考慮不同回收質(zhì)量等級的再制造系統(tǒng)回收生產(chǎn)決策

黃 帝, 周 泓

(1. 北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100044；2. 北京交通大學(xué)物流管理與技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；3. 北京航空航天大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京 100191)

1 引言

再制造是指對廢舊產(chǎn)品進(jìn)行專業(yè)化修復(fù)或升級改造，使其質(zhì)量特性達(dá)到或優(yōu)于原有新產(chǎn)品水平的制造過程[1]。再制造是實(shí)現(xiàn)節(jié)能減排和促進(jìn)經(jīng)濟(jì)可持續(xù)發(fā)展的有效途徑，一方面再制造以廢舊產(chǎn)品為毛坯進(jìn)行生產(chǎn)加工，可以大幅減少原材料和能源消耗，節(jié)約生產(chǎn)成本，降低工業(yè)生產(chǎn)過程中的二氧化碳排放水平；另一方面再制造實(shí)現(xiàn)了對廢舊產(chǎn)品的循環(huán)利用，也能夠減少其作為廢棄物而帶來的環(huán)境污染。近年來，隨著再制造技術(shù)工藝的進(jìn)步和再制造產(chǎn)品質(zhì)量控制手段的提高，再制造業(yè)得到了蓬勃發(fā)展。美國國際貿(mào)易委員會2012年10月發(fā)布的調(diào)查報(bào)告顯示，2009—2011年間美國再制造產(chǎn)品生產(chǎn)年均增長15%，達(dá)到430億美元，涉及航空航天工程、重型越野設(shè)備、汽車零部件、IT產(chǎn)品、醫(yī)療設(shè)備等多個(gè)領(lǐng)域[2]。我國自1999年徐濱士院士在國內(nèi)首次提出“再制造”概念以來，經(jīng)過近20年的發(fā)展已形成年產(chǎn)值約500億元規(guī)模的再制造產(chǎn)業(yè)，主要集中在廢舊汽車零部件、廢舊電子電器產(chǎn)品、廢舊機(jī)電產(chǎn)品等領(lǐng)域。2015年，大力發(fā)展再制造產(chǎn)業(yè)被列為《中國制造2025》的重要戰(zhàn)略任務(wù)之一。

與傳統(tǒng)的制造企業(yè)相比，再制造企業(yè)除了需要根據(jù)再制造品銷售市場需求的變化情況制定生產(chǎn)決策以外，還需要根據(jù)廢舊產(chǎn)品的回收情況(如回收質(zhì)量、數(shù)量、價(jià)格等)制定回收決策。此外，廢舊產(chǎn)品往往在損壞程度、質(zhì)量性能等方面存在差異，導(dǎo)致再制造的工藝路線和加工成本也不盡相同，進(jìn)一步增加了管理決策的復(fù)雜度。本文在一個(gè)回收再制造系統(tǒng)中研究存在多種回收質(zhì)量等級時(shí)再制造商的最優(yōu)回收、生產(chǎn)和定價(jià)決策，分析回收/再制造補(bǔ)貼、再制造品市場需求變化、再制造產(chǎn)出率波動等因素對再制造商決策的影響，著力解決以下幾個(gè)再制造企業(yè)常見的管理運(yùn)營問題：(1)如何決定不同質(zhì)量等級廢舊產(chǎn)品的回收數(shù)量？(2)如何安排不同質(zhì)量等級廢舊產(chǎn)品的再制造生產(chǎn)計(jì)劃？(3)如何決定再制造產(chǎn)品的市場銷售價(jià)格？這些問題目前尚未得到系統(tǒng)性的研究和解答，也是當(dāng)前回收再制造領(lǐng)域理論研究和應(yīng)用實(shí)踐的熱點(diǎn)之一。

目前關(guān)于回收再制造系統(tǒng)管理決策問題的研究文獻(xiàn)有很多，限于篇幅，僅對與本文研究相關(guān)的文獻(xiàn)進(jìn)行綜述。第一個(gè)相關(guān)的研究方向是考慮回收質(zhì)量等級差異的回收/再制造系統(tǒng)決策問題研究。Guide等[3]研究了多種質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品回收定價(jià)和再制造產(chǎn)品銷售定價(jià)問題，他們假設(shè)不同質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品對回收價(jià)格的敏感程度也各不相同。Galbreth和Blackburn[4]在回收質(zhì)量不確定的情況下研究了最優(yōu)回收與再制造分類策略。在他們的分類策略中，回收產(chǎn)品經(jīng)檢測后一般被分為兩類處理：若其單位再制造成本低于最優(yōu)成本水平，則用于再制造生產(chǎn)；否則，直接廢棄。類似地，楊愛峰等[5]研究了回收質(zhì)量不確定情況下的一個(gè)兩階段決策問題：第一階段決策最優(yōu)回收數(shù)量與再制造分類策略，第二階段決策再制造生產(chǎn)批量。王巍[6]將回收產(chǎn)品按重新利用的方式分為直接再利用、修理再利用和再生再制造三類，在一個(gè)兩級閉環(huán)供應(yīng)鏈中研究了回收產(chǎn)品的分級定價(jià)問題。溫海駿等[7]將回收拆解的汽車零部件按其所需的再制造工藝技術(shù)劃分為直接再利用、修復(fù)后再利用、材料回收和直接廢棄四種類型，使用模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃模型研究了擁有多種類型廢舊汽車發(fā)動機(jī)的兩階段回收—再制造生產(chǎn)計(jì)劃問題。Zhou等[8]研究了一個(gè)含有多種等級再制造毛坯的多周期隨機(jī)決策問題，生產(chǎn)商可以使用原材料或再制造毛坯經(jīng)過正常生產(chǎn)或再制造生產(chǎn)兩種方式來滿足隨機(jī)的市場需求。他們給出了最優(yōu)的制造、再制造和毛坯廢棄策略。Tao等[9]在Zhou等[8]的研究基礎(chǔ)上分析了再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情形，他們假設(shè)市場需求可以通過向外部供應(yīng)商訂貨或內(nèi)部再制造生產(chǎn)兩種途徑來滿足，給出了生產(chǎn)商最優(yōu)訂貨/再制造策略的一些數(shù)學(xué)性質(zhì)。

第二個(gè)研究方向是再制造閉環(huán)/逆向供應(yīng)鏈的優(yōu)化決策問題研究。吳鵬等[10]在需求和再制造數(shù)量均不確定的情況下研究了再制造部件與常規(guī)新部件之間分別為替代、互補(bǔ)關(guān)系時(shí)的最優(yōu)生產(chǎn)決策。李響等[11]研究了需求和再制造產(chǎn)出率均隨機(jī)的情況下的回收定價(jià)、再制造產(chǎn)量和銷售定價(jià)問題，并考察了風(fēng)險(xiǎn)偏好對回收決策的影響。Zhou和Yu Yikun[12]研究了回收再制造系統(tǒng)中的一個(gè)多周期隨機(jī)決策問題，其中生產(chǎn)商可以通過回收努力影響回收數(shù)量、通過銷售價(jià)格影響再制造品市場需求。他們給出了最優(yōu)的回收努力水平、產(chǎn)成品銷售定價(jià)和再制造毛坯/產(chǎn)成品的庫存控制策略。王文賓和達(dá)慶利[13]在含有兩個(gè)制造商的競爭環(huán)境下分析了政府的激勵(lì)/懲罰機(jī)制對不同情形下制造商回收再制造決策的影響效果。王文賓和鄧雯雯[14]在一個(gè)逆向供應(yīng)鏈中對比分析了政府獎(jiǎng)懲機(jī)制和稅收—補(bǔ)貼機(jī)制對回收再制造決策的影響。劉慧慧等[15]在一個(gè)雙渠道回收模型中研究了政府補(bǔ)貼對回收價(jià)格和翻修比例的影響。聶佳佳[16]研究了壟斷和競爭兩種情形下再制造商需求信息預(yù)測對回收再制造決策的影響。此外，吳鵬[17]研究了回收數(shù)量不確定的情況下單回收商、單供應(yīng)商的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問題，設(shè)計(jì)了成本分擔(dān)和余額補(bǔ)償兩種協(xié)調(diào)契約。孫浩和達(dá)慶利[18]對比分析了四種不同供應(yīng)鏈權(quán)力結(jié)構(gòu)下的回收再制造最優(yōu)決策，討論了費(fèi)用共享契約和二部定價(jià)契約的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)效果。史成東等[19]在一個(gè)由第三方負(fù)責(zé)回收的閉環(huán)供應(yīng)鏈中研究了風(fēng)險(xiǎn)偏好、政府補(bǔ)貼、回收競爭對供應(yīng)鏈各方?jīng)Q策的影響，分析了收益費(fèi)用共享契約的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)效果。

本文與前述文獻(xiàn)的主要區(qū)別在于：1)考慮回收質(zhì)量等級差異引起的單位回收、再制造成本差異。而已有的大多數(shù)文獻(xiàn)或者不考慮回收質(zhì)量等級差異[10-19]，或者只考慮單位回收成本差異[6]，或者只考慮單位再制造成本差異[4-5,8-9]；2)在需求和再制造產(chǎn)出率隨機(jī)環(huán)境下，研究回收數(shù)量、生產(chǎn)和再制造產(chǎn)品定價(jià)聯(lián)合優(yōu)化決策。而多數(shù)研究文獻(xiàn)或者不考慮回收再制造過程中的隨機(jī)性因素[6, 13-14, 18]，或者不考慮再制造產(chǎn)品需求的隨機(jī)性[3, 15-17]，或者不考慮再制造產(chǎn)出率的隨機(jī)性[4-5, 8, 12, 19]。

因此，本文在一個(gè)回收再制造系統(tǒng)中研究了存在多種回收質(zhì)量等級時(shí)的兩階段回收再制造聯(lián)合優(yōu)化決策問題，并擴(kuò)展到需求與價(jià)格相關(guān)和再制造產(chǎn)出率隨機(jī)兩種情形。給出了有效回收質(zhì)量等級的識別方法，并構(gòu)造出回收再制造系統(tǒng)的有效生產(chǎn)前沿面，得出了不同決策情形下再制造商最優(yōu)回收數(shù)量、銷售定價(jià)的解析解，并且通過算例實(shí)驗(yàn)分析了一些主要的參數(shù)對最優(yōu)決策的影響。本文得到了一些與已有的研究文獻(xiàn)不同的研究結(jié)論：(1)在多種回收質(zhì)量等級的情形下基于每種質(zhì)量等級的單位回收和再制造成本參數(shù)構(gòu)造出了有效生產(chǎn)前沿面，不屬于該前沿面的任何回收質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品將被棄用，完善了Galbreth等[4]和楊愛峰等[5]提出的僅基于單位再制造成本的再制造分類策略；(2)明確給出了再制造產(chǎn)出率確定和不確定兩種情形下再制造產(chǎn)品銷售價(jià)格與有效回收質(zhì)量等級的回收和再制造成本參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，豐富了回收再制造定價(jià)決策的研究；(3)在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中對比分析了不同的補(bǔ)貼方式、不同的補(bǔ)貼對象對再制造商決策的效果，研究發(fā)現(xiàn)即使只對再制造成本低的回收質(zhì)量等級(質(zhì)量等級1)進(jìn)行補(bǔ)貼，隨著補(bǔ)貼額度的增加，再制造商的回收總數(shù)量最終也會逐漸增加，修正了Drake等[20]關(guān)于政府補(bǔ)貼的分析結(jié)論——根據(jù)他們的結(jié)論，若只對再制造成本較低的回收質(zhì)量等級1進(jìn)行補(bǔ)貼將不會對再制造商的回收總數(shù)量產(chǎn)生任何效果。此外，本文在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中還揭示了一些已有研究文獻(xiàn)尚未涉及的結(jié)論：(1)不同的回收質(zhì)量等級之間存在替代效應(yīng)或互補(bǔ)效應(yīng)，由其成本差異決定；(2)再制造產(chǎn)出率的不確定性和需求的不確定性之間存在對沖效應(yīng)，隨著再制造產(chǎn)出率不確定性的降低而減弱。

2 基本問題描述和建模

2.1 問題描述和數(shù)學(xué)表示

再制造商的決策過程被劃分為兩個(gè)階段。在第一階段，再制造品的市場需求是未知的，再制造商需要制定回收決策，即每種質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品的回收數(shù)量Qi，并完成廢舊產(chǎn)品的回收工作。在第二階段，再制造商需要根據(jù)觀察到的市場需求d制定生產(chǎn)決策，即使用每種質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造的數(shù)量qi(0 ≤qi≤Qi)，完成再制造產(chǎn)品生產(chǎn)，投放市場滿足需求。

再制造商的回收、生產(chǎn)聯(lián)合決策問題的數(shù)學(xué)表示如下：

(1)

s.t. 0≤qi≤Qi,i=1, …,n

(2)

q1+q2+ … +qn≤d

(3)

目標(biāo)函數(shù)(1)中第一部分是再制造商在第一階段的廢舊產(chǎn)品回收成本；第二部分是再制造商在第二階段關(guān)于需求的期望利潤，其中第一項(xiàng)是再制造商的銷售收入，第二項(xiàng)是再制造成本，第三項(xiàng)是缺貨成本。約束條件(2)表示每種質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品再制造數(shù)量不超過其回收的數(shù)量。約束條件(3)表示再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)總量不超過其市場需求。

2.2 最優(yōu)回收再制造決策

再制造商的回收、生產(chǎn)聯(lián)合決策問題(1)是一個(gè)兩階段的動態(tài)規(guī)劃問題，采用逆序求解法首先分析第二階段再制造商的最優(yōu)生產(chǎn)決策。在第二階段，當(dāng)再制造商的回收決策(Q1,Q2, …,Qn)已經(jīng)確定并且觀察到市場需求為d時(shí)，再制造商的生產(chǎn)決策問題就變成了一個(gè)確定型的產(chǎn)能分配問題。根據(jù)貪婪策略，再制造商會優(yōu)先選擇單位再制造成本最低的回收品進(jìn)行生產(chǎn)，當(dāng)該類回收品消耗完畢后，接著在剩下的回收品中繼續(xù)選擇單位再制造成本最低的進(jìn)行生產(chǎn)，依次類推，直到市場需求被滿足或者所有回收品被消耗完畢。因此，第二階段每種質(zhì)量等級i的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造的數(shù)量qi為：

(4)

定義1 若回收數(shù)量Qi> 0, 則稱質(zhì)量等級i為有效的質(zhì)量等級。給定任意兩個(gè)有效的質(zhì)量等級i和j，若對于所有滿足i

令集合S={s1,s2,…,sl}表示所有l(wèi)個(gè)從高到低排列的有效質(zhì)量等級集合，其中1≤l≤n。不屬于集合S的任何質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品將不會被再制造商回收，最優(yōu)回收數(shù)量為0。定理1給出了有效質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量的最優(yōu)性質(zhì)。

定理1對于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級si和si+1(1≤i≤l-1)，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

(5)

對于最末有效的質(zhì)量等級sl，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

(6)

證明：將式(4)代入(1)，求關(guān)于Qsi(1≤i≤l)的一階導(dǎo)數(shù)，則有:

(7)

令式(7)等于0，重新整理可得:

(8)

在式(8)中分別令i=1, 2, …,l，聯(lián)立化簡即可得到式(5)和式(6)。證畢。

由定理1可以看出，再制造商累積到某個(gè)有效質(zhì)量等級si的最優(yōu)回收總量的解析式類似于報(bào)童問題的最優(yōu)解，并且由該有效質(zhì)量等級si及其后連續(xù)的有效質(zhì)量等級si+1(若存在)的單位回收和再制造成本參數(shù)決定。定理1說明，再制造商的最優(yōu)回收決策是使得在再制造生產(chǎn)中選擇使用有效質(zhì)量等級si的廢舊產(chǎn)品時(shí)，與選擇使用其后連續(xù)的有效質(zhì)量等級si+1(若存在)的廢舊產(chǎn)品相比，節(jié)約的期望邊際再制造成本等于增加的邊際回收成本。

推論1有效質(zhì)量等級的最優(yōu)回收數(shù)量為：

(9)

(10)

(11)

證明：對式(5)和式(6)進(jìn)行重新整理即可得到式(9)～(11)。證畢。

推論2有效質(zhì)量等級的單位回收成本和再制造成本滿足如下條件：

rs1+cs1

(12)

且

(13)

證明：對于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級si和si+1(1≤i≤l-1)，均有:

(14)

將式(5)和式(6)代入式(14)，重新整理即可得到式(12)和式(13)。證畢。

推論2說明如果將有效質(zhì)量等級si(1≤i≤l)用其單位再制造成本和回收成本組成的點(diǎn)(csi,rsi)表示，依次連結(jié)起來，可以發(fā)現(xiàn)：(1)每條連線的斜率都大于-1且依次遞增；(2)每條連線的斜率都小于點(diǎn)(csl,rsl)與點(diǎn)(p+f,0)之間連線的斜率。推論2也給出了識別有效質(zhì)量等級的具體方法：對于任意兩個(gè)質(zhì)量等級i和j(1≤i

圖1 多種回收質(zhì)量等級下的有效生產(chǎn)前沿面

3 模型綜合擴(kuò)展

隨著回收再制造產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，一些品牌生產(chǎn)商也參與到其自身品牌廢舊產(chǎn)品的再制造活動中，如大眾汽車的再制造發(fā)動機(jī)項(xiàng)目。這類再制造商在市場上往往占據(jù)壟斷地位，此時(shí)再制造品的銷售價(jià)格就成為再制造商一個(gè)內(nèi)生的決策變量。此外，由于回收的再制造毛坯存在質(zhì)量差異，再制造工藝路線也存在一定的不確定性，因而再制造品的產(chǎn)出率往往具有一定程度的隨機(jī)性。針對企業(yè)回收再制造活動中的上述兩個(gè)特點(diǎn)，本節(jié)討論了多種回收質(zhì)量等級的再制造商決策問題的兩類模型擴(kuò)展：(1)考慮再制造品定價(jià)決策的模型擴(kuò)展；(2)考慮隨機(jī)產(chǎn)出率的模型擴(kuò)展。

3.1 模型擴(kuò)展1：價(jià)格相關(guān)的再制造品需求

當(dāng)再制造商具有市場主導(dǎo)權(quán)時(shí)，他往往會通過價(jià)格來調(diào)節(jié)再制造品的市場需求，以實(shí)現(xiàn)企業(yè)利潤最大化。考慮加法形式的再制造品市場需求-價(jià)格函數(shù)：D(p,u)=y(p)+u，其中，y(p)是關(guān)于p的減函數(shù)，u為隨機(jī)變量。將再制造品需求的價(jià)格敏感因子記為dD(p,u)/dp=dy(p)/dp=-b，則有b>0。再制造商在第一階段確定廢舊產(chǎn)品的回收決策，在第二階段確定再制造品的生產(chǎn)和定價(jià)決策，其回收、生產(chǎn)和定價(jià)聯(lián)合決策問題的數(shù)學(xué)表示如下：

(15)

其中

重復(fù)動態(tài)規(guī)劃逆序求解過程可知，對于任意給定的再制造品價(jià)格p，再制造商的最優(yōu)回收決策仍可由定理1得出：

對于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級si和si+1(1≤i≤l- 1)，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsi-rsi+1=

(16)

對于最末有效的質(zhì)量等級sl，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsl=(p+f-csl)

(17)

而再制造商的最優(yōu)定價(jià)決策則由如下定理給出。

定理2再制造商的最優(yōu)定價(jià)決策為：

(18)

證明：對式(15)求關(guān)于p的一階導(dǎo)數(shù)，則有:

(19)

令式(19)等于0，重新整理可得:

(20)

將式(16)和式(17)代入式(20)，重新整理即可得到式(18)。證畢。

值得注意的是，由于再制造品的銷售價(jià)格p變成了待求解的決策變量，此時(shí)無法直接使用式(13)進(jìn)行有效質(zhì)量等級的判定，需要通過以下迭代過程來識別有效的質(zhì)量等級：

步驟1：首先找出滿足式(12)的所有質(zhì)量等級的集合(初始集合)，將上述集合中各種質(zhì)量等級的成本參數(shù)代入式(18)得到再制造品的價(jià)格(初始價(jià)格)。

步驟2：利用上一步得到的價(jià)格在上一步得到的質(zhì)量等級集合中找出滿足式(13)的所有質(zhì)量等級，形成新的質(zhì)量等級集合；將新的質(zhì)量等級集合的相關(guān)成本參數(shù)代入式(18)，得到新的再制造品價(jià)格。

步驟3：重復(fù)步驟2，直到再制造品價(jià)格和質(zhì)量等級集合均不再變化為止。

3.2 模型擴(kuò)展2：隨機(jī)的再制造產(chǎn)出率

回收的廢舊產(chǎn)品因其質(zhì)量等級差異使得再制造工藝時(shí)間存在較大的不確定性，導(dǎo)致其在給定的生產(chǎn)周期內(nèi)的再制造產(chǎn)量也具有隨機(jī)性。因此，一般認(rèn)為再制造單位產(chǎn)出率是[0,1]區(qū)間上的一個(gè)連續(xù)分布的隨機(jī)變量，將其記為θ，其均值記為μθ，其累積分布函數(shù)記為G(·)，概率密度函數(shù)記為g(·)，并且與再制造品市場需求D相互獨(dú)立。

再制造商的回收、生產(chǎn)聯(lián)合決策問題的數(shù)學(xué)表示如下：

(21)

其中

再制造商在第二階段的生產(chǎn)決策變成一個(gè)考慮隨機(jī)產(chǎn)出的產(chǎn)能分配問題，需要根據(jù)使用每種質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造時(shí)的實(shí)際產(chǎn)出率來安排生產(chǎn)計(jì)劃。此外，在再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情況下，生產(chǎn)單位再制造品時(shí)消耗的廢舊產(chǎn)品數(shù)量增加，實(shí)際所需的回收成本相應(yīng)地也在增加，從而影響再制造商在第一階段的回收決策。定理3給出了再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)的最優(yōu)回收決策。

定理3再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)，對于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級si和si+1(1≤i≤l-1)，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsi-rsi+1=

(22)

對于最末有效的質(zhì)量等級sl，最優(yōu)的回收數(shù)量滿足：

rsl=(p+f-csl)

(23)

證明：對式(21)求關(guān)于Qsi(1≤i≤l)的一階導(dǎo)數(shù)，則有:

(24)

令式(24)等于0，重新整理可得

(25)

在式(25)中分別令i= 1, 2, …,l，聯(lián)立化簡即可得到式(22)和式(23)。證畢。

隨機(jī)的再制造產(chǎn)出率增加了單位再制造品所需的邊際回收成本，也導(dǎo)致有效質(zhì)量等級的識別條件產(chǎn)生了一定的變化。推論4給出了在再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情況下，有效質(zhì)量等級的回收和再制造成本參數(shù)需要滿足的條件。

推論4再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)有效質(zhì)量等級的單位回收成本和再制造成本滿足如下條件：

cs1+rs1/μθ

(26)

且

(27)

證明：對于任意兩個(gè)連續(xù)的有效質(zhì)量等級si和si+1(1≤i≤l-1)，均有

(28)

將式(22)和式(23)代入式(28)，重新整理即可得到式(26)和式(27)。證畢。

類似地，對于任意兩個(gè)質(zhì)量等級i和j(1≤i

在再制造產(chǎn)出率隨機(jī)的情況下，若同時(shí)考慮再制造商的定價(jià)策略，則有如下結(jié)論。

定理4再制造產(chǎn)出率隨機(jī)時(shí)的最優(yōu)定價(jià)策略為：

(29)

證明：在式(21)中令D=D(p,u)=y(p)+u，求關(guān)于p的一階導(dǎo)數(shù)，則有：

(30)

令式(30)等于0，重新整理可得：

(31)

將式(22)和式(23)代入式(31)，重新整理即可得到式(29)。證畢。

4 數(shù)值試驗(yàn)

本節(jié)在一個(gè)含有兩種有效回收質(zhì)量等級的算例中首先分析政府提供回收/再制造補(bǔ)貼、再制造品市場需求的不確定性等因素對再制造商最優(yōu)回收決策的影響。數(shù)值實(shí)驗(yàn)參數(shù)的基礎(chǔ)取值如下：再制造品市場需求D～N(200,602)，不同質(zhì)量等級廢舊產(chǎn)品的單位回收、再制成本r1=15，r2=10，c1=12，c2=20，再制造品的單位售價(jià)p=50，單位缺貨成本f=0。本節(jié)接著考察了再制造品需求-價(jià)格敏感因子、再制造產(chǎn)出率的不確定性等參數(shù)對再制造商回收、生產(chǎn)和定價(jià)決策的影響。在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中使用如下形式的需求函數(shù)：D(p,u)=a-bp+u，需求參數(shù)和再制造產(chǎn)出率的基礎(chǔ)取值為：a=200，b=2.5，u～N(30, 102)，θ～U(0.6, 1)。

4.1 政府回收/再制造補(bǔ)貼的影響

對于從事廢舊產(chǎn)品回收再制造的企業(yè)，政府一般會提供兩類補(bǔ)貼：回收補(bǔ)貼和再制造補(bǔ)貼。回收補(bǔ)貼是政府對廢舊產(chǎn)品的回收提供的單位經(jīng)濟(jì)補(bǔ)貼，如我國提供的廢舊電子電器產(chǎn)品回收補(bǔ)貼，而再制造補(bǔ)貼是政府對再制造品的生產(chǎn)提供的單位經(jīng)濟(jì)補(bǔ)貼。本節(jié)討論三種政府回收/再制造補(bǔ)貼方式：(1)對所有質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品回收/再制造進(jìn)行補(bǔ)貼；(2)只補(bǔ)貼較高質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品回收/再制造；(3)只補(bǔ)貼較低質(zhì)量等級的廢舊產(chǎn)品回收/再制造。用Δr和Δc分別表示單位回收補(bǔ)貼和單位再制造補(bǔ)貼，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中令其取不同的值：Δr, Δc∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，觀察再制造商在三種回收/再制造補(bǔ)貼方式下最優(yōu)決策的變化情況，得出如下結(jié)論：

圖2 全補(bǔ)貼方式下再制造商的回收決策

(1)與政府不提供任何補(bǔ)貼的情況(單位補(bǔ)貼額度為0)相比，全補(bǔ)貼方式能夠增加再制造商的回收總數(shù)量，但是只能增加質(zhì)量等級2(最末有效質(zhì)量等級)的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量，質(zhì)量等級1的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量不變。此外，在同等補(bǔ)貼額度下，回收補(bǔ)貼方式對再制造商決策的影響程度大于再制造補(bǔ)貼方式。

圖3 僅補(bǔ)貼質(zhì)量等級1的廢舊產(chǎn)品回收/再制造時(shí)再制造商的回收決策

(2)只對質(zhì)量等級1的廢舊產(chǎn)品回收/再制造進(jìn)行補(bǔ)貼時(shí)，隨著補(bǔ)貼額度的增加，質(zhì)量等級1的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量增加，質(zhì)量等級2的回收數(shù)量逐漸減少，直至為0。此外，當(dāng)補(bǔ)貼額度較低時(shí)，再制造商的回收總數(shù)量保持不變。

圖4 僅補(bǔ)貼質(zhì)量等級2的廢舊產(chǎn)品回收/再制造時(shí)再制造商的回收決策

(3)只對質(zhì)量等級2的廢舊產(chǎn)品回收/再制造進(jìn)行補(bǔ)貼時(shí)，隨著補(bǔ)貼額度的增加，再制造商的回收總數(shù)量增加，質(zhì)量等級2的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量增加，質(zhì)量等級1的回收數(shù)量逐漸減少為0。

4.2 再制造品需求不確定性的影響

本節(jié)使用變異系數(shù)(coefficient of variance)來衡量再制造品市場需求D的不確定性，將其記為cv，cv=σD/μD，其中μD為均值，σD為標(biāo)準(zhǔn)差。類似報(bào)童問題，本節(jié)使用PRi=1-ri/(p+f-ci)，i=1, 2來表示每種回收質(zhì)量等級的再制造利潤水平，使用DR=1-(r1-r2)/(c2-c1)來表示兩種回收質(zhì)量等級之間的成本差異水平，其中，PRi> 0.5表示利潤水平較高，PRi< 0.5表示利潤水平較低；DR> 0.5表示成本差異較高，DR< 0.5表示成本差異較低。

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，固定需求的均值為μD=200，改變其標(biāo)準(zhǔn)差σD的取值，使變異系數(shù)cv取不同的值：cv∈{0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0}。此外，固定其它成本參數(shù)不變，通過改變再制造品價(jià)格p的取值考慮兩種再制造利潤水平：p= 38(低利潤水平)，p= 50(高利潤水平)；通過改變質(zhì)量等級2的廢舊產(chǎn)品回收成本r2的取值考慮兩種成本差異水平：r2= 10(低成本差異)，r2= 11.5(高成本差異)。圖5和圖6分別給出了不同再制造利潤水平和不同成本差異水平下再制造商的最優(yōu)回收決策。

圖5 再制造利潤水平較高時(shí)不同需求波動水平下再制造商的回收決策

圖6 再制造利潤水平較低時(shí)不同需求波動水平下再制造商的回收決策

當(dāng)廢舊產(chǎn)品的回收再制造利潤水平較高(即p=50)時(shí)，再制造品市場需求不確定性的增加會導(dǎo)致再制造商加大廢舊產(chǎn)品的回收總數(shù)量。在再制造生產(chǎn)中作為備用和補(bǔ)充的質(zhì)量等級2(最末有效質(zhì)量等級)的廢舊產(chǎn)品，其回收數(shù)量也隨之增加。而對于質(zhì)量等級1的廢舊產(chǎn)品，若其與質(zhì)量等級2的廢舊產(chǎn)品存在較大成本差異，則回收數(shù)量隨之增加，即兩種質(zhì)量等級之間存在互補(bǔ)效應(yīng)；若成本差異較小，回收數(shù)量則會隨之減少，即兩種質(zhì)量等級之間存在替代效應(yīng)。

當(dāng)廢舊產(chǎn)品的回收再制造利潤水平較低(即p=38)時(shí)，再制造品市場需求不確定性的增加會導(dǎo)致再制造商減少廢舊產(chǎn)品的回收總數(shù)量。此時(shí)若兩種質(zhì)量等級的回收產(chǎn)品的成本差異較小，質(zhì)量等級1的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量減少，質(zhì)量等級2的廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量增加；若成本差異較大，只使用質(zhì)量等級1的廢舊產(chǎn)品進(jìn)行再制造，且其回收數(shù)量減少。

4.3 再制造品需求-價(jià)格敏感因子的影響

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，固定其它成本參數(shù)不變，改變再制造品需求-價(jià)格敏感因子b的取值：b∈{0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5, 4.0, 4.5, 5.0}。此外，固定u的均值為μu=30，改變標(biāo)準(zhǔn)差σu的取值，考慮三種需求不確定性水平：σu=10(低)，σu=20(中)，σu=30(高)。圖7和表1分別給出了不同需求不確定水平下再制造商的回收決策和定價(jià)決策。

可以直觀地看出，隨著需求-價(jià)格敏感因子的增大，再制造商的最優(yōu)定價(jià)和回收數(shù)量均逐漸下降。

圖7 不同的需求-價(jià)格敏感水平下再制造商的回收決策

表1 不同的需求-價(jià)格敏感水平下再制造商的定價(jià)決策

而對于需求-價(jià)格敏感因子的某一確定取值，隨著需求不確定性的增加，再制造商的最優(yōu)定價(jià)逐漸下降，回收數(shù)量則呈現(xiàn)出不同的變化趨勢：當(dāng)需求-價(jià)格敏感因子較小(如b=0.5)時(shí)，再制造品的最優(yōu)銷售價(jià)格較高，再制造利潤水平較高，因此再制造商會增加廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量；當(dāng)需求-價(jià)格敏感因子較大(如b=5.0)時(shí)，再制造品的最優(yōu)銷售價(jià)格較低，再制造利潤水平較低，此時(shí)再制造商反而會減少廢舊產(chǎn)品回收數(shù)量。

4.4 再制造產(chǎn)出率不確定性的影響

在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中，固定再制造產(chǎn)出率θ～U(A,B)的均值為μθ=0.8，改變其分布上下限的取值，得到不同的分布范圍：(A,B)∈{(0.6, 1.0), (0.62, 0.98), (0.64, 0.96), (0.66, 0.94), (0.68, 0.92), (0.7, 0.9), (0.72, 0.88), (0.74, 0.86), (0.76, 0.84), (0.78, 0.82), (0.8, 0.8)}。圖8給出了不考慮定價(jià)決策時(shí)不同的產(chǎn)出率波動水平下再制造商的最優(yōu)回收決策。可以看出，當(dāng)再制造產(chǎn)出率的不確定性降低時(shí)，再制造商的回收總數(shù)量反而略微增加。這說明再制造產(chǎn)出率的不確定性和再制造品的需求不確定性之間存在一種“對沖”效應(yīng)：當(dāng)再制造產(chǎn)出率的不確定性降低(即分布范圍變窄)時(shí)，這種“對沖”效應(yīng)也會減弱，從而導(dǎo)致再制造商的回收總數(shù)量增加。需要指出的是，當(dāng)再制造品市場需求與價(jià)格相關(guān)時(shí)，也能夠觀察到這種“對沖”效應(yīng)。

圖8 不同產(chǎn)出率波動水平下再制造商的回收決策

5 結(jié)語

本文在一個(gè)回收再制造系統(tǒng)中研究了存在多種回收質(zhì)量等級時(shí)的兩階段回收—再制造聯(lián)合優(yōu)化決策問題，進(jìn)而擴(kuò)展到需求與價(jià)格相關(guān)和再制造產(chǎn)出率隨機(jī)兩種情形。在最大化再制造商期望利潤的決策目標(biāo)下，通過識別有效的回收質(zhì)量等級構(gòu)造出系統(tǒng)的有效生產(chǎn)前沿面，在此基礎(chǔ)上分別給出了不同決策情形下再制造商最優(yōu)回收數(shù)量、銷售定價(jià)的解析解，并且分析了一些主要的參數(shù)對最優(yōu)決策的影響。本文的研究結(jié)果揭示了企業(yè)回收再制造活動中的幾個(gè)特點(diǎn):(1)含有多種回收質(zhì)量等級的回收再制造系統(tǒng)中存在一個(gè)下凸的有效生產(chǎn)前沿面，不在該前沿面上的任何質(zhì)量等級的回收產(chǎn)品將不會被用于再制造；(2)若政府提供補(bǔ)貼，則在同等補(bǔ)貼額度下，回收補(bǔ)貼方式對再制造商決策的影響程度大于再制造補(bǔ)貼方式；(3)當(dāng)再制造品市場需求與價(jià)格相關(guān)時(shí)，最優(yōu)銷售價(jià)格至少大于第一種被使用的回收質(zhì)量等級的邊際回收和再制造成本；(4)任意兩種回收質(zhì)量等級之間存在著替代或互補(bǔ)效應(yīng)，由其成本差異決定，并且這種效應(yīng)隨需求不確定性的增大而增大；(5)再制造產(chǎn)出率的不確定性和再制造品的需求不確定性之間存在“對沖”效應(yīng)，這種效應(yīng)隨著再制造產(chǎn)出率不確定性的降低而減弱。這些結(jié)論對企業(yè)回收再制造系統(tǒng)決策問題的研究提供了新的視角和有益補(bǔ)充。

本論文可擴(kuò)展的研究方向有：考慮乘法形式的再制造產(chǎn)品需求函數(shù)；考慮回收質(zhì)量等級連續(xù)隨機(jī)分布的情況；考慮回收數(shù)量與回收價(jià)格相關(guān)的情況；考慮每種質(zhì)量等級各自不同的隨機(jī)再制造產(chǎn)出率等。此外，已有研究者注意到再制造產(chǎn)品銷售對新產(chǎn)品銷售帶來的雙重效應(yīng)：市場擠兌與市場增長效應(yīng)[21]，因此進(jìn)一步研究再制造產(chǎn)品與新產(chǎn)品同時(shí)在市場上銷售時(shí)的差異化定價(jià)策略具有十分重要的實(shí)際意義和應(yīng)用價(jià)值。而在實(shí)際運(yùn)作中，廢舊產(chǎn)品的回收往往委托第三方回收商完成的，再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)和銷售也可能各有分工，再制造供應(yīng)鏈上的協(xié)調(diào)優(yōu)化問題也將不斷涌現(xiàn)，成為下一步的研究重點(diǎn)。