基于VMD和SVM的家用空調(diào)外機(jī)故障識別研究

劉芝庭，王宇華，鄭文煒

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程系，廣東佛山528000）

家電空調(diào)廠商在空調(diào)生產(chǎn)線上需要根據(jù)空調(diào)外機(jī)的振動做合格檢測，利用故障診斷技術(shù)對生產(chǎn)線上的家用空調(diào)外機(jī)進(jìn)行故障檢測對提升生產(chǎn)商的生產(chǎn)效率具有重要意義。

變分模態(tài)分解（varirational mode decomposition VMD）是 K Dragom-iretskiy和 D Zosso［1］于 2014 年提出的一種自適應(yīng)的信號分解新方法。該方法通過循環(huán)迭代求取約束變分問題的最優(yōu)解來確定分解得到本征模態(tài)分量（IMF）的頻率中心及帶寬，實(shí)現(xiàn)信號的分解。相對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)構(gòu)選擇和權(quán)值初始值設(shè)定需要借助于經(jīng)驗(yàn)、最優(yōu)解容易陷入局部極小點(diǎn)及過學(xué)習(xí)等劣勢［2］，支持向量機(jī)（SVM）有可以解決小樣本學(xué)習(xí)、高維問題、結(jié)構(gòu)選擇問題和局部極值問題的優(yōu)勢［3］。

陸郁［1］利用多普勒測振儀對生產(chǎn)在線的外機(jī)進(jìn)行了故障機(jī)振動信號分析，安邦［5］等應(yīng)用VMD實(shí)現(xiàn)了齒輪箱的故障診斷，于德介［6］等利用SVM實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的故障診斷，張亞楠利用SVM實(shí)現(xiàn)了電機(jī)機(jī)械故障診斷［7］。目前還很少看到家用空調(diào)故障診斷方面的文獻(xiàn)報(bào)道，本文借鑒VMD、SVM在其他機(jī)械故障診斷中應(yīng)用的成功案例，并利用VMD和粒子群算法（PSO）優(yōu)化的SVM對家用空調(diào)外機(jī)進(jìn)行故障診斷研究。

本文綜合利用VMD、粒子群算法以及SVM對家用空調(diào)外機(jī)的振動信號進(jìn)行故障分類，利用泄露能量計(jì)算VMD分解個數(shù)K，提出一種計(jì)算本征模態(tài)函數(shù)（IMF）自相關(guān)函數(shù)的能量集中比和IMF分量與原信號的相關(guān)系數(shù)的比值Q，并運(yùn)用Q作為判斷噪聲IMF分量的新方法，剔除噪聲分量，將保留下來的IMF分量的有效值作為特征向量輸入經(jīng)粒子群算法優(yōu)化的SVM，對空調(diào)風(fēng)扇轉(zhuǎn)速過低壓縮機(jī)正常、空調(diào)風(fēng)扇轉(zhuǎn)速過低且壓縮機(jī)不穩(wěn)定，空調(diào)轉(zhuǎn)速正常壓縮機(jī)不穩(wěn)定以及正常4種工況進(jìn)行分類，從而對家用空調(diào)外機(jī)故障進(jìn)行識別。

1 變分模態(tài)解

1.1 基本原理

定義1在VMD中IMF被重新定義為一個調(diào)幅-調(diào)頻信號，有

其中，Ak（t）為uk（t）的瞬時幅值，ωk（t）=φ′k（t）為uk（t）的瞬時頻率。Ak（t）和ωk（t）相對于φk（t）的變化是緩慢變化。即在時間內(nèi)uk（t）可以視為一個幅值為Ak（t）、頻率為ωk（t）的簡諧信號。

定義2 根據(jù)卡森原理（Carson’s formula），IMF估計(jì)帶寬為

其中，Δf為瞬時頻率的最大偏移，fFM為調(diào)頻信號的最高調(diào)制頻率，fAM為包絡(luò)線Ak（t）的最高頻率。

VMD獲取IMF分量的方法原理與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）不同，摒棄了EMD方法利用循環(huán)篩選的處理手段，將信號的分解引入到變分模型中進(jìn)行解決。假設(shè)每個IMF具有有限帶寬，變分問題可表示為尋求K個IMF，使得所有IMF的估計(jì)帶寬之和最小，并且滿足各模態(tài)函數(shù)之和等于原始輸入信號的約束條件，具體分解步驟如下。

（1）VMD根據(jù)預(yù)設(shè)IMF個數(shù)K、帶寬參數(shù)α以及K個中心角頻率ωk，于是可獲得各初始本征模態(tài)函數(shù)uk（t）。

（2）通過Hilbert變換，得到每個本征模態(tài)函數(shù)的解析信號，并得到其單邊頻譜。

（3）加入指數(shù)項(xiàng)調(diào)整各本征模態(tài)函數(shù)的估計(jì)中心頻率，將每個本征模態(tài)函數(shù)的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶。

（4）計(jì)算各本征模態(tài)函數(shù)的梯度的L2范數(shù)，估計(jì)各本征模態(tài)函數(shù)的帶寬之和，并且滿足各模態(tài)函數(shù)之和等于原始輸入信號f的約束條件為其中，｛uk｝=為VMD分解的K個IMF分量，為VMD分解的K個IMF分量的角頻率中心，j為虛數(shù)單位，*為卷積符號。

（5）引入增廣拉格朗日函數(shù)將待求解的約束性變分問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉羌s束性變分問題，即

其中，α為平衡因子，λ為Lagrange乘子，＜＞為內(nèi)積運(yùn)算。平衡因子α可保證信號的重構(gòu)精度，Lagrange乘子可加強(qiáng)約束。

其中，ωk等同于等同于∑i≠kui（t）n+1。

采用Parseval/Planchere Fourier等距變換將式（4）變換到頻域，用ω-ωk代替第一項(xiàng)的變量ω，并轉(zhuǎn)換為非負(fù)的頻率區(qū)間積分的形式，即

1.2 分解個數(shù)確定

VMD分解前需要提前給出模態(tài)個數(shù)K，如果K過小，信號中的多個分量可能會同時出現(xiàn)在一個IMF中，或某個分量無法被估計(jì)出；若K值過大，信號中的某些分量會出現(xiàn)在多個IMF中，迭代得到的IMF中心頻率最終發(fā)生重疊［5］。

設(shè)采集到有限時長N的振動信號為x（i），其中i=1，2，3，…，N。VMD分解的MIF分量為cj（i），其中j=1，2，3，…，K；i=1，2，3，…，N。則 x（t）的能量 E 為

經(jīng)VMD分解第j個IMF分量cj（t）的能量EJ為

若分解出的各個分量之間是正交的，則泄露能量EL為

信號經(jīng)VMD分解后，得到的IMF分量具有近似正交性，若K選取適當(dāng)IMF分量之間的正交性較好，泄露能量小，就選取泄露能量作為選取K的指標(biāo)。

1.3 噪聲確定

1.3.1 能量集中比

含有周期成分的信號的自相關(guān)函數(shù)在t=0時具有最大值，且在t較大時仍具有明顯的周期性。純白噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)在t=0時也具有最大值，但隨著t的變化快速衰減至0，利用白噪聲這一特點(diǎn)識別IMF分量中的噪聲分量。

能量集中比的定義為信號在某段時間內(nèi)的能量與整個信號的能量之比［8］，可表示為

設(shè)原始信號長度為N，第j個IMF分量自相關(guān)函數(shù)為xcorrj（i），其長度為2N-1，取IMF分量自相關(guān)函數(shù)在區(qū)間［-n，n］上的能量 EJnj=1，2，3，…，K 和 IMF 分量自相關(guān)函數(shù)在整個區(qū)間［-N，N］上的能量Ej，其中 j=1，2，3，…，K。并求其比值，有

由式（12）可知，若第j個IMF分量為噪聲,則能量集中比較大，反之，能量集中比較小。表明IMF分量為噪聲的概率與能量集中比成正比。

1.3.2 相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)顯示兩個隨機(jī)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向,設(shè)原始信號為x（i），其中i=1，2，…，N，其表達(dá)式為

其中，cj（i）為第j個IMF分量。第j個IMF分量與原始信號的相關(guān)系數(shù)為

根據(jù)相關(guān)性的原理，噪聲IMF分量與原信號的相關(guān)系數(shù)較低，含有信號成分的IMF分量與原信號的相關(guān)系數(shù)較高，IMF分量為噪聲的概率與相關(guān)系數(shù)成反比。

1.3.3 能量集中比與相關(guān)系數(shù)的比值Q

根據(jù)IMF分量為噪聲的概率與能量集中比η成正比，與相關(guān)系數(shù)ρ成反比這一特性，定義噪聲判別因子Q為

將Q定義為能量集中比與相關(guān)系數(shù)的比值，能放大噪聲IMF分量和含有原信號成分IMF分量的差異，從而更好地區(qū)分出噪聲IMF分量。

2 支持向量機(jī)

SVM是對統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的一個實(shí)現(xiàn)，它是建立在VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化基礎(chǔ)上的算法，其目的是尋求滿足分類要求的最佳超平面。

最初SVM的提出是針對二值線性可分?jǐn)?shù)據(jù)的分類，其分類原理如圖1所示。對于樣本集（xi，yi），其中 i=1，2，…n，且 xi∈Rn，yi∈｛-1，1｝，構(gòu)造超平面 ωTx+b=0 將兩類數(shù)據(jù)分開，并使兩類數(shù)據(jù)之間的距離M最大，即求下列的約束優(yōu)化問題

利用Lagrange乘子對式（16）進(jìn)行求解可得

其中，ai≥0為Lagrange乘子，約束最優(yōu)化問題由Lagrange函數(shù)的鞍點(diǎn)決定，且在鞍點(diǎn)處滿足對ω和b的偏導(dǎo)數(shù)為0。

圖1 SVM分類原理

對式（17）中的ω和b求偏導(dǎo)得到的關(guān)系式代入式（17）可得

于是將該問題轉(zhuǎn)化為凸二次規(guī)劃的對偶問題，即

根據(jù)式（19）和（20）的得到最優(yōu)解為

其中，j∈SV是指滿足式（19）和（20）的結(jié)果中ai≠0所對應(yīng)的樣本組成集合SV。因此可以得到超平面函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)?shù)途S空間中的樣本線性不可分時，通過引入非線性映像核函數(shù)φi（x），其中i=1，2…n，將樣本映像到高維空間，使得樣本在高維空間中線性可分。定義核函數(shù)k（xi，xj）=φ（xi）Tφ（xj），于是可以得到超平面函數(shù)為

3 粒子群算法

粒子群優(yōu)化算法是由Kennedy和Eberhart在1995年提出的一種群體智能優(yōu)化算法，粒子群算法在可解空間內(nèi)初始化一群粒子，用位置、速度和適應(yīng)度3項(xiàng)指針表示該粒子的特征。讓粒子根據(jù)兩個跟蹤，即個體極值Pbest（個體所經(jīng)歷未知中適應(yīng)度最優(yōu)位置）和群體極值Gbest（種群中所有粒子搜索到的適應(yīng)度最優(yōu)位置）更新個體位置，通過迭代尋求最優(yōu)解。設(shè)在一個N維空間中，有M個粒子組成的種群 X=［x1，x2…xM］，其中第 i個粒子的位置表示為 xi=［xi1，xi2…xiN］，其中 i=1，2…，M 第 i個粒子的速度為Vi=［Vi1，Vi2…ViN］，其中 i=1，2…，M，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出每個粒子的適應(yīng)度，其個體極值為 Pi=［Pi1，Pi2…PiN］i=1，2…，M，種群的全局極值為 Pg=［Pg1，Pg2…PgN］，通過式

更新個體的位置和速度。其中，ω 為慣性權(quán)重；n=1，2，…，N；i=1，2…，M；k 為當(dāng)前迭代次數(shù)；Vin為粒子的速度；c1和c2均為非負(fù)的常數(shù)加速度因子；r1和r2均為分布于［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)。

4 信號仿真分析

設(shè)仿真信號為

其中，η是強(qiáng)度為0.1的白噪聲，各成分時域分別如圖2所示。

圖2 時域信號分量

計(jì)算x（t）的泄露能量EL如圖3所示，在K從3至4，泄露能量急劇下降，且K為3、4、5、6、7、8的泄露能量差距不大。

為了避免當(dāng)K過大時發(fā)生模態(tài)混迭，取K為4對信號進(jìn)行VMD分解，分解的時域和頻域分別如圖4、5所示。VMD分解的IMF1、IMF2、IMF3分別對應(yīng)信號成分中的 30、80、150 Hz，且沒有發(fā)生模態(tài)混迭。

圖3 泄露能量與K的關(guān)系

圖4 VMD分解分量時域

圖5 VMD分解分量頻域

各IMF分量自相關(guān)函數(shù)的能量集中比η（n取值為N的1%），各IMF分量與原信號的相關(guān)系數(shù)ρ，歸一化Q值如表1和圖6所示。根據(jù)η、ρ、Q的意義，判斷IMF4為噪聲分量，與前面分析結(jié)果一致，且Q相對于η、ρ有更高的區(qū)分度，更加明顯的區(qū)分出IMF4為噪聲分量。

5 實(shí)驗(yàn)信號分析

空調(diào)的主要振源為壓縮機(jī)、風(fēng)扇以及電機(jī)，振動信號采樣率為5 000，采集數(shù)據(jù)長度為20 000，VMD懲罰因子α為2 000，精度ε為10-7。對正常（工況1）、空調(diào)轉(zhuǎn)速正常但壓縮機(jī)不穩(wěn)定（工況2）、扇轉(zhuǎn)速過低壓縮機(jī)正常（工況3）以及空調(diào)風(fēng)扇轉(zhuǎn)速過低且壓縮機(jī)不穩(wěn)定（工況4）4種工況分別采集100組信號，一共400組信號，4種工況及振源狀態(tài)如表2所示，空調(diào)振動信號采集平臺如圖7所示。

表1 η、ρ歸一化Q值

表2 不同工況振源狀態(tài)

圖6 η、ρ歸一化Q值

圖7 空調(diào)振動信號采集平臺

5.1 K值的確定

分別對4種工況信號隨機(jī)抽取10組信號，4種工況泄露能量的歸一化結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，同一種狀態(tài)內(nèi)有一定的差距，各種工況之間存在明顯的差距。正常工況K的最佳取值范圍為6～8，壓縮機(jī)不穩(wěn)定工況K的最佳取值范圍為6～13，風(fēng)扇轉(zhuǎn)速低工況K最佳取值范圍為7～13，壓縮機(jī)不穩(wěn)定且風(fēng)扇轉(zhuǎn)速低工況K的最佳取值范圍為6～8。綜合4種工況的能量泄露，取4種工況最佳范圍的交集，選取K=8對信號進(jìn)行VMD分解。

圖8 不同工況能量泄露與K值關(guān)系

5.2 特征分量的確定

在K=8的條件下，分別求出每種工況的Q什并求其平均值，歸一化Q值如圖9所示。根據(jù)Q的定義，狀態(tài)1中IMF1到IMF6為信號成分，狀態(tài)2中IMF1到IMF5為信號成分，狀態(tài)3中IMF1到IMF3為信號成分，狀態(tài)4中IMF1到IMF4為信號成分。取4種工況信號成份的交集，前6個IMF分量作為特征值提取分量。

圖9 不同工況的Q值

5.3 構(gòu)造特征向量

均方根Xrms具有穩(wěn)定性好，重復(fù)性好［9］，常作為特征值指標(biāo)，即

以4種工況VMD分解的前6階IMF分量的均方根構(gòu)造特征向量。

5.4 PSO優(yōu)化SVM參數(shù)

對于多值分類問題，1-v-r SVM［10］可將多值問題轉(zhuǎn)化為二值問題，1-v-r分類結(jié)構(gòu)如圖10所示，其轉(zhuǎn)化步驟如下。

（1）將樣本經(jīng)過SVM1分為壓縮機(jī)不穩(wěn)定和其他狀態(tài)1。

（2）再在其他狀態(tài)1經(jīng)過SMV2分為低轉(zhuǎn)速和其他狀態(tài)2。

（3）將其他狀態(tài)2經(jīng)SVM3分為壓縮機(jī)不穩(wěn)定且轉(zhuǎn)速低和正常。

（4）4種工況隨機(jī)取75組共300組作為訓(xùn)練樣本對SVM進(jìn)行訓(xùn)練，另外100組作為測試集。SVM的核函數(shù)選用徑向基核函數(shù)。利用粒子群算法對懲罰因子C和徑向基函數(shù)的參數(shù)σ進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)置C的優(yōu)化區(qū)間為［10-2103］，σ的優(yōu)化區(qū)間為［10-2103］，參數(shù)加速度因子c1、c2，和慣性因子ω分別為1.5、1.7，種群數(shù)量為300，迭代次數(shù)為100，以訓(xùn)練樣本交叉驗(yàn)證的準(zhǔn)確率作為適應(yīng)度，粒子群優(yōu)化參數(shù)算法流程如圖11所示。

圖10 1-v-r分類結(jié)構(gòu)

圖11 粒子群優(yōu)化流程

經(jīng)過100次迭代，最佳適應(yīng)度達(dá)到100%，此時最佳懲罰因子c為3.047 3，最佳徑向基函數(shù)參數(shù)σ為1 000，粒子群優(yōu)化算法適應(yīng)度如圖12所示。

使用最佳懲罰因子c和最佳徑向基函數(shù)參數(shù)σ對SVM進(jìn)行訓(xùn)練，對測試集進(jìn)行分類，其分類結(jié)果r如表3所示。

圖12 粒子群算法優(yōu)化適應(yīng)度

表3 故障診斷結(jié)果

6 結(jié)論

本研究綜合利用VMD、粒子群算法及SVM對空調(diào)振動信號進(jìn)行故障診斷，得到以下結(jié)論。

（1）利用能量泄露能確定VMD分解個數(shù)K的大致范圍，有效地避免了過分解和欠分解現(xiàn)象。

（2）根據(jù)各IMF分量的能量集中比和相關(guān)系數(shù)與原信號的正反比關(guān)系，提出一種計(jì)算Q值的新方法，利用Q對確定噪聲IMF分量進(jìn)行篩選，提取出特征分量。

（3）利用粒子群算法優(yōu)化的SVM對各IMF分量進(jìn)行分類對VMD提取出的特征分量進(jìn)行分類，得到很好的分類效果。

（4）綜合利用VMD、粒子群算法以及SVM對空調(diào)振動信號進(jìn)行故障診斷得到很好的分類結(jié)果，證明了本文中的方法可以對家用空調(diào)外機(jī)進(jìn)行準(zhǔn)確的故障診斷。