在變化與確定中感受思維的靈活

馮寅

數(shù)學(xué)問題中往往由許多不同的量構(gòu)成，有些量是確定的，有些量是變化的，而確定與變化是相對的，可以互相的轉(zhuǎn)化.我們遇到的有些問題需要在變化中尋找不變量，有些問題需要在不變中發(fā)現(xiàn)變化的軌跡，在確定與變化的不斷轉(zhuǎn)換中，我們可以感受到思維的奇妙與靈活.

1在變化中尋找確定因素

有些數(shù)學(xué)問題中包含著許多不確定的因素，如圖形的不確定、位置的不確定、數(shù)量的不確定等等，但在這些不確定的因素背后往往隱含有一定的確定因子，如果我們能在不確定的因素中發(fā)現(xiàn)確定的因子，抓住問題的本質(zhì)就一定能使問題有效的解決.

問題1如圖1，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是[CD#3].

分析此題是以三角形的翻折為素材設(shè)計的問題，圖形是不確定的.要研究直線AC與BD′所成角的變化規(guī)律，我們應(yīng)該在圖形變化的過程中，首先尋找確定的因素，再利用這些確定因素來體現(xiàn)直線與直線所成角的變化規(guī)律.[TS（][JZ]圖2[TS）]

確定因素1從圖形的特點看，四邊形ABCD在沿直線AC的翻折過程中，點B，D在AC上的投影是不變的.

我們可以利用這個確定的因素，找到直線AC與BD′所成的角.

設(shè)D′E⊥AC于E，BF⊥AC于F，過E作EG∥BF且EG=BF，連結(jié)BG，BD′，GD′，那么∠GBD′是直線AC與BD′所成的角（如圖2）.

在Rt△BGD′中，cos∠GBD′=BGBD′，而BG=EF=63，

那么，當(dāng)BD′最小時，cos∠GBD′最大.

在△BED′中，BE=302，D′E=306，則當(dāng)D′落在平面ABC上時，BD′最短.

又因為，∠DAC=∠BAC，所以D′點在線段AB上，這時BD′=2.

因此，cos∠GBD′的最大值為66.

確定因素2從向量的角度思考，AC·BD′是確定的.

四邊形ABCD在沿直線AC的翻折過程中，點B，D在AC上的投影是不變的.記投影為E，F(xiàn)（如圖3）.

根據(jù)題意，EF=63，由數(shù)量積的幾何意義可得：AC·BD′=AC·EF=2.

設(shè)θ為直線AC與BD′所成的角，那么AC·BD′=AC·BD′·cosθ，

所以AC·BD′·cosθ=2，即6·BD′·cosθ=2，要使cosθ最大，只要BD′最小.

而當(dāng)D′點在落在平面ABC上時，BD′最小.

因此，cosθ的最大值是66.

確定因素3從運(yùn)動的觀點看，點D的軌跡是確定的.

四邊形ABCD在沿直線AC將△ACD翻折的過程中，點D的軌跡是以E為圓心，DE為半徑的圓.利用這一特點，可以有新的思路.

由題意，AC⊥圓E所在平面，作BB′⊥圓E所在平面.

直線AC與BD′所成的角就是直線BB′與BD′所成的角（如圖4）.

在Rt△BB′D′中，BB′=EF=63，

要使cos∠B′BD′最大，就是要B′D′最小.

因為點D′在圓E上，所以B′D′的最小值B′G=B′E-GE=303.

因此，cos∠B′BD′的最大值是66.

問題2如圖5，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D滿足PD=DA，PB=BA，則四面體PBCD的體積的最大值是[CD#3].

分析和四面體的體積有關(guān)的問題，我們首先應(yīng)該考慮四面體的底面和高是否有確定的因素.由于P，D是兩個動點，故四面體的四個面都無法確定，如何計算體積成為本題的關(guān)鍵.從題意中我們發(fā)現(xiàn)△PBD和△ABD的面積相等，那么量S△BCD+S△PBD是確定的.

確定因素S△BCD+S△PBD確定.

作PE⊥平面BCD于E，過E作EF⊥BD于F，連結(jié)PF，那么，PF⊥BD（如圖6）.

四面體PBCD體積VP-BCD=13S△BCD·PE≤13S△BCD·PF.

（當(dāng)平面PCD⊥平面BCD時，等號成立）

又因為，S△PBD=12BD·PF，

所以，VP-BCD=23S△BCD·S△PBD·1BD.

因為S△BCD+S△PBD是定值，所以當(dāng)S△BCD=S△PBD時，S△BCD·S△PBD最大，此時，D是AC中點.

當(dāng)1BD最大時，BD⊥AC，而BA=BC，所以D也為AC中點.

因此，D是AC中點時，四面體PBCD體積最大，最大值12.

2在確定中感受變化特點

有些問題從表面看是確定的，但這樣的確定也是運(yùn)動過程中的某一靜止時刻，因此分析運(yùn)動的過程，理解運(yùn)動的本質(zhì)，可以使我們產(chǎn)生新思維來解決問題.

問題3如圖7，已知正四面體D-ABC，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，AP=PB，BQQC=CRRA=2.分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則

A.γ<α<βB.α<γ<β

C.α<β<γD.β<γ<α

分析研究三個二面角的大小關(guān)系，我們先找到它們的平面角.過點D作底面ABC的垂線，垂足為O.已知D-ABC為正四面體，則O是正三角形ABC中心.根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，每個二面角的平面角所在的直角三角形都有相同的直角邊DO.那么，二面角的大小問題等價轉(zhuǎn)化為底面正三角形的中心到二面角棱的距離d1、d2、d3的大小問題（如圖8）.

因為P、Q、R都是正三角形ABC邊上確定的點，所以通過多種渠道都能計算并比較d1、d2、d3的大小.若我們以變化的觀點來分析這個問題，將確定的問題轉(zhuǎn)化為變化的問題，在變化過程中可以更清晰地判斷二面角的大小關(guān)系.

取邊AB上的點P1并滿足AP1P1B=2.根據(jù)題意△P1QR是正三角形，那么O到△P1QR三邊距離都等于d1.當(dāng)點P1移動到P時（如圖8），點O到PQ的距離d3d1，那么d3

問題4如圖9，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O.記I1=OA·OB，I2=OB·OC，I3=OC·OD，則

A.I1

C.I3

[TS（][JZ]圖10[TS）]

分析根據(jù)已知條件，這是一個確定的四邊形，我們可以通過向量的夾角和模，或利用坐標(biāo)計算，或利用極化恒等式等多種渠道通過計算來比較向量數(shù)量積的大小.

我們也可以用變化的觀點來分析思考.在正方形ABCD1中，點D1變化到D（如圖10）.

因為∠AOB=∠COD>90°，∠BOC<90°，所以I1，I3<0，I2>0.

又因為OA

思考此題還可以進(jìn)一步考慮，去掉條件AB⊥BC，此時四邊形ABCD不確定，那么I1，I2，I3的大小關(guān)系是否仍然確定？答案是肯定的.

如圖11，先研究α1，β1的大小關(guān)系，觀察△ABC和△ACD.因為AB=AD，AC=AC，BC

又因為α1=α+θ，β1=β+θ，所以α1<β1，

又α1+β1=180°，那么，α1<90°<β1.

再研究OB，OD的大小，觀察△ABD.AB=AD，α<β，

所以，OB

3在變化與確定中換位思考

在有些數(shù)學(xué)問題中，確定與變化是暫時的是可以互相轉(zhuǎn)化的，在相對的確定與變化中我們可以發(fā)現(xiàn)問題的特點，利用這樣的本質(zhì)我們可靈活的解決問題.

問題5如圖12，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進(jìn)行射擊訓(xùn)練.已知點A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點P沿墻面上的射線CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P，需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，則tanθ的最大值[CD#3].（仰角θ為直線AP與平面ABC所成角）

[TS（][JZ]圖13[TS）]

分析此問題中已知點A是確定的，點P在射線CM上移動，要求直線AP與平面ABC所成角的正切值最大，即求直線AP與平面ABC所成角的最大值.

一般我們都會考慮如何確定這個線面角，根據(jù)已知條件，過P作PQ⊥BC，垂足為Q，則∠PAQ是直線AP與平面ABC所成角θ（如圖13）.

此時角θ處在一個不確定的△PQA中，我們可以設(shè)CQ=x，用x來表示tanθ，用函數(shù)的方法求出tanθ的最大值.

但是這可能不是題目的本意，其實問題的條件可以理解為在兩條確定的射線CM，CA上分別有兩點P，A，那么換位思考，若P確定，A的位置在哪里呢？

若P確定，那么PQ就確定，要∠PAQ最大，就是要PA最小，因此應(yīng)該滿足PA⊥AC.現(xiàn)在點A的位置確定，那么點P的位置滿足PA⊥AC時，∠PAQ最大，計算得tanθ的最大值是539.[TS（][JZ]圖14[TS）]

問題6如圖14，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點.

（Ⅰ）證明：CE∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

分析此題是一個以四棱錐為載體的問題，它較好地糅合了空間線面的平行與垂直關(guān)系，方法多樣思維靈活，能有效地區(qū)分不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生.尤其是（Ⅱ）問求直線和平面所成的角，它要求學(xué)生要仔細(xì)分析圖形的特點，理解線面關(guān)系并能對線面角進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化.此圖若能從變化的角度來理解，對問題的解決也有很大的幫助.

四棱錐P-ABCD的形狀是確定的，它的兩個核心的面是ABCD和PAD，我們可以從變化的觀點來看，四棱錐P-ABCD由五邊形ABCDP沿AD折起，使得PC=AD.（如圖15、圖16）

[TS（][JZ]圖15圖16[TS）]

在五邊形ABCDP中，PB⊥AD于點M，且M是AD的中點.在翻折的過程中有許多確定的關(guān)系，∠PMB就是二面角P-AD-B的平面角，可得

∠PMB=120°.AD⊥平面PMB，因此，平面PMB⊥平面PBC.

求直線CE與平面PBC所成的角的關(guān)鍵是求出點E到平面PBC的距離.而點E到平面PBC的距離就是點M到平面PBC距離的12.由于平面PMB⊥平面PBC，所以就是求點M到PB的距離.

設(shè)CD=1，在△PCD中，求得CE=2；在△PMB中，求得MH=12.記直線CE與平面PBC所成的角為θ，那么sinθ=12MHCE=28.

從上面問題我們可以看出，確定是暫時的，變化是永恒，確定是變化過程中的某一時刻，當(dāng)我們能看清問題的本質(zhì)，在變化的過程中體會確定的意義，那么我們的思維水平就上了一個臺階.