斥趨化模型表明:當空間維數(shù)n≤2時,它存在唯一的整體古典解。因此本文的目標是:當n≥3時,證明模型(1)的整體古典解的存在性及有界性。更精確地說,本文獲得如下主要結(jié)果。

    定理1假設Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界凸區(qū)域,并設f滿足式(2),則對任意的u0,v0,w0滿足式(3),存在b0>0,使得當b>b0時,模型(1)存在唯一的非負古典解(u,v,w),且u,v,w在Ω×(0, ∞)上一致有界。

    本文先建立古典解的局部存在性并推導基本的先驗估計,接下來再進一步推導解的更高正則性估計,完成定理1的證明。

    1 局部存在性及基本估計

    模型(1)的局部古典解的存在性建立在標準的不動點方法上[8],這里省去其詳細的證明過程。

    引理1假設Ω?Rn(n≥1)是一個光滑有界的區(qū)域,并設f滿足式(2),且u0,v0,w0滿足式(3),則存在Tmax∈(0, ∞]和唯一的非負函數(shù)組(u,v,w),且滿足

    使得(u,v,w)是模型(1)在Ω×(0,Tmax)上的古典解。進一步,則有

    ‖v(·,t)‖W1, k(Ω)+‖w(·,t)‖W1, k)=∞

    引理2假設f滿足式(2),則存在常數(shù)A>0,使模型(1)的解(u,v,w)滿足

    (4)

    證明:根據(jù)模型(1)中第一個方程,并利用分部積分可得

    (5)

    (6)

    模型(1)中第二個方程兩邊同時乘以-Δv,并借助分部積分和Young不等式得

    從而有

    (7)

    同理有

    (8)

    由此推得

    y′(t)+c1y(t)≤c2,t∈(0,Tmax),

    式得

    結(jié)合y的定義,得出式(4)。從而引理2得證。

    2 高階正則性估計

    引理3假設f滿足式(2),則對于所有的p∈N和q∈{0, …,p},成立

    (9)

    證明:直接計算得

    (10)

    由分部積分知

    (11)

    (12)

    (13)

    其中,t∈(0,Tmax)。接下來用Young不等式處理I4得

    (14)

    (15)

    推論4假設f滿足式(2),則對于所有的p∈N和q∈{0, …,p},成立

    (16)

    證明:根據(jù)引理3的證明方法, 類似推得

    (17)

    結(jié)合式(9),即可推出式(16),從而推論4得證。

    項的估計。

    引理5假設f滿足式(2),則對所有的p∈N,p≥2,存在c0>0和C0>0,使模型(1)的解具有下述性質(zhì)

    (18)

    證明:式(16)中取q=0,利用分部積分和Young不等式得

    (19)

    同理

    (20)

    引理6若p∈N,p≥3且引理1的假設成立,則存在常數(shù)C1使得模型(1)的解滿足

    (21)

    證明:令式(16)中q=1得

    :=I1+I2+I3+I4+I5,t∈(0,Tmax)

    (22)

    利用Young不等式估計得

    (23)

    (24)

    (25)

    (26)

    其中,t∈(0,Tmax)。再次使用Young不等式估計式(26)的最后一項得

    綜合式(22)~(26)推出

    (27)

    同理可得

    (28)

    結(jié)合式(27)和(28),即推出式(21),從而引理6得證。

    為了處理式(21)中的右端項,需要在式(16)中考察q≥2的情形且要對式(16)右端項作進一步的處理,更精確地說,有如下引理7。

    引理7假設f滿足式(2),則對所有的p∈N,p≥3和每個q∈{2, …,p-1},存在cq≥0和Cq≥0,使模型(1)的解滿足

    (29)

    證明:利用Young不等式估計式(9)左邊的第一項和最后一項得

    (30)

    (31)

    再一次根據(jù)Young不等式得

    (32)

    其中,常數(shù)c′>0。同理有

    (33)

    (34)

    (35)

    (36)

    其中,t∈(0,Tmax)。進一步由Young不等式得

    (37)

    (38)

    (39)

    (40)

    綜合式(9)和(30)~(40)得

    (41)

    同理

    (42)

    因此,由式(41)和(42)得式(29),從而引理7得證。

    引理8假設f滿足式(2),則對所有的p∈N,p≥2, 存在cp和Cp使模型(1)的解滿足

    (43)

    證明:式(16)中取p=q得

    (44)

    進一步根據(jù)Young不等式得

    (45)

    同理

    (46)

    再利用Young不等式得

    (47)

    綜合式(45)~(47)得

    (48)

    由式(48)很容易得出式(43),從而引理8得證。

    為了能用引理5~8所得到的估計中“左端的好項”來控制“相應的右端的積分項”,將這些估計式進行合適的線性組合,得到如下引理9。

    引理9假設p∈N,p≥3且引理1中假設成立,則存在b0=b0(a,b,χ,ζ,β1,β2,p,n),對任意的b>b0(>0),存在正數(shù)c,C及d0, …,dp,使模型(1)的解滿足

    (49)

    證明:取c0, …,cp和C0, …,Cp是引理5~8中給出的常數(shù), 同時取M?1,使得

    Mcq>2,q∈{2, …,p}

    (50)

    進一步, 選取0<ε?1滿足

    (51)

    (52)

    固定b0>0,并使其充分大,滿足

    (53)

    (54)

    定義

    d0:=1,dq:=εMq,q∈(1, …,p)

    (55)

    根據(jù)引理5~8, 在式(49)左邊的求和項中,分別取q=0,q=1,q={2, …,p-1}及q=p,并經(jīng)過重新排序得

    (56)

    聯(lián)合式(51)~(55)得

    (57)

    再由式(52)和(53)得

    (58)

    進一步,根據(jù)式(54)及假設b>b0得

    (59)

    由于dqcq-dq-1=εMq-1(Mcq-1)>εMq-1>εM,q∈(2, …,p)且式(50)中M>1, 故有

    (60)

    類似推得

    (61)

    (62)

    引理10假設p∈N,p≥3且引理9中的假設成立,則存在L>0,滿足

    (63)

    證明: 對每個q∈{1, …,p-1}, 利用Young不等式得

    (64)

    (65)

    (66)

    (67)

    同理

    (68)

    其中,t∈(0,Tmax)。綜合式(64)~(68)得

    (69)

    其中,L2>0和Lp>0。進一步,利用Young不等式得

    (70)

    據(jù)此便得到式(63),從而引理10得證。

    3 主要結(jié)果的證明

    利用引理10中得到的高階正則性先驗估計,現(xiàn)在可完成定理1的證明。

    定理1的證明:根據(jù)引理10及標準的Moser迭代可以得到:存在常數(shù)C>0,滿足

    ‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤C,t∈(0,Tmax)。

    據(jù)此并結(jié)合引理10,由引理1得到Tmax=+∞,從而模型(1)的整體古典解存在有界性,即定理1證畢。

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