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      二維柯西不等式的幾種證明方法

      2018-10-23 10:01:10徐大剛
      速讀·中旬 2018年8期
      關鍵詞:判別式柯西證法

      徐大剛

      柯西不等式在不等式證明中占有重要的地位,而二維柯西不等式在高中數(shù)學競賽中有會成為“??汀保叶S柯西不等式在高中數(shù)學中的代數(shù)、幾何、三角等各個方面都有聯(lián)系,熟悉這些聯(lián)系能本質地把握不等式,并更自覺地應用它,本文將從多個角度來證明該不等式。

      二維柯西不等式:若a、b、c、d∈R,則

      [(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]

      證明:若[a2+b2=0]或[c2+d2=0]時,不等式顯然成立。

      現(xiàn)證明[a2+b2≠0]且[c2+d2≠0]的情況。

      證法一:向量法:

      設[m=(a],[b)] [n=(c],[d)]

      [m=a2+b2] [n=c2+d2]

      [∴m·n=ac+bd]

      [又∵m·n≤m·n]

      [∴ac+bd≤a2+b2·] [c2+d2]

      兩邊平方得:[(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]

      當且僅當[m]與[n]共線時取等號

      證法二:全量不小于部分:

      [∵a2+b2c2+d2=(ac+bd)2+(ad-bc)2]

      [(ac+bd)2+(ad-bc)2≥(ac+bd)2]

      ∴[(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]

      當且僅當ad=bc時取等號。

      證法三:復數(shù)的模不小于實部(虛部):

      設[Z1=a-bi] [Z2=c-di]

      則[Z1=a2+b2] [Z2=c2+d2]

      [Z1·Z2=ac+bd+ad-bci]

      [Z1][·][Z2][=][a2+b2·c2+d2][=][(ac+bd)2+(ad-bc)2][=][Z1·Z2]

      而[Z1] [·][Z2][=][(ac+bd)2+(ad-bc)2]≥[ac+bd2][=][ac+bd]

      [∴a2+b2·c2+d2≥ac+bd]

      ∴[(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]

      證法四:斜線段不小于垂線段:

      [(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]等價于[ac+bda2+b2≤c2+d2]

      建立平面直角坐標系,設B(c,d) A(b,-a),直線OA:ax+by=0

      設點B到直線OA的距離為BH,

      [BH=ac+bda2+b2]

      [∵BH≤OB]

      [ac+bda2+b2≤c2+d2]

      [(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]

      證法五:余弦定理:

      建立平面直角坐標系,設A(a,b) B(c,d)

      則在[△AOB]中

      [cos∠AOB=OA2+OB2-AB22OA·OB]

      =[a2+b2+c2+d2-(a-c)2+(b-d)22a2+b2·c2+d2]

      =[ac+bda2+b2·c2+d2]

      ∵[cos∠AOB≤1]

      ∴[(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]

      證法六:判別式法:

      構造二次函數(shù)[f(x)=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

      ∵[f(x)=a2+b2x2-2ac+bdx+c2+d2]

      =[(ax-c)2+(bx-d)2≥0]

      ∴可知判別式不大于0

      即:[△=4ac+bd2-4a2+b2c2+d2≤0]

      ∴[(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)]

      參考文獻

      [1]羅增儒.高中數(shù)學奧林匹克.陜西師范大學出版社.

      [2]全日制普通高級中學教材書·數(shù)學第二冊(上).

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