摘 要:導(dǎo)數(shù)法是研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的重要手段,但因?yàn)橹袑W(xué)階段對(duì)極限思想的研究不夠深入,學(xué)生往往似是而非地根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性直接得到原函數(shù)的大致圖象,得到了自以為正確的答案,本文從極限角度入手,說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性與圖象趨勢(shì)中的陷阱問(wèn)題。
關(guān)鍵詞:導(dǎo)數(shù);單調(diào)性;極限;圖象趨勢(shì)
學(xué)生進(jìn)入高中階段,學(xué)習(xí)視野進(jìn)一步開(kāi)闊,知識(shí)基礎(chǔ)進(jìn)一步增強(qiáng),這為數(shù)學(xué)基本思想的感悟和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累創(chuàng)設(shè)了有利條件。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種至關(guān)重要的思想方法,它與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)抽象能力和邏輯推理能力密切相連。導(dǎo)數(shù)法是解決數(shù)形結(jié)合問(wèn)題的強(qiáng)有力手段,但學(xué)生在實(shí)際學(xué)習(xí)過(guò)程中,如果僅僅片面地關(guān)注導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性,忽視原函數(shù)的正負(fù)性,就會(huì)得到錯(cuò)誤的函數(shù)圖象,步入認(rèn)知的誤區(qū)。
2. 此類問(wèn)題是研究函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù),換一個(gè)角度,也就是研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者零點(diǎn)分布情況,所以函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題也應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與圖象趨勢(shì)。研究圖象趨勢(shì)往往要借助于極限,極限思想作為近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,在高中階段多是蜻蜓點(diǎn)水一筆帶過(guò),學(xué)生理解起來(lái)也會(huì)感到特別的抽象,實(shí)際操作過(guò)程中帶有不可避免的感性認(rèn)識(shí)。在大題解答過(guò)程中,有時(shí)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)并不認(rèn)可這樣的解答過(guò)程,必須利用“零點(diǎn)存在性定理”結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明函數(shù)的零點(diǎn),所以在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際情況來(lái)要求學(xué)生的掌握程度以及解題規(guī)范;
3. 本問(wèn)題也可選用分離參數(shù)的方法解決,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a=1xex,分析函數(shù)h(x)=1xex(x≠0)的圖象,保證直線y=a與y=h(x)的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),但還是必須將單調(diào)性與極限結(jié)合起來(lái)。
大部分學(xué)生在遇到此類問(wèn)題時(shí),能夠迅速地找到解題對(duì)策,但往往忽視了函數(shù)圖象的走勢(shì),由于思維定式的影響,在檢查時(shí)也很難發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,教學(xué)中應(yīng)當(dāng)對(duì)此引起重視,幫助學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想有個(gè)全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼J(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)情境和問(wèn)題講究多樣化,教師應(yīng)當(dāng)放手讓學(xué)生自主思考,有時(shí)犯錯(cuò)的過(guò)程也是有效學(xué)習(xí)的一部分,在學(xué)生與情境、問(wèn)題的良好互動(dòng)中提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。
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作者簡(jiǎn)介:
梁超,江蘇省蘇州市,西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué)。