不確定性、最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)與投資期權(quán)價(jià)值

曹啟龍,周 晶,盛昭瀚

(南京大學(xué)工程管理學(xué)院,江蘇南京210093)

1 引 言

自Myers[1]提出可以把企業(yè)在未來(lái)的投資機(jī)會(huì)看作成長(zhǎng)期權(quán)以來(lái),關(guān)于期權(quán)在實(shí)物投資中的研究,即實(shí)物期權(quán)領(lǐng)域的研究一時(shí)成為學(xué)界的熱點(diǎn).實(shí)物期權(quán)理論之所以能夠引起國(guó)內(nèi)外學(xué)界和實(shí)務(wù)界的強(qiáng)烈關(guān)注,在于其相對(duì)于傳統(tǒng)投資決策方法的三大優(yōu)勢(shì):考慮了投資的不可逆(部分不可逆)性、管理的靈活性以及等待的時(shí)間價(jià)值[2].以Dixit等[3]為代表的一批學(xué)者深入探討了不確定性、投資時(shí)機(jī)選擇與企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值關(guān)系及其應(yīng)用的問(wèn)題.Bellalah等[4]基于資本資產(chǎn)定價(jià)模型研究了不完全信息條件下企業(yè)投資的期權(quán)價(jià)值.Cortazar等[5]的研究是把實(shí)物期權(quán)理論應(yīng)用于討論油田投資的代表作之一.Farzin等[6]開(kāi)創(chuàng)性的研究了技術(shù)采用的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)問(wèn)題.Bellalah[7]考慮了存在信息成本的條件下的不可逆性以及沉沒(méi)成本對(duì)企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值的影響.Wong[8]研究了不確定條件下的投資時(shí)機(jī)選擇效應(yīng),并發(fā)現(xiàn)了不確定性與期望投資時(shí)間的倒“U”型關(guān)系.亢婭麗等[9]基于實(shí)物期權(quán)理論評(píng)估了政策不確定條件下的發(fā)電企業(yè)投資燃煤發(fā)電+CSS技術(shù)的期權(quán)價(jià)值以及主要影響因素.

此后,有學(xué)者注意到企業(yè)在進(jìn)行投資時(shí)不僅要考慮到投資的時(shí)機(jī)而且要考慮投資的規(guī)模問(wèn)題.B?ckman等[10]研究了不確定條件下小型水電站的投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模問(wèn)題,得出了不同項(xiàng)目類型的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模.Wong[11]構(gòu)建出一個(gè)連續(xù)時(shí)間序列模型,研究了不確定性對(duì)投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模的影響.Wong[12]基于均值回歸模型研究了投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模對(duì)放棄期權(quán)投資的影響效應(yīng).國(guó)內(nèi)學(xué)者李應(yīng)求等[13]以最大化投資機(jī)會(huì)價(jià)值為基點(diǎn),在不確定條件下構(gòu)建了最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模的模型,并用數(shù)值解研究了其變化規(guī)律.李強(qiáng)等[14]基于實(shí)物期權(quán)的方法研究了企業(yè)融資能力對(duì)企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新投資決策的影響.陽(yáng)軍等[15]基于實(shí)物期權(quán)理論,研究了不變產(chǎn)出和可變產(chǎn)出條件下企業(yè)最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模的解析表達(dá)式,比較了不同條件下的企業(yè)投資決策問(wèn)題.

通過(guò)上述綜述和分析可以看出,學(xué)界對(duì)企業(yè)在不確定條件下的投資決策問(wèn)題主要是從兩個(gè)方面展開(kāi)的:投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模的選擇.然而,當(dāng)涉及到企業(yè)投資規(guī)模的問(wèn)題時(shí),一個(gè)不得不面臨的問(wèn)題是企業(yè)資金的來(lái)源,即股權(quán)融資與債務(wù)融資的權(quán)衡問(wèn)題.根據(jù)資本結(jié)構(gòu)權(quán)衡理論[16-18],企業(yè)進(jìn)行債務(wù)融資有兩個(gè)方面的效應(yīng):債務(wù)融資產(chǎn)生的債務(wù)利息是免稅的,即負(fù)債能夠產(chǎn)生“稅盾效應(yīng)”,增加企業(yè)的價(jià)值;但同時(shí)負(fù)債過(guò)多,破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)也就更大,這一不利因素降低了企業(yè)的價(jià)值.這一經(jīng)典理論認(rèn)為對(duì)于負(fù)債企業(yè)而言,企業(yè)價(jià)值是其“稅盾”效應(yīng)與破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)權(quán)衡的結(jié)果,并且根據(jù)這一權(quán)衡過(guò)程能夠得到最優(yōu)的負(fù)債水平,即最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu).鑒于現(xiàn)實(shí)中幾乎不存在不負(fù)債的企業(yè),因此更為現(xiàn)實(shí)的問(wèn)題是考慮不確定條件下,企業(yè)負(fù)債時(shí)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模選擇的問(wèn)題.

考慮到不確定性、資本結(jié)構(gòu)水平對(duì)企業(yè)價(jià)值的重要影響,本文基于實(shí)物期權(quán)理論和資本結(jié)構(gòu)理論研究在企業(yè)負(fù)債的條件下,企業(yè)投資時(shí)機(jī)、投資規(guī)模的選擇問(wèn)題及其對(duì)企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值的影響.本文的研究有三個(gè)方面的新問(wèn)題:第一,在不同的不確定條件下即不同的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)水平下,企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的選擇問(wèn)題;第二,在不同的不確定條件下,負(fù)債企業(yè)與非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值的差異性問(wèn)題,即債務(wù)是否增加了企業(yè)的投資期權(quán)價(jià)值;第三,負(fù)債企業(yè)在不同的資本結(jié)構(gòu)情形下,最優(yōu)投資規(guī)模和最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的選擇問(wèn)題.本文的研究既得到了與已有研究相一致的結(jié)論,即隨著企業(yè)面臨風(fēng)險(xiǎn)不確定性的增加,企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值亦會(huì)增加,也得到了更多的新的結(jié)論,具體為對(duì)應(yīng)上述問(wèn)題的三個(gè)方面:1)當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率在一定的范圍之內(nèi)時(shí),不確定性與資本結(jié)構(gòu)是正相關(guān)的關(guān)系,而一旦超出某個(gè)臨界點(diǎn),不確定性的增加將導(dǎo)致企業(yè)資本結(jié)構(gòu)劇烈的下降;2)負(fù)債企業(yè)和非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值雖然都隨著資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的增加而增加,但二者增加的趨勢(shì)和幅度是不同的,并且不確定性的程度在一定的范圍之內(nèi)時(shí)負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值大于非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià),而一旦超過(guò)了某一臨界點(diǎn),則正好相反;3)企業(yè)負(fù)債水平的增加能夠推遲企業(yè)的投資時(shí)機(jī)但會(huì)增加企業(yè)投資的規(guī)模,并且企業(yè)投資規(guī)模增加的幅度要大于企業(yè)投資時(shí)機(jī)的幅度.

2 企業(yè)負(fù)債與投資決策

企業(yè)在進(jìn)行投資決策時(shí)通常要面臨如下問(wèn)題:1)何時(shí)投資;2)投資多少;3)如何融資.假設(shè)企業(yè)投資時(shí)機(jī)的選擇與其產(chǎn)品的預(yù)期市場(chǎng)價(jià)格產(chǎn)品嚴(yán)格相關(guān),即當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格較低時(shí)不投資,當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格上升到某一水平之后,可以“觸發(fā)”企業(yè)進(jìn)行投資.假設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)出價(jià)格為p,并且p服從幾何布朗運(yùn)動(dòng),即

其中u和σ分別為產(chǎn)品價(jià)格的預(yù)期增長(zhǎng)率和波動(dòng)率,z為維納過(guò)程.

根據(jù)柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù),企業(yè)的產(chǎn)出與投資的關(guān)系為Q=ALαKβ,其中Q為產(chǎn)出水平,A為技術(shù)水平,L為勞動(dòng)力投入,K為資本投入,α和β分別為勞動(dòng)力和資本產(chǎn)出的彈性系數(shù).為簡(jiǎn)化起見(jiàn),假設(shè)企業(yè)具有不變的技術(shù)產(chǎn)出水平和勞動(dòng)力投入水平,并且A=1,α=1,則企業(yè)的產(chǎn)出完全由其投入的資本水平K所決定,即Q=Ka,0＜a≤1.假設(shè)每一單位資本的價(jià)格為k,則投資的總成本為kK.根據(jù)柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù),單位時(shí)間內(nèi)的生產(chǎn)能力(產(chǎn)量水平)與投入的資本為指數(shù)函數(shù)關(guān)系,則其投資的總成本又可以寫(xiě)成kQb,b=1/a,由于k和a都是正的常數(shù),Q和K存在著嚴(yán)格的正相關(guān)關(guān)系,下文將以Q代表企業(yè)的投資規(guī)模.另外假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)的可變成本為c,稅率為τ,現(xiàn)金流折現(xiàn)率為ρ,并且ρ＞μ,企業(yè)進(jìn)行債務(wù)融資時(shí)支付的債務(wù)利息為?m,其中?為債務(wù)不違約時(shí)的債務(wù)利息率,m為債務(wù)的面值.

2.1 無(wú)負(fù)債時(shí)企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值

為了能夠與負(fù)債企業(yè)的投資決策進(jìn)行比較,這一小節(jié)在文獻(xiàn)[19]研究的基礎(chǔ)之上首先討論無(wú)負(fù)債時(shí)企業(yè)的投資時(shí)機(jī)、投資規(guī)模以及投資期權(quán)價(jià)值的問(wèn)題.企業(yè)在沒(méi)有債務(wù)并且持續(xù)經(jīng)營(yíng)的情形下,其價(jià)值為經(jīng)營(yíng)現(xiàn)金流的折現(xiàn)值,在企業(yè)產(chǎn)品的產(chǎn)出價(jià)格為p時(shí),有

將E(pt)=peut代入上式,可得

式(1)說(shuō)明,無(wú)負(fù)債企業(yè)的價(jià)值為其收入流的現(xiàn)值與支出流的現(xiàn)值之差.

式(1)是非負(fù)債企業(yè)能夠持續(xù)經(jīng)營(yíng)條件下的企業(yè)價(jià)值,若假設(shè)p?為企業(yè)進(jìn)行投資的門(mén)檻價(jià)格,則上式隱含的假設(shè)是p＞p?.根據(jù)文獻(xiàn)[19],當(dāng)市場(chǎng)前景不好,產(chǎn)品價(jià)格持續(xù)下降到p＜p?時(shí),企業(yè)將停止生產(chǎn),由于非負(fù)債的企業(yè)不能申請(qǐng)破產(chǎn),并且產(chǎn)品價(jià)格依然存在上升的可能性,因此對(duì)于暫時(shí)停止生產(chǎn)的企業(yè)而言,其再次開(kāi)始生產(chǎn)的投資機(jī)會(huì)相當(dāng)于一個(gè)看漲期權(quán),即p＜p?時(shí)企業(yè)存在投資的期權(quán)價(jià)值.由于期權(quán)不產(chǎn)生現(xiàn)金流,根據(jù)Bellman方程,在時(shí)間區(qū)間(t,dt)內(nèi)

其中F(p)為企業(yè)投資的期權(quán)價(jià)值,計(jì)算并化簡(jiǎn)得

根據(jù)文獻(xiàn)[2],上述微分方程的解的形式為

為使得系數(shù)A1,A2不為0,表達(dá)式F(p)=A1pβ1+A2pβ2還滿足如下約束條件

約束條件(2)表示當(dāng)產(chǎn)品價(jià)格p趨近于0時(shí),其再次回復(fù)到原有價(jià)格水平的可能性非常小,對(duì)于企業(yè)而言此時(shí)已經(jīng)沒(méi)有繼續(xù)等待的價(jià)值了,因此其對(duì)應(yīng)的投資期權(quán)價(jià)值為0.約束條件(3)為價(jià)值匹配條件,即在p?這一點(diǎn),企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值等于企業(yè)投資的最終凈回報(bào)V(p?)-kQb.約束條件(4)為平滑粘貼條件1關(guān)于價(jià)值匹配和平滑粘貼條件的討論見(jiàn)文獻(xiàn)[3]..

由于β2＜0,為滿足式(2)需要有A2=0,此時(shí)F(p)=A1pβ1.結(jié)合表達(dá)式價(jià)值匹配條件(3)和平滑粘貼條件(4),可得

由式(5)和式(6)可得

從而得到企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值

在上述的分析中,將企業(yè)的產(chǎn)量Q都是作為給定的外生變量,但在企業(yè)的實(shí)際生產(chǎn)中,企業(yè)必須根據(jù)市場(chǎng)的需求不斷的調(diào)整產(chǎn)量,企業(yè)對(duì)產(chǎn)量的調(diào)整應(yīng)滿足其價(jià)值最大化,即給定任意的產(chǎn)品價(jià)格水平p,有,計(jì)算可得

式(7)為企業(yè)進(jìn)行投資時(shí)的產(chǎn)品門(mén)檻價(jià)格表達(dá)式,把式(10)代入到式(7)可計(jì)算出在企業(yè)選擇其最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)模時(shí)所對(duì)應(yīng)的投資價(jià)格

把式(10),式(11)代入到式(9)就可以得到非負(fù)債企業(yè)在選擇其最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)生產(chǎn)規(guī)模時(shí)的投資期權(quán)價(jià)值.

2.2 負(fù)債條件下的投資時(shí)機(jī)、投資規(guī)模與投資期權(quán)價(jià)值

雖然目前大多數(shù)研究不確定條件下企業(yè)投資決策的文獻(xiàn)沒(méi)有涉及到企業(yè)的債務(wù)問(wèn)題,但現(xiàn)實(shí)中債務(wù)融資是企業(yè)投資資金的重要來(lái)源之一.公司金融理論認(rèn)為企業(yè)負(fù)債不僅能夠提升企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值,而且債務(wù)的規(guī)模和結(jié)構(gòu)也能夠影響到企業(yè)投資的選擇.因此,研究不確定條件下,負(fù)債企業(yè)投資的時(shí)機(jī)選擇、投資規(guī)模以及投資期權(quán)價(jià)值問(wèn)題是十分有必要的.

當(dāng)企業(yè)進(jìn)行債務(wù)融資時(shí),假設(shè)企業(yè)支付的債務(wù)利息為?m,其中?為不違約時(shí)的債務(wù)利息率,m為債務(wù)的面值.對(duì)于負(fù)債的企業(yè)而言,企業(yè)的價(jià)值可以分為債務(wù)價(jià)值和權(quán)益價(jià)值兩個(gè)部分[20].下面分別對(duì)這兩個(gè)部分的價(jià)值進(jìn)行計(jì)算.首先對(duì)負(fù)債企業(yè)的債務(wù)價(jià)值進(jìn)行計(jì)算,有

式(12)表示在貼現(xiàn)率水平為ρ的水平下,債務(wù)利息的確定現(xiàn)值.由于該現(xiàn)值是確定的，因此用一個(gè)固定的參數(shù)G來(lái)表示.

根據(jù)文獻(xiàn)[20],當(dāng)考慮到產(chǎn)品價(jià)格波動(dòng)對(duì)債務(wù)的影響,即考慮到產(chǎn)品價(jià)格下降后的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)時(shí),企業(yè)的債務(wù)價(jià)值應(yīng)該有一定的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償,根據(jù)Bellman方程,可以計(jì)算出考慮價(jià)格波動(dòng)(破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn))的債務(wù)價(jià)值

需要說(shuō)明的是,這里的D(p)表示考慮存在破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的債務(wù)價(jià)值,是一個(gè)不確定性的變量,而G是表示債務(wù)利息現(xiàn)值的確定性變量,兩者是不同的.計(jì)算并化簡(jiǎn)得到非齊次常微分方程

容易得出該方程的解為

第1項(xiàng)為確定條件下債務(wù)的價(jià)值,第2項(xiàng)和第3項(xiàng)為考慮到破產(chǎn)情形下的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償價(jià)值,D1,D2為待定系數(shù).

同樣,在不考慮破產(chǎn)的條件下,企業(yè)權(quán)益的價(jià)值貼現(xiàn)為

而當(dāng)考慮到企業(yè)破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)時(shí),有

其中π=(1-τ)[Q(p-c)-?m.

計(jì)算并化簡(jiǎn)得到常微分方程

其中S(p)表示考慮存在破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)益價(jià)值,是一個(gè)不確定性的變量,而W是表示權(quán)益價(jià)值現(xiàn)值的確定性變量,兩者是不同的.該方程的解為

第1項(xiàng)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)條件下債務(wù)的價(jià)值,第2項(xiàng)和第3項(xiàng)為考慮到破產(chǎn)情形下的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償價(jià)值,S1,S2為待定系數(shù).

方程(13)和方程(15)分別表示考慮破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)時(shí),負(fù)債企業(yè)的債務(wù)市場(chǎng)價(jià)值和權(quán)益市場(chǎng)價(jià)值,兩個(gè)方程式共有D1,D2和S1,S2四個(gè)待定系數(shù).為了能夠得到待定系數(shù)的解,依據(jù)Sarkar[20]的論述,當(dāng)p→∞時(shí),企業(yè)破產(chǎn)的概率幾乎為0,此時(shí)附加于債務(wù)價(jià)值和權(quán)益價(jià)值的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償也趨于0,因此當(dāng)p→∞時(shí),有

由于β1＞1、β2＜0,為得到收斂解,需要有D1=0,S1=0,即

進(jìn)一步分析當(dāng)企業(yè)的價(jià)格持續(xù)下降時(shí)的情形:當(dāng)企業(yè)的產(chǎn)出價(jià)格持續(xù)下降到某一價(jià)格水平時(shí),企業(yè)的收益不足以支付其債務(wù)利息,此時(shí)企業(yè)會(huì)申請(qǐng)破產(chǎn).假設(shè)這一破產(chǎn)價(jià)格的臨界水平為pb,并且當(dāng)企業(yè)破產(chǎn)時(shí),會(huì)產(chǎn)生破產(chǎn)成本,假設(shè)破產(chǎn)成本占企業(yè)價(jià)值的比例為λ,0≤λ≤1.在企業(yè)破產(chǎn)之后,債權(quán)持有者可以得到剩余的1-λ的企業(yè)價(jià)值,而權(quán)益所有者得到的價(jià)值為0,因此在pb價(jià)格水平上,有以下條件成立

把式(1),式(16),式(17)分別代入約束條件式(18),式(19),式(20),得

從而

上文分別計(jì)算了不考慮負(fù)債時(shí),企業(yè)的價(jià)值和投資期權(quán)的價(jià)值以及負(fù)債時(shí)企業(yè)的債務(wù)價(jià)值和權(quán)益價(jià)值,同樣能夠繼續(xù)得出產(chǎn)出價(jià)格水平服從布朗運(yùn)動(dòng)條件下的負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值.

式(25)不容易求得其解析解,但給出常數(shù)的參數(shù)之后較易獲得其數(shù)值解,在得到的數(shù)值解之后,根據(jù)價(jià)值匹配條件式(23)很容易求得負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值

從而

實(shí)際生產(chǎn)當(dāng)中,企業(yè)可以依據(jù)預(yù)期的市場(chǎng)需求調(diào)整產(chǎn)量,從而選擇最優(yōu)的生產(chǎn)規(guī)模Q.最優(yōu)的投資水平應(yīng)該滿足在任意的產(chǎn)品價(jià)格p下,負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值最大化,即.將式(27)對(duì)Q求一階導(dǎo)數(shù),計(jì)算并化簡(jiǎn)得

其中

由此,得到了負(fù)債企業(yè)投資時(shí)機(jī)選擇的表達(dá)式(25),負(fù)債企業(yè)最優(yōu)投資規(guī)模的表達(dá)式(28),由于這兩個(gè)表達(dá)式都是非線性方程,不容易求得解析解,將在下文對(duì)其進(jìn)行數(shù)值求解.若給定不同的負(fù)債水平,并同時(shí)對(duì)式(25)和式(28)組成的非線性方程組進(jìn)行求解,可以得到不同負(fù)債水平條件下企業(yè)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模.把和代入到式(27),則很容易得到不同價(jià)格水平下負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值.

3 最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的選擇

因?yàn)榇嬖诙惗艿氖找嫘?yīng)和破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)效應(yīng),對(duì)于負(fù)債企業(yè)而言,在投資時(shí)不僅要考慮投資的時(shí)機(jī)選擇和投資規(guī)模問(wèn)題,還要考慮企業(yè)資本的結(jié)構(gòu)問(wèn)題,即負(fù)債企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu).根據(jù)權(quán)衡理論,負(fù)債企業(yè)的價(jià)值為權(quán)益資本的市場(chǎng)價(jià)值加上稅盾效應(yīng)的現(xiàn)值再減去破產(chǎn)成本的現(xiàn)值,而最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)是其稅盾效應(yīng)和破產(chǎn)效應(yīng)權(quán)衡的結(jié)果,在最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)水平上,企業(yè)的價(jià)值應(yīng)最大化.結(jié)合實(shí)物期權(quán)理論,在不確定條件下,最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)應(yīng)該滿足企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值的最大化.若令企業(yè)的債務(wù)額l=?m,則根據(jù)本文的說(shuō)明和假設(shè),企業(yè)的最優(yōu)負(fù)債水平應(yīng)該滿足

即

同樣對(duì)式(32)進(jìn)行數(shù)值求解可以得到使得負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值最大化的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)水平.若同時(shí)求解由式(25),式(28)和式(32)組成的非線性方程組,能夠得到企業(yè)進(jìn)行投資時(shí)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)、最優(yōu)的投資規(guī)模以及最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)水平l?.

4 算例仿真分析

接下來(lái)采用數(shù)值求解的方法對(duì)構(gòu)建的模型的特征進(jìn)行分析.參數(shù)值的選取參考了Bar-Ilan等[19]的文獻(xiàn),具體賦值為μ=0.01,σ=0.05,ρ=0.06,k=2,c=1,b=2或a=0.5,τ=0.15,λ=0.1.算例仿真主要焦距如下三個(gè)方面的問(wèn)題:第一,在不同的不確定條件下即不同的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)水平下,企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的選擇問(wèn)題;第二,在不同的不確定條件下,負(fù)債企業(yè)與非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值的差異性問(wèn)題,即債務(wù)是否增加了企業(yè)的投資期權(quán)價(jià)值;第三,負(fù)債企業(yè)在不同的資本結(jié)構(gòu)情形下,最優(yōu)投資規(guī)模和最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的選擇問(wèn)題.

圖1為負(fù)債企業(yè)在不同的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)水平下,企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)選擇的仿真圖.從圖1可以看出,在波動(dòng)率為0的情形下,企業(yè)選擇的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)水平為52.16%;此后隨著波動(dòng)率的增加,企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出平緩上升的趨勢(shì),直到波動(dòng)率為0.73時(shí),最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)達(dá)到其臨界值0.80;接下來(lái),隨著波動(dòng)率的增加,企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)出現(xiàn)了近乎直線的下降,在波動(dòng)率為0.91時(shí),企業(yè)的資本結(jié)構(gòu)下降到52.16%,即波動(dòng)率為0的情形,而在波動(dòng)率接近1.0的情形下,企業(yè)選擇的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)為0,此時(shí)企業(yè)已完全不負(fù)債了.從該描述性分析中可以看出,企業(yè)的資本結(jié)構(gòu)選擇與其資產(chǎn)價(jià)格的不確定性有著極為強(qiáng)烈的關(guān)系,資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率在一定的范圍之內(nèi)時(shí),與資本結(jié)構(gòu)是正相關(guān)的關(guān)系,而一旦超出某個(gè)臨界點(diǎn)(本文參數(shù)模擬的臨界點(diǎn)時(shí)0.73),不確定性的增加可以導(dǎo)致企業(yè)資本結(jié)構(gòu)劇烈的下降.

圖1 不同波動(dòng)率水平下企業(yè)的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)選擇Fig.1 The optimal capital structure under different volatility levels

圖2為在不同波動(dòng)率水平下非負(fù)債企業(yè)與負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值的對(duì)比仿真圖.從圖2中可以看出,在資產(chǎn)價(jià)格為0的情形下,負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值略大約非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值,隨著不確定性程度的增加,負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值和非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值都呈現(xiàn)出上升的趨勢(shì),但兩者增加的軌跡明顯不同:負(fù)債企業(yè)以近似于凹函數(shù)的形式增加,而非負(fù)債企業(yè)以近似于凸函數(shù)的形式增加,兩者在波動(dòng)率為0.91處有一個(gè)交點(diǎn).

在Dixit等的研究中,一個(gè)經(jīng)典的結(jié)論是:隨著企業(yè)面臨風(fēng)險(xiǎn)不確定性的增加,企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值亦會(huì)增加[2,3,7].這一經(jīng)典結(jié)論在圖2中得以在此驗(yàn)證,但除此之外,本文創(chuàng)新性的把實(shí)物期權(quán)理論與資本結(jié)構(gòu)理論結(jié)合起來(lái),考慮了現(xiàn)實(shí)中企業(yè)存在負(fù)債和破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的情形下其投資期權(quán)價(jià)值的問(wèn)題.在得到與經(jīng)典理論相一致的結(jié)論的同時(shí),本文的模型還得到了一些新的結(jié)論:1)負(fù)債企業(yè)和非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值雖然都隨著資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的增加而增加,但二者增加的趨勢(shì)和幅度是不同的;2)在波動(dòng)率小于0.91的情形下,負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值大于非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值,而在波動(dòng)率大于0.91的情形下,正好相反.負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值之所以會(huì)小于非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值根源在于不確定性太高,不確定性在一定范圍之內(nèi)可以提高負(fù)債企業(yè)和非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值,而一旦不確定性程度超過(guò)了某一臨界點(diǎn)(本文參數(shù)模擬的臨界點(diǎn)時(shí)0.91),對(duì)于負(fù)債企業(yè)而言其面臨的風(fēng)險(xiǎn)大大增加,企業(yè)會(huì)迅速降低其負(fù)債的水平,從而債務(wù)稅盾的價(jià)值迅速下降,加之高度不確定性情形下企業(yè)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)的增加,一同降低了負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值.

圖2 不同波動(dòng)率水平下企業(yè)投資期權(quán)的價(jià)值Fig.2 The value of option to investment under different volatility levels

文獻(xiàn)[3]研究了非負(fù)債企業(yè)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的問(wèn)題,但并沒(méi)有涉及到投資規(guī)模和企業(yè)的債務(wù)問(wèn)題,他們的研究只考慮不同不確定性情形下企業(yè)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)問(wèn)題.本文構(gòu)建的模型不僅同時(shí)考慮了企業(yè)的投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模,而且分析了債務(wù)因素的影響,這一問(wèn)題的仿真結(jié)果如圖3所示.

圖3 不同資本結(jié)構(gòu)水平下企業(yè)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模Fig.3 Optimal timing and optimal size under different capital structure levels

圖3為企業(yè)在不同的資本結(jié)構(gòu)水平下最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模選擇的仿真結(jié)果,橫軸為不同的資本結(jié)構(gòu)水平,縱軸為企業(yè)的最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模.從圖3中能夠看出,隨著企業(yè)負(fù)債水平的增加,其最優(yōu)投資時(shí)機(jī)和最優(yōu)投資規(guī)模先是出現(xiàn)了輕微的回落,隨后是較大幅度的上升,但企業(yè)投資規(guī)模上升的幅度較大,而投資時(shí)機(jī)變化的趨勢(shì)較為平緩,即企業(yè)負(fù)債水平的增加最終推遲企業(yè)的投資但會(huì)增加企業(yè)投資的規(guī)模,并且企業(yè)投資規(guī)模增加的幅度要大于企業(yè)投資時(shí)機(jī)的幅度.

5 結(jié)束語(yǔ)

現(xiàn)有的研究不確定條件下的企業(yè)投資決策的文獻(xiàn)較少把企業(yè)的負(fù)債作為一個(gè)重要因素加以考慮,而在實(shí)際當(dāng)中企業(yè)負(fù)債的規(guī)模直接關(guān)系到企業(yè)投資時(shí)機(jī)、投資規(guī)模的選擇以及企業(yè)的價(jià)值.本文的研究把不確定條件下企業(yè)的投資決策與資本結(jié)構(gòu)理論結(jié)合起來(lái),引入債務(wù)因素和破產(chǎn)成本,研究了不確定條件負(fù)債企業(yè)的投資時(shí)機(jī)、投資規(guī)模、投資期權(quán)價(jià)值與最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)選擇的問(wèn)題,同時(shí)對(duì)比分析了債務(wù)因素對(duì)在不同不確定性情形下對(duì)負(fù)債企業(yè)和非負(fù)債企業(yè)投資期權(quán)價(jià)值的影響.本文的研究認(rèn)為企業(yè)資產(chǎn)價(jià)格的不確定性與其資本結(jié)構(gòu)的選擇有著極為強(qiáng)烈的關(guān)系,并且這兩者同時(shí)對(duì)企業(yè)的最優(yōu)投資決策和投資期權(quán)價(jià)值產(chǎn)生影響.

把不確定條件下企業(yè)的投資決策與資本結(jié)構(gòu)理論結(jié)合起來(lái),研究負(fù)債企業(yè)的投資決策和投資期權(quán)的價(jià)值問(wèn)題是一個(gè)很有價(jià)值的學(xué)術(shù)問(wèn)題,本文的研究作為這方面的一個(gè)初步探討不可避免的有著一定的局限性,如模型設(shè)計(jì)略為復(fù)雜,不能求得解析解,而數(shù)值解對(duì)于參數(shù)設(shè)置有著較為敏感的變化;另外本文構(gòu)建的模型均為常微分方程,考慮構(gòu)建偏微分方程同時(shí)考慮價(jià)格、債務(wù)等多個(gè)不確定因素對(duì)企業(yè)投資決策的共同影響也是下一步的研究方向.