單懸臂剛架梁臨界荷載的一種優(yōu)化算法

馮 環(huán)，尤 超

（滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系，安徽滁州239000）

在實(shí)際工程中，懸臂梁是工程實(shí)踐中常用的一種結(jié)構(gòu)，常常受分布荷載、集中荷載、扭矩等外力的作用，在使用過(guò)程中，梁的任何一處都有可能產(chǎn)生較大的應(yīng)力與應(yīng)變［1-2］，從而使懸臂梁的結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。本文選取單懸臂剛架梁變形后的平衡狀態(tài)為研究對(duì)象，采用懸臂剛架梁終態(tài)的變形進(jìn)行受力分析，最后確定單懸臂剛架梁的優(yōu)化計(jì)算問(wèn)題［3-4］，并編制相應(yīng)優(yōu)化程序求解其變形和轉(zhuǎn)角［5-6］。

1 確定單懸臂剛架梁的力學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)

單懸臂剛架梁的橫桿AB長(zhǎng)L，豎桿BC長(zhǎng)H，橫截面相同且均為矩形，高2 h，寬b，彈性彎曲剛度均為EI，剛架的自由端A受集中力Px、Py作用，其受力圖如圖1所示，以B點(diǎn)為原點(diǎn)，建立XBY直角坐標(biāo)系。

（1）變形前，單懸臂剛架梁固定端C的受力為

（2）變形后，單懸臂剛架梁固定端C′的受力為

（3）變形后，單懸臂剛架梁第k個(gè)子段的內(nèi)力，當(dāng)?shù)趉個(gè)子段在豎桿BC部分時(shí)

當(dāng)?shù)趉個(gè)子段在橫桿AB部分時(shí)

（4）單懸臂剛架梁各子段在整體坐標(biāo)系下的整體坐標(biāo)遞推關(guān)系如圖2所示。

當(dāng)?shù)趉個(gè)子段在豎桿BC部分時(shí)，整體坐標(biāo)遞推關(guān)系式為

式中每個(gè)量均為設(shè)計(jì)變量的函數(shù)。豎桿BC和橫桿AB在連接點(diǎn)B處的轉(zhuǎn)角相差90°，則在橫桿AB部分的子段分析時(shí)，整體坐標(biāo)系下的初始角為豎桿BC部分得到的轉(zhuǎn)角減去90°。

圖1 單懸臂剛架梁變形前后的平衡狀態(tài)圖

圖2 單懸臂剛架梁第k個(gè)子段在局部坐標(biāo)系下的變形分析圖

2 單懸臂剛架梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題與目標(biāo)函數(shù)的實(shí)現(xiàn)

基于上面的分析推導(dǎo)，構(gòu)建以B′點(diǎn)和A′點(diǎn)未知坐標(biāo)為設(shè)計(jì)變量F（z）的具體表達(dá)式

從而確立無(wú)約束條件下的單懸臂剛架梁變形分析的最優(yōu)化問(wèn)題為

3 程序編制

文中程序采用Visual Basic語(yǔ)言完成，單懸臂鋼架梁?jiǎn)栴}計(jì)算程序的程序模塊構(gòu)成：主程序，一維搜索子程序段，Powell無(wú)約束優(yōu)化程序段，目標(biāo)函數(shù)子程序段。

4 單懸臂剛架梁的算例分析

單懸臂剛架梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)采用文獻(xiàn)［1］所提供的無(wú)量綱量。剛架梁的截面均為正方形，截面寬100，橫桿長(zhǎng)度L=1，豎桿長(zhǎng)度H=1，彈性模量E=108，慣性矩

算例1：?jiǎn)螒冶蹌偧芰喊l(fā)生變形時(shí)，用本文提出的優(yōu)化算法和文獻(xiàn)［1］的解析法分別進(jìn)行計(jì)算，并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果、解析解及相對(duì)誤差列于表1中。

表1 本文算法計(jì)算出的單懸臂剛架梁變形結(jié)果和文獻(xiàn)［1］的解析解及相對(duì)誤差

從表1可以看出，單懸臂剛架梁發(fā)生變形時(shí)，用本文算法計(jì)算得到的數(shù)值結(jié)果和用解析法［1］得到的解析解十分近似。其相對(duì)誤差結(jié)果說(shuō)明采用本文提出的優(yōu)化算法計(jì)算精確度較高。

算例2：當(dāng)單懸臂剛架梁自由端受作用時(shí)，用本文計(jì)算分析的優(yōu)化算法進(jìn)行變形計(jì)算，并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果列于表2中。

表2 本文優(yōu)化算法計(jì)算出受作用的單懸臂剛架梁位移和轉(zhuǎn)角

圖3為有不同Py作用時(shí)，用本文計(jì)算分析的優(yōu)化算法而得到的單懸臂剛架梁變形后應(yīng)用程序計(jì)算獲得的變形曲線圖。

圖3 有不同Py作用時(shí)，本文算法確定的單懸臂剛架梁變形圖

從表3可以看出，單懸臂剛架梁發(fā)生變形時(shí)，用本文算法計(jì)算得到的數(shù)值結(jié)果和用文獻(xiàn)［1］得到的解析解十分近似。

表3 本文算法計(jì)算出的單懸臂剛架梁變形結(jié)果和文獻(xiàn)［1］的解析解及相對(duì)誤差

算例3：當(dāng)單懸臂剛架梁自由端同時(shí)受Px、Py作用時(shí)，用本文計(jì)算分析的優(yōu)化算法進(jìn)行變形計(jì)算，并將數(shù)值計(jì)算結(jié)果列于表4中。

表4 本文優(yōu)化算法計(jì)算出受Px、Py作用的單懸臂剛架梁位移和轉(zhuǎn)角

圖4為有不同Px、Py作用時(shí)，用本文分析優(yōu)化算法得到的單懸臂剛架梁變形后應(yīng)用程序計(jì)算獲得的變形曲線圖。

圖4 有不同Px、Py作用時(shí)，本文算法確定的單懸臂剛架梁變形圖

從表5可以看出，單懸臂剛架梁發(fā)生變形時(shí)，用本文算法計(jì)算得到的數(shù)值結(jié)果和用解析法［1］得到的解析解十分近似。

表5 本文算法計(jì)算出的單懸臂剛架梁變形結(jié)果和文獻(xiàn)［1］的解析解

通過(guò)算例2與算例3所列的計(jì)算結(jié)果與解析解對(duì)比及所繪的變形圖，可以看出，單懸臂鋼架梁在外荷載的作用下，結(jié)構(gòu)的位移和轉(zhuǎn)角均發(fā)生了變化，并且隨著外荷載的遞增，結(jié)構(gòu)的位移和轉(zhuǎn)角也隨之變大，從計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差對(duì)比中，可以看到采用本文優(yōu)化計(jì)算方法與用解析法［1］得到的解析解十分近似，進(jìn)一步證明了采用本文優(yōu)化計(jì)算方法的有效性。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)工程中單懸臂鋼架梁的求解問(wèn)題，基于材料力學(xué)、最優(yōu)化原理和非線性方程數(shù)值算法，建立目標(biāo)函數(shù)，以一種精確有效的求解算法，編制結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解和計(jì)算程序，分析了具體問(wèn)題的算例，通過(guò)比較表明了本研究方法的可行性，為復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題的分析提供了一種求解的新思路。