關(guān)于全概率公式和貝葉斯公式教學(xué)方法的探討

宋明珠 方連娣

（銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

全概率公式和貝葉斯公式是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程兩個(gè)重要的公式，也是教學(xué)重難點(diǎn)之一。這兩個(gè)公式在經(jīng)濟(jì)決策、產(chǎn)品檢驗(yàn)和傳染病診斷等方面有著廣泛的應(yīng)用。在日常教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，如果開(kāi)門(mén)見(jiàn)山給出這兩個(gè)公式，學(xué)生會(huì)困惑不解，進(jìn)而失去學(xué)習(xí)興趣，更別說(shuō)用這兩個(gè)公式解決實(shí)際問(wèn)題了。為此，本文通過(guò)解決日常生活的概率問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中導(dǎo)入全概率公式和貝葉斯公式，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化。在解題的過(guò)程中，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而提高教學(xué)效果。

一、全概率公式的導(dǎo)入

從學(xué)生感興趣的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，導(dǎo)入全概率公式。

引例1：設(shè)袋中有5個(gè)紅色的玻璃球和5個(gè)藍(lán)色的玻璃球，玻璃球的形狀大小完全相同，從袋中任取3個(gè)玻璃球放入盒中，現(xiàn)從盒中任取一球，求該玻璃球是紅色的概率？

分析：完成試驗(yàn)，必須分兩步，第一步從袋中取3個(gè)球，第二步是在第一步的3個(gè)球中任取一球，第二步能否取到紅球，受第一步結(jié)果的影響。為此我們?cè)O(shè)事件B={在盒中取一球是紅色的}，事件Ai={從袋中取出3個(gè)球，放入盒中，其中有i個(gè)球是紅色的},i=0,1,2,3。事件B發(fā)生的概率受第一步試驗(yàn)結(jié)果的影響，為此我們把復(fù)雜的事件B化簡(jiǎn)成幾個(gè)互不相容簡(jiǎn)單事件的和。 因?yàn)樗?A0，A1，A2，A3是樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組。

解：由題意可知：

根據(jù)互不相容事件的可加性和條件概率公式得：

引例 2：某小組有20名選手，其中一、二、三、四級(jí)選手分別為 3、4、9、4名。 若選一、二、三、四級(jí)選手參加比賽，則在比賽中獲勝的概率分別為0.9、0.6、0.4、0.3，今隨機(jī)選一人參加比賽，試求該小組在比賽中獲勝的概率是多少？

分析:設(shè)事件B={小組在比賽中獲勝},事件Ai={該選手來(lái)自 i級(jí)}，i=1,2,3,4。

解：

在解決上述兩個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：先找出樣本空間的一個(gè)完備事件組Ai，i=1,2,…,n,將復(fù)雜事件B分割成幾個(gè)互不相容簡(jiǎn)單事件的和，利用條件概率公式P(AB)=P(B|A)P(A)(P(A)＞0)計(jì)算出條件概率，再利用互不相容事件的可加性，計(jì)算出簡(jiǎn)單事件的概率和，從而得出事件B的概率?？偨Y(jié)解題過(guò)程，導(dǎo)入全概率公式：

全概率公式[3]：設(shè)A1,A2,…,An為試驗(yàn)E樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組P(Ai)＞0,i=1,2,…,n。B是任意事件，則(Ai)P(B|Ai)。

證：由集合的運(yùn)算性質(zhì)可知

因?yàn)?P(Ai)＞0，i=1,2,…,n 且(BAi)(BAj)= ，i≠j則由互不相容事件的可加性和條件概率公式得：

全概率公式的內(nèi)涵：全概率公式的“全”是指在解題的過(guò)程中找出引起B(yǎng)事件發(fā)生的全部“原因”Ai,A2,…,An，這些“原因”構(gòu)成樣本空間的一個(gè)完備事件組。因此，我們?cè)谟?jì)算P(B)時(shí)，首先找出樣本空間的一個(gè)完備事件組Ai,A2,…,An，再利用全概率公式計(jì)算出P(B)。

二、貝葉斯公式的導(dǎo)入

由同學(xué)們熟知的經(jīng)典誠(chéng)信故事 “狼來(lái)了”引入貝葉斯公式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

引例 3 （“狼來(lái)了”）設(shè)農(nóng)民開(kāi)始對(duì)這個(gè)孩子的可信度為0.9，可信的孩子說(shuō)謊的概率為0.2，不可信孩子說(shuō)謊的概率為0.8，試求這個(gè)孩子第三次喊“狼來(lái)了！”時(shí)，農(nóng)民對(duì)這個(gè)孩子的可信度是多少？

解:設(shè)事件B={孩子可信}，事件A={孩子說(shuō)謊}，由題意知P(B)=0.9，P(A|B)=0.2。農(nóng)民第一次聽(tīng)到“狼來(lái)了！”趕到山上后，發(fā)現(xiàn)小孩說(shuō)了謊，此時(shí)農(nóng)民對(duì)孩子的可信度為：

農(nóng)民第二次聽(tīng)到“狼來(lái)了！”趕到山上后，發(fā)現(xiàn)小孩再一次說(shuō)謊，此時(shí)農(nóng)民對(duì)孩子的可信度為：

由上述推算過(guò)程可知，小孩第二次說(shuō)謊后，其可信度由原來(lái)的0.9下降到0.36，如此低的可信度，導(dǎo)致他第三次喊“狼來(lái)了！”的時(shí)候，再也沒(méi)有人去救他了。

引例4（產(chǎn)品檢驗(yàn)）每箱產(chǎn)品有10件，其中的次品數(shù)從0到2是等可能的，開(kāi)箱試驗(yàn)時(shí)，從中一次抽取2件（不重復(fù)），如果發(fā)現(xiàn)有次品，則拒收該箱產(chǎn)品，試計(jì)算：

（1）一箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收的概率；（2）已知該箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收，則該箱中有2個(gè)次品的概率。解：設(shè) Ai={箱內(nèi)有 i件次品}，i=0，1，2，顯然 A0,A1,A2是樣本空間的一個(gè)完備事件組，

B={該箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收}。由題意可知

（1）由全概率公式，有

（2）由條件概率公式知

對(duì)引例3、4的解題過(guò)程歸納總結(jié)，得出貝葉斯公式如下：

貝葉斯公式[3]：設(shè)A1,A2,…An為試驗(yàn)E樣本空間Ω的一個(gè)完備事件組，且 P（Ai)＞0，i=1,2,…，n，則對(duì)任一事件 B，(P(B))＞0,有

貝葉斯公式的內(nèi)涵：已知B事件已經(jīng)發(fā)生，導(dǎo)致B事件發(fā)生的 “原因”共有n個(gè)，這n個(gè)“原因”構(gòu)成了樣本空間的一個(gè)完備事件組。根據(jù)貝葉斯公式計(jì)算出，導(dǎo)致B事件發(fā)生的原因可能性有多大。簡(jiǎn)而言之，貝葉斯公式就是“由果索因”。